（一）导数与导函数
导数
导函数
几何意义
（二）牛顿迭代法
牛顿迭代法（Newton's method）又称为牛顿-拉夫逊方法（Newton-Raphson method），它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。方法使用函数f(x)的泰勒级数的前面几项来寻找方程f(x) = 0的根。牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程f(x) = 0的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根。另外该方法广泛用于计算机编程中。
设r是f(x) = 0的根，选取x0作为r初始近似值，过点（x0,f(x0)）做曲线y = f(x)的切线L，L的方程为y = f(x0)+f'(x0)(x-x0)，求出L与x轴交点的横坐标 x1 = x0-f(x0)/f'(x0)，称x1为r的一次近似值。
过点（x1,f(x1)）做曲线y = f(x)的切线，并求该切线与x轴交点的横坐标 x2 = x1-f(x1)/f'(x1)，称x2为r的二次近似值。重复以上过程，得r的近似值序列，其中x(n+1)=x(n)－f(x(n))/f'(x(n))，称为r的n+1次近似值，上式称为牛顿迭代公式。
根据牛顿迭代的原理，可以得到以下的计算sqrt（n）的迭代公式：X(n+1)=[X(n)+p/Xn]/2。详细解释见下文。
一般性的编程方法如下：
1 double sqr(double n) { 2 double k=1.0; 3 while(abs(k*k-n)>1e-9) { 4 k=(k+n/k)/2; 5 } 6 return k; 7 }
（三）利用牛顿迭代法计算开平方根
这种算法的原理很简单，我们仅仅是不断用(x,f(x))的切线来逼近方程x^2-a=0的根。根号a实际上就是x^2-a=0的一个正实根，这个函数的导数是2x。也就是说，函数上任一点(x,f(x))处的切线斜率是2x。那么，x-f(x)/(2x)就是一个比x更接近的近似值。代入f(x)=x^2-a得到x-(x^2-a)/(2x)，也就是(x+a/x)/2。
过程如下：
首先随便猜一个近似值x，然后不断令x等于x和a/x的平均数，迭代个六七次后x的值就已经相当精确了。
例如，我想求根号2等于多少。假如我猜测的结果为4，虽然错的离谱，但你可以看到使用牛顿迭代法后这个值很快就趋近于根号2了：
( 4 + 2/ 4 ) / 2 = 2.25
( 2.25 + 2/ 2.25 ) / 2 = 1.56944..
( 1.56944..+ 2/1.56944..) / 2 = 1.42189..
( 1.42189..+ 2/1.42189..) / 2 = 1.41423..
下面用C语言实现一遍：
1 #include "stdio.h" 2 #include "math.h" 3 4 int main(void) 5 { 6 double n,y=1.0; 7 8 printf("请输入一个需要求其平方根的数："); 9 scanf("%lf",&n); 10 11 // 反复代入 x(k+1) = 0.5[x(k)+n/x(k)] 12 while(fabs((1.0/2.0*(y+n/y))-y)>=0.00001) 13 { 14 y=1.0/2.0*(y+n/y); 15 printf( "y=%lf\n", y ); 16 } 17 printf("平方根为%f\n",y); 18 return 0; 19 }
程序运行结果：
请输入一个需要求其平方根的数：2 y=1.500000 y=1.416667 y=1.414216 平方根为1.414216 请输入一个需要求其平方根的数：3 y=2.000000 y=1.750000 y=1.732143 y=1.732051 平方根为1.732051
更快的方法
1999年12月，美国id Software公司发布了名为“雷神之锤III”的电子游戏。它是第一个支持软件加速的游戏，取得了极大成功。（由于影响力过大，文化部于2004年将它列入了非法游戏名单）
雷神之锤III并不是id Software公司的第一次成功。早在1993年开始，这家公司就以“毁灭战士”系列游戏名闻天下。1995年，“毁灭战士”的安装数超过了当年微软的windows 95。据传比尔盖茨才曾经考虑买下id software。（id software公司后来被推出过“上古卷轴”系列的Bethesda公司买下）
id Software所取得的成功很大程度上要归功于它的创始人约翰·卡马克。马克尔也是一个著名的程序员，他是id Software游戏引擎的主要负责人。 回到刚才提到的雷神之锤，马克尔是开源软件的积极推动者，他于2005年公布了雷神之锤III的源代码。至此人们得以通过研究这款游戏引擎的源文件来查看它成功的秘密。
在其中一个名字为q_math.c的文件中发现了如下代码段。
1 float Q_rsqrt( float number ) { 2 long i; float x2, y; const float threehalfs = 1.5F; 3 x2 = number * 0.5F; 4 y = number; 5 i = * ( long * ) &y; // evil floating point bit level hacking 6 i = 0x5f3759df - ( i >> 1 ); // what the fuck? 7 y = * ( float * ) &i; 8 y = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 1st iteration 9 // y = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 2nd iteration, this can be removed 10 #ifndef Q3_VM # 11 ifdef __linux__ assert( !isnan(y) ); // bk010122 - FPE? 12 #endif 13 #endif return y; 14 }
这段代码的作用就是求number的平方根，并且返回它的倒数。经测试这段代码比(float)(1.0/sqrt(x))快4倍。
以雷神之锤III程序为蓝本可以写出比sqrt()更强大的求平方根函数：
1 int sqrt(float x) { 2 if(x == 0) return 0; 3 float result = x; 4 float xhalf = 0.5f*result; 5 int i = *(int*)&result; 6 i = 0x5f375a86- (i>>1); // what the fuck? 7 result = *(float*)&i; 8 result = result*(1.5f-xhalf*result*result); // Newton step, repeating increases accuracy 9 result = result*(1.5f-xhalf*result*result); 10 return 1.0f/result; 11 }
参考：
http://www.nowamagic.net/librarys/veda/detail/2268
http://www.matrix67.com/blog/archives/361
http://blog.csdn.net/wangxiaojun911/article/details/18203333
http://www.cnblogs.com/huashanqingzhu/p/3615543.html
