【小白话通信】连续分布之间的关系

简介: 前面的文章《连续分布的产生》中,我主要讲述了用均匀分布生成各种连续分布的方法,其中的特殊方法都是利用分布之间的关系来生成的。

前面的文章《连续分布的产生》中,我主要讲述了用均匀分布生成各种连续分布的方法,其中的特殊方法都是利用分布之间的关系来生成的。那么,本文主要介绍连续分布之间的一些关系


伽马分布与泊松分布的关系

假设Xgamma(α,β),YPoisson(x/β),当α是整数的时候,下面等式成立:

P(Xx)=P(Yα)

伽马分布与卡方分布的关系

服从形状参数为α,尺度参数为β的伽马分布的概率密度函数pdf可以表示为:

f(x)=x(α1)e(x/β)Γ(α)βα
现在,我们假设 α=p/2,其中 p是整数且 β=2,那么此时的概率密度函数可以表示为:
f(x)=x(p/21)e(x/2)Γ(p/2)2p/2,0<x<
显然,此时的概率密度函数 pdf服从自由度为 p的卡方分布的 pdf

伽马分布与指数分布的关系

当伽马分布中的形式参数α=1时,概率密度函数变为:

f(x)=e(x/β)β,0<x<
显然,此时的概率密度函数就是参数为 β的指数分布密度函数的 pdf

韦伯分布与指数分布、瑞利分布的关系

比例参数为λ,形状参数为k的韦伯分布的概率密度函数为:

f(x)=kλ(xλ)k1e(x/λ)k,x0
λ=1时,它是指数分布;当 λ=2时,它是瑞利分布。

贝塔分布与均匀分布的关系

参数为α,β的贝塔分布的概率密度函数为:

f(x)=1B(α,β)xα1(1x)β1,0<x<1,α>0,β>0,B(α,β)=Γ(α)Γ(β)Γ(α+β)
α=β=1时,此时退化成了区间在 01的均匀分布。

正态分布与柯西分布的关系

位置参数为x0,尺度参数为γ的柯西分布的概率密度函数为:

f(x)=1πγ[1+(xx0γ)2]
x0=0,γ=1时则是标准柯西分布。
  • 关系:两个标准正态分布函数的比值服从标准柯西分布。

其它关系式

假设Uj是独立同分布于区间01的均匀分布,由文章《连续分布的产生》可以得到:Yi=λlog(Ui)是独立同分布于指数分布的随机变量。那么由指数分布与其它分布的关系推导得到如下的表达式:

Y=2j=1vlog(Uj)χ22vY=βj=1αlog(Uj)gamma(α,β)Y=aj=1log(Uj)a+bj=1log(Uj)beta(a,b)

很显然,我们可以先通过均匀分布产生指数分布,然后利用指数分布与其它分布的关系来生成对应的分布。因此,知道分布之间的关系就很容易由已知的分布得到要求的分布。
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