弹性网（Elastic Net）正则化是一种结合了L1和L2正则化的线性回归方法。它在处理具有多重共线性（特征之间高度相关）的数据时特别有用，因为它结合了L1正则化的特征选择能力和L2正则化的稳定性。弹性网正则化的目标函数是原始损失函数与L1和L2正则化项的组合。
弹性网正则化的公式：
[ L_{\text{total}} = L + \lambda1 \sum{i=1}^{n} |w_i| + \lambda2 \sum{i=1}^{n} w_i^2 ]
其中：
- ( L ) 是原始损失函数，例如均方误差。
- ( \lambda_1 ) 是控制L1正则化强度的参数。
- ( \lambda_2 ) 是控制L2正则化强度的参数。
- ( w_i ) 是模型权重。
- ( n ) 是权重的数量。
弹性网的特点：
- 平衡L1和L2：通过调整( \lambda_1 )和( \lambda_2 )的值，可以在L1和L2正则化之间进行权衡，以适应不同的数据特性。
- 特征选择：当( \lambda_1 )较大时，弹性网倾向于进行特征选择，将不重要的特征权重置为零。
- 稳定性：当( \lambda_2 )较大时，弹性网倾向于保持权重较小，增加模型的稳定性。
选择参数：
- ( \lambda_1 )和( \lambda_2 )：这两个参数通常通过交叉验证来选择，以找到最佳的正则化强度。
- ( \alpha )：在某些实现中，使用单一参数( \alpha )来控制L1和L2正则化的相对强度，其中( \alpha )是( \lambda_1 )和( \lambda_2 )的比率。
实际应用：
弹性网正则化可以应用于多种机器学习模型，包括线性回归、逻辑回归和支持向量机等。它特别适用于那些特征数量多于样本数量的情况，或者当特征之间存在高度相关性时。
代码示例（以Python的scikit-learn库为例）：
from sklearn.linear_model import ElasticNet
# 创建弹性网模型
elastic_net = ElasticNet(alpha=0.1, l1_ratio=0.5)
# 训练模型
elastic_net.fit(X_train, y_train)
在这段代码中，alpha参数控制正则化的强度，l1_ratio参数控制L1和L2正则化的相对贡献。l1_ratio的值范围从0到1，其中0表示纯L2正则化，1表示纯L1正则化，中间值表示两者的组合。
通过使用弹性网正则化，可以在保持模型稳定性的同时进行有效的特征选择，从而提高模型在未知数据上的泛化能力。
