树的基本术语
1.结点:{数据元素+若干指向子树的分支}
2.结点的度:分支的个数（子树的个数）
3.树的度:树中所有结点的度的最大值
4.叶子结点:度为零的结点
5.分支结点:度大于零的结点(包含根和中间结点)
6.(从根到结点的)路径：由从根到该结点所经分支和结点构成;
7.结点的层次:假设根结点的层次为1,则根的孩子为第2层，如果某节点在第L层,则其子树的根在L+1层。
8.树的深度:树中叶子结点所在的最大层次;
二叉树
二叉树或为空树，或是由一个根结点加上两棵分别称为左子树和右子树的、互不交的二叉树组成。(树的度最大为2)
二叉树的重要性质:
性质1:在二叉树的第i层上至多有2^(i-1)个结点(i≥1);
性质2:深度为 k 的二叉树上至多含 (2^k)-1个结点(k≥1);
性质3:对任何一棵二叉树，若它含有n0 个叶子结点（0度结点）、n2 个度为 2的结点，则必存在关系式：n0 = n2+1。
两类特殊的二叉树:
满二叉树:指的是深度为k且含有(2^k)-1个结点的二叉树。
完全二叉树:树中所含的 n 个结点和满二叉树中编号为 1 至 n 的结点一一对应。(编号的规则为，由上到下，从左到右。如上图所示)
完全二叉树的特点：
1.叶子节点出现在最后2层
2.对于任意结点，若其右分支下的子孙的最大层次为L,则左分支下的子孙的最大层次为L或L+1;
性质4:具有n个结点的完全二叉树的深度为[logn](向下取整)+1。
性质5:若对含 n 个结点的完全二叉树从上到下且从左至右进行 1 至 n 的编号，则对完全二叉树中任意一个编号为 i 的结点：
(1) 若 i=1，则该结点是二叉树的根，无双亲，否则，编号为 [i/2](向下取整)的结点为其双亲结点；
(2) 若 2i>n，则该结点无左孩子，否则，编号为 2i 的结点为其左孩子结点；
(3) 若 2i+1>n，则该结点无右孩子结点，否则，编号为2i+1 的结点为其右孩子结点。
二叉树的链式存储实现
说明:
由于这篇博客仅仅是为了演示二叉树的理论, 因此代码所做的封装性以及可用性都不理想, 但由于在实际应用中, 也基本上不可能这样直接的使用二叉树, 因此也就没怎么优化他, 在此首先给大家说声抱歉;
二叉树节点构造
template <typename Type>
class TreeNode
{
friend class BinaryTree<Type>;
//因为此处仅仅是为了演示, 因此将之定义为public
public:
TreeNode(const Type &_data = Type(), TreeNode *_left = NULL, TreeNode *_right = NULL)
: data(_data), leftChild(_left), rightChild(_right) { }
Type data;
TreeNode *leftChild;
TreeNode *rightChild;
};
二叉树构造:
template <typename Type>
class BinaryTree
{
public:
//二叉树可以进行的操作
BinaryTree():root(NULL) {}
bool isEmpty() const
{
return root == NULL;
}
//先序遍历
void preOrder() const
{
return preOrder(root);
}
//中序遍历
void inOrder() const
{
return inOrder(root);
}
//后续遍历
void postOrder() const
{
return postOrder(root);
}
//层次遍历
void levelOrder() const;
private:
void preOrder(const TreeNode<Type> *rootNode) const;
void inOrder(const TreeNode<Type> *rootNode) const;
void postOrder(const TreeNode<Type> *rootNode) const;
void visit(const TreeNode<Type> *node) const;
//因为此处仅仅是为了演示, 因此将之定义为public
public:
TreeNode<Type> *root;
};
先(根)序的遍历算法：
1.若二叉树为空,则直接返回;
2.否则
(1)访问根结点(visit);
(2)先序遍历左子树;
(3)先序遍历右子树;
//实现
template <typename Type>
void BinaryTree<Type>::preOrder(const TreeNode<Type> *subTree) const
{
if (subTree != NULL)
{
visit(subTree);
preOrder(subTree->leftChild);
preOrder(subTree->rightChild);
}
}
中(根)序的遍历算法：
1.若二叉树为空树，则空操作；
2.否则
(1)中序遍历左子树；
(2)访问根结点；
(3)中序遍历右子树。
//实现
template <typename Type>
void BinaryTree<Type>::inOrder(const TreeNode<Type> *subTree)const
{
if (subTree != NULL)
{
inOrder(subTree->leftChild);
visit(subTree);
inOrder(subTree->rightChild);
}
}
后(根)序的遍历算法：
1.若二叉树为空树，则空操作；
2.否则
(1)后序遍历左子树；
(2)后序遍历右子树；
(3)访问根结点。
//实现
template <typename Type>
void BinaryTree<Type>::postOrder(const TreeNode<Type> *subTree)const
{
if (subTree != NULL)
{
postOrder(subTree->leftChild);
postOrder(subTree->rightChild);
visit(subTree);
}
}
层次遍历算法与visit操作：
template <typename Type>
void BinaryTree<Type>::levelOrder() const
{
std::queue< TreeNode<Type>* > queue;
queue.push(root);
while (!queue.empty())
{
TreeNode<Type> *currentNode = queue.front();
queue.pop();
visit(currentNode);
if (currentNode->leftChild != NULL)
queue.push(currentNode->leftChild);
if (currentNode->rightChild != NULL)
queue.push(currentNode->rightChild);
}
}
template <typename Type>
void BinaryTree<Type>::visit(const TreeNode<Type> *currentNode) const
{
cout << currentNode->data << ' ';
}
二叉树构造与运用示例
构造一颗如下的二叉树:
//代码如下
int main()
{
BinaryTree<char> tree;
TreeNode<char> addition('+'), subtraction('-'), multiplies('*'), divides('/');
TreeNode<char> a('A'), b('B'), c('C'), d('D'), e('E');
tree.root = &addition;
addition.leftChild = &subtraction;
addition.rightChild = &e;
subtraction.leftChild = &multiplies;
subtraction.rightChild = &d;
multiplies.leftChild = ÷s;
multiplies.rightChild = &c;
divides.leftChild = &a;
divides.rightChild = &b;
cout << "preOrder: ";
tree.preOrder();
cout << endl;
cout << "inOrder: " ;
tree.inOrder();
cout << endl;
cout << "postOrder: ";
tree.postOrder();
cout << endl;
cout << "level Order";
tree.levelOrder();
cout << endl;
return 0;
}
遍历算法的应用举例
1.统计二叉树中叶子结点的个数(先序遍历)
2.求二叉树的深度(后序遍历)
3.复制二叉树(后序遍历)
