迷宫问题

迷宫问题指的是：在给定区域内，找到一条甚至所有从某个位置到另一个位置的移动路线。举个简单的例子，如图 1 所示，在白色区域内找到一条（甚至所有）从起点到终点的路线。

图1：迷宫问题

迷宫问题就可以采用回溯算法解决，即从起点开始，采用不断“回溯”的方式逐一试探所有的移动路线，最终找到可以到达终点的路线。

回溯算法解决迷宫问题

以图 1 所示的迷宫为例，回溯算法解决此问题的具体思路是：

1. 从当前位置开始，分别判断是否可以向 4 个方向（上、下、左、右）移动：
2. 选择一个方向并移动到下个位置。判断此位置是否为终点，如果是就表示找到了一条移动路线；如果不是，在当前位置继续判断是否可以向 4 个方向移动；
3. 如果 4 个方向都无法移动，则回退至之前的位置，继续判断其它的方向；
4. 重复 2、3 步，最终要么成功找到可行的路线，要么回退至起点位置，表明所有的路线都已经判断完毕。

程序中，我们可以用特殊的字符表示迷宫中的不同区域。例如，用 1 表示可以移动的白色区域，用 0 表示不能移动的黑色区域，图 1 的迷宫可以用如下的 0-1 矩阵来表示：

1 0 1 1 1

1 1 1 0 1

1 0 0 1 1

1 0 0 1 0

1 0 0 1 1

如下是用回溯算法解决迷宫问题的伪代码：

输入 maze[ROW][COL]   //输入迷宫地图，0 表示黑色区域，1 表示可行走区域

//(row,col) 表示起点，(outrow,outcol)表示终点

maze_puzzle(maze,row,col,outrow,outcol):

   //回溯过程中，行走的每一区域都设为 Y，表示已经进行了判断

   maze[row][col] <- 'Y'

   //如果行走至终点，表明有从起点到终点的路线

   if row == outrow && col == outcol:

       Print maze  // 输出行走路线

       return

   //判断是否可以向上移动

   if canMove(maze,row-1,col):

       maze_puzzle(maze,row-1,col,outrow,outcol)

   //判断是否可以向左移动

   if canMove(maze,row,col-1):

       maze_puzzle(maze,row,col-1,outrow,outcol)

   //判断是否可以向下移动

   if canmove(maze,row+1,col):

       maze_puzzle(maze,row+1,col,outrow,outcol)

   //判断是否可以向右移动

   if canmove(maze,row,col+1):

       maze_puzzle(maze,row,col+1,outrow,outcol)

结合伪代码，如下为解决迷宫问题的 C 语言程序：

1. #include <stdio.h>
2. typedef enum { false, true } bool;
3. #define ROW 5
4. #define COL 5
5. //假设当前迷宫中没有起点到终点的路线
6. bool find = false;
7. //回溯算法查找可行路线
8. void maze_puzzle(char maze[ROW][COL], int row, int col, int outrow, int outcol);
9. //判断 (row,col) 区域是否可以移动
10. bool canMove(char maze[ROW][COL], int row, int col);
11. //输出行走路线
12. void printmaze(char maze[ROW][COL]);
13. int main()
14. {
15. char maze[ROW][COL] = {
16. {'1','0','1','1','1'},
17. {'1','1','1','0','1'},
18. {'1','0','0','1','1'},
19. {'1','0','0','1','0'},
20. {'1','0','0','1','1'} };
21. maze_puzzle(maze, 0, 0, ROW - 1, COL - 1);
22. if (find == false) {
23. printf("未找到可行线路");
24. }
25. return 0;
26. }
27. 
    
28. //(row,col) 表示起点，(outrow,outcol)表示终点
29. void maze_puzzle(char maze[ROW][COL], int row, int col, int outrow, int outcol) {
30.    maze[row][col] = 'Y'; // 将各个走过的区域标记为 Y
31. //如果行走至终点，表明有从起点到终点的路线
32. if (row == outrow && col == outcol) {
33.        find = true;
34. printf("成功走出迷宫,路线图为：\n");
35. printmaze(maze);
36. return;
37. }
38. //尝试向上移动
39. if (canMove(maze, row - 1, col)) {
40. maze_puzzle(maze, row - 1, col, outrow, outcol);
41. //如果程序不结束，表明此路不通，恢复该区域的标记
42.        maze[row - 1][col] = '1';
43. }
44. //尝试向左移动
45. if (canMove(maze, row, col - 1)) {
46. maze_puzzle(maze, row, col - 1, outrow, outcol);
47. //如果程序不结束，表明此路不通，恢复该区域的标记
48.        maze[row][col - 1] = '1';
49. }
50. //尝试向下移动
51. if (canMove(maze, row + 1, col)) {
52. maze_puzzle(maze, row + 1, col, outrow, outcol);
53. //如果程序不结束，表明此路不通，恢复该区域的标记
54.        maze[row + 1][col] = '1';
55. }
56. //尝试向右移动
57. if (canMove(maze, row, col + 1)) {
58. maze_puzzle(maze, row, col + 1, outrow, outcol);
59. //如果程序不结束，表明此路不通，恢复该区域的标记
60.        maze[row][col + 1] = '1';
61. }
62. }
63. 
    
64. //判断 (row,col) 区域是否可以移动
65. bool canMove(char maze[ROW][COL], int row, int col) {
66. //如果目标区域位于地图内，不是黑色区域，且尚未行走过，返回 true：反之，返回 false
67. return row >= 0 && row <= ROW - 1 && col >= 0 && col <= COL - 1 && maze[row][col] != '0' && maze[row][col] != 'Y';
68. }
69. 
    
70. //输出可行的路线
71. void printmaze(char maze[ROW][COL]) {
72. int i, j;
73. for (i = 0; i < ROW; i++) {
74. for (j = 0; j < COL; j++) {
75. printf("%c ", maze[i][j]);
76. }
77. printf("\n");
78. }
79. }

如下为解决迷宫问题的 Java 程序：

1. public class Demo {
2. static boolean find = false;
3. static int ROW = 5;
4. static int COL = 5;
5. //(row,col) 表示起点，(outrow,outcol)表示终点
6. public static void maze_puzzle(char [][] maze, int row, int col, int outrow, int outcol) {
7.        maze[row][col] = 'Y'; // 将各个走过的区域标记为 Y
8. //如果行走至终点，表明有从起点到终点的路线
9. if (row == outrow && col == outcol) {
10.            find = true;
11.            System.out.println("成功走出迷宫,路线图为：");
12. printmaze(maze);
13. return ;
14. }
15. //尝试向上移动
16. if (canMove(maze, row - 1, col)) {
17. maze_puzzle(maze, row - 1, col, outrow, outcol);
18. //如果程序不结束，表明此路不通，恢复该区域的标记
19.            maze[row - 1][col] = '1';
20. }
21. //尝试向左移动
22. if (canMove(maze, row, col - 1)) {
23. maze_puzzle(maze, row, col - 1, outrow, outcol);
24. //如果程序不结束，表明此路不通，恢复该区域的标记
25.            maze[row][col - 1] = '1';
26. }
27. //尝试向下移动
28. if (canMove(maze, row + 1, col)) {
29. maze_puzzle(maze, row + 1, col, outrow, outcol);
30. //如果程序不结束，表明此路不通，恢复该区域的标记
31.            maze[row + 1][col] = '1';
32. }
33. //尝试向右移动
34. if (canMove(maze, row, col + 1)) {
35. maze_puzzle(maze, row, col + 1, outrow, outcol);
36. //如果程序不结束，表明此路不通，恢复该区域的标记
37.            maze[row][col + 1] = '1';
38. }
39. }
40. //判断(row,col)区域是否可以移动
41. public static boolean canMove(char [][] maze, int row, int col) {
42. //如果目标区域位于地图内，不是黑色区域，且尚未移动过，返回 true：反之，返回 false
43. return row >= 0 && row <= ROW - 1 && col >= 0 && col <= COL - 1 && maze[row][col] != '0' && maze[row][col] != 'Y';
44. }
45. //输出行走路线
46. public static void printmaze(char [][] maze) {
47. for(int i=0;i<ROW;i++) {
48. for(int j=0;j<COL;j++) {
49.                System.out.print(maze[i][j]+" ");
50. }
51.            System.out.println();
52. }
53. }
54. public static void main(String[] args) {
55. char [][]maze = new char[][]{
56. {'1','0','1','1','1'},
57. {'1','1','1','0','1'},
58. {'1','0','0','1','1'},
59. {'1','0','0','1','0'},
60. {'1','0','0','1','1'} };
61. maze_puzzle(maze, 0, 0, ROW - 1, COL - 1);
62. if (find == false) {
63.            System.out.print("未找到可行线路");
64. }
65. }
66. }

如下为解决迷宫问题的 Python 程序：

1. #指定地图的行数和列数
2. ROW = 5
3. COL = 5
4. #初始化地图
5. maze =[['1','0','1','1','1'],
6. ['1','1','1','0','1'],
7. ['1','0','0','1','1'],
8. ['1','0','0','1','0'],
9. ['1','0','0','1','1']]
10. #假设当前迷宫中没有起点到终点的路线
11. find = False
12. #回溯算法查找可行路线
13. def maze_puzzle(maze,row,col,outrow,outcol):
14. global find
15.    maze[row][col] = 'Y'
16. if row == outrow and col == outcol:
17.        find = True
18. print("成功走出迷宫,路线图为：")
19. printmaze(maze)
20. return
21. if canMove(maze,row-1,col):
22. maze_puzzle(maze, row - 1, col, outrow, outcol)
23. #如果程序不结束，表明此路不通，恢复该区域的标记
24.        maze[row - 1][col] = '1'
25. if canMove(maze, row, col - 1):
26. maze_puzzle(maze, row, col - 1, outrow, outcol)
27. #如果程序不结束，表明此路不通，恢复该区域的标记
28.        maze[row][col - 1] = '1'
29. #尝试向下移动
30. if canMove(maze, row + 1, col):
31. maze_puzzle(maze, row + 1, col, outrow, outcol)
32. #如果程序不结束，表明此路不通，恢复该区域的标记
33.        maze[row + 1][col] = '1'
34. #尝试向右移动
35. if canMove(maze, row, col + 1):
36. maze_puzzle(maze, row, col + 1, outrow, outcol)
37. #如果程序不结束，表明此路不通，恢复该区域的标记
38.        maze[row][col + 1] = '1'
39. 
    
40. #判断(row,col)区域是否可以移动
41. def canMove(maze,row,col):
42. return row >= 0 and row <= ROW - 1 and col >= 0 and col <= COL - 1 and maze[row][col] != '0' and maze[row][col] != 'Y'
43. 
    
44. #输出行走路线
45. def printmaze(maze):
46. for i in range(0,ROW):
47. for j in range(0,COL):
48. print(maze[i][j],end=" ")
49. print()
50. 
    
51. maze_puzzle(maze,0,0,ROW-1,COL-1)
52. if find == False:
53. print("未找到可行路线")

以上程序的执行结果均为：

成功走出迷宫,路线图为：

Y 0 Y Y Y

Y Y Y 0 Y

1 0 0 Y Y

1 0 0 Y 0

1 00 Y Y

多个 Y 组成的路线就是从起点到终点的可行路线。