1 右手坐标系

右手坐标系如下图：

• X：拇指指向X轴
• Y：食指指向Y轴
• Z：中指指向Z轴

可能很多人还是记不住，我个人总结两个小技巧，很容易牢记右手坐标系：

• X、Y、Z的顺序刚好也是对应手指大拇指、食指、中指也是顺序排列的
• 做一个右手坐标系的姿势，然后让食指（Y轴）指向别人的姿势，很容易就可以把右手坐标系画出来

如下，是我画的右手坐标系：

1.1 旋转90度是什么样的

例如X轴顺时针旋转90度，为了验证这个旋转结果是否正确，我们需要弄清楚这个90度是怎么旋转的：

• 可以从原点（0,0,0）向X轴看，此时就可以把三维坐标系降维到二维坐标系YOZ
• 绕X轴旋转的过程中，自然X轴的坐标是不变的，只有Y和Z是变化的。

例如：(2, 0, 3)绕X轴顺时针旋转90度，旋转后的坐标为：(2, 3, 0)

2 XYZ空间内某点绕X、Y、Z轴旋转一次

首先假设：

• 旋转前坐标为：$(x, y, z)$
• 旋转后坐标为：$(x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime})$

下面用一些内容的简单说明：

1、角度和弧度的相互转化（关于角度和弧度的更多介绍参考）

• 角度转弧度： $弧度 = 角度 \times \frac{\pi}{180}$
• 弧度转角度：$角度 = 弧度 \times \frac{180}{\pi}$

2、python的math模块和numpy模块计算正弦sin和余弦cos输入的参数值都是弧度制的

如下，计算sin90度：

>>> import numpy as np
>>> import math
>>> np.sin(90*(np.pi/180))
1.0
>>> math.sin(90*(math.pi/180))
1.0
>>>

2.1 XYZ空间内某点绕Z轴旋转γ角

1、绕Z轴旋转：Z轴的坐标是不变化的

$$ \left[x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}, 1\right]=[x, y, z, 1]\left[\begin{array}{cccc} \cos \gamma & \sin \gamma & 0 & 0 \\ -\sin \gamma & \cos \gamma & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right] $$

然后公式可以表示为：

$$ \begin{array}{l} x^{\prime}=\cos \gamma \cdot x-\sin \gamma \cdot y \\ y^{\prime}=\sin \gamma \cdot x+\cos \gamma \cdot y \\ z^{\prime}=z \end{array} $$

2、python实现XYZ空间内某点绕Z轴旋转γ角

# 1、绕Z周旋转gamma角
def rotate_Z(x, y, z,  gamma):
    gamma = gamma * (np.pi / 180)
    x_r = np.cos(gamma)*x - np.sin(gamma)*y
    y_r = np.sin(gamma)*x + np.cos(gamma)*y
    z_r = z
    print(f"{(x, y, z)} rotate {gamma*(180/np.pi)} degrees around the Z-axis,result {(x_r, y_r, z_r)}")
    return x_r, y_r, z_r

3、C++实现XYZ空间内某点绕Z轴旋转γ角

//将空间点绕Z轴旋转
//输入参数 x y为空间点原始x y坐标
//thetaz为空间点绕Z轴旋转多少度，角度制范围在-180到180
//outx outy为旋转后的结果坐标
void codeRotateByZ(double x, double y, double thetaz, double& outx, double& outy)
{
   
   
    double x1 = x;//将变量拷贝一次，保证&x == &outx这种情况下也能计算正确
    double y1 = y;
    double rz = thetaz * CV_PI / 180;
    outx = cos(rz) * x1 - sin(rz) * y1;
    outy = sin(rz) * x1 + cos(rz) * y1;

}

2.2 XYZ空间内某点绕Y轴旋转β角

1、绕Z轴旋转：Z轴的坐标是不变化的

$$ \left[x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}, 1\right]=[x, y, z, 1]\left[\begin{array}{cccc} \cos \beta & 0 & -\sin \beta & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ \sin \beta & 0 & \cos \beta & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right] $$

然后公式可以表示为：

$$ \begin{array}{l} x^{\prime}=\cos \beta \cdot x+\sin \beta \cdot z \\ y^{\prime}=y \\ z^{\prime}=-\sin \beta \cdot x+\cos \beta \cdot z \end{array} $$

2、python实现XYZ空间内某点绕Y轴旋转β角

# 2、绕Y轴旋转beta角
def rotate_Y(x, y, z, beta):
    beta = beta * (np.pi / 180)
    x_r = np.cos(beta)*x + np.sin(beta)*z
    y_r = y
    z_r = -np.sin(beta)*x + np.cos(beta)*z
    print(f"{(x, y, z)} rotate {beta*(180/np.pi)} degrees around the Y-axis,result {(x_r, y_r, z_r)}")
    return x_r, y_r, z_r

3、C++实现XYZ空间内某点绕Y轴旋转β角

//将空间点绕Y轴旋转
//输入参数 x z为空间点原始x z坐标
//thetay为空间点绕Y轴旋转多少度，角度制范围在-180到180
//outx outz为旋转后的结果坐标
void codeRotateByY(double x, double z, double thetay, double& outx, double& outz)
{
   
   
    double x1 = x;
    double z1 = z;
    double ry = thetay * CV_PI / 180;
    outx = cos(ry) * x1 + sin(ry) * z1;
    outz = cos(ry) * z1 - sin(ry) * x1;
}

2.3 XYZ空间内某点绕X轴旋转α角

1、绕Z轴旋转：Z轴的坐标是不变化的

$$ \left[x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}, 1\right]=[x, y, z, 1]\left[\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \alpha & \sin \alpha & 0 \\ 0 & -\sin \alpha & \cos \alpha & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right] $$

然后公式可以表示为：

$$ \begin{array}{l} x^{\prime}=x \\ y^{\prime}=\cos \alpha \cdot y-\sin \alpha \cdot z \\ z^{\prime}=\sin \alpha \cdot y+\cos \alpha \cdot z \end{array} $$

2、python实现XYZ空间内某点绕X轴旋转α角

# 3、绕X轴旋转alpha角
def rotate_X(x, y, z, alpha):
    alpha = alpha * (np.pi / 180)
    x_r = x
    y_r = np.cos(alpha)*y - np.sin(alpha)*z
    z_r = np.sin(alpha)*y + np.cos(alpha)*z
    print(f"{(x, y, z)} rotate {alpha*(180/np.pi)} degrees around the X-axis,result {(x_r, y_r, z_r)}")
    return x_r, y_r, z_r

3、C++实现XYZ空间内某点绕X轴旋转α角

//将空间点绕X轴旋转
//输入参数 y z为空间点原始y z坐标
//thetax为空间点绕X轴旋转多少度，角度制范围在-180到180
//outy outz为旋转后的结果坐标
void codeRotateByX(double y, double z, double thetax, double& outy, double& outz)
{
   
   
    double y1 = y;//将变量拷贝一次，保证&y == &y这种情况下也能计算正确
    double z1 = z;
    double rx = thetax * CV_PI / 180;
    outy = cos(rx) * y1 - sin(rx) * z1;
    outz = cos(rx) * z1 + sin(rx) * y1;

完整代码：

import numpy as np

# 1、绕Z周旋转gamma角

def rotate_Z(x, y, z,  gamma):
    gamma = gamma * (np.pi / 180)
    x_r = np.cos(gamma)*x - np.sin(gamma)*y
    y_r = np.sin(gamma)*x + np.cos(gamma)*y
    z_r = z
    print(f"{(x, y, z)} rotate {gamma*(180/np.pi)} degrees around the Z-axis,result {(x_r, y_r, z_r)}")
    return x_r, y_r, z_r


# 2、绕Y轴旋转beta角
def rotate_Y(x, y, z, beta):
    beta = beta * (np.pi / 180)
    x_r = np.cos(beta)*x + np.sin(beta)*z
    y_r = y
    z_r = -np.sin(beta)*x + np.cos(beta)*z
    print(f"{(x, y, z)} rotate {beta*(180/np.pi)} degrees around the Y-axis,result {(x_r, y_r, z_r)}")
    return x_r, y_r, z_r


# 3、绕X轴旋转alpha角
def rotate_X(x, y, z, alpha):
    alpha = alpha * (np.pi / 180)
    x_r = x
    y_r = np.cos(alpha)*y - np.sin(alpha)*z
    z_r = np.sin(alpha)*y + np.cos(alpha)*z
    print(f"{(x, y, z)} rotate {alpha*(180/np.pi)} degrees around the X-axis,result {(x_r, y_r, z_r)}")
    return x_r, y_r, z_r



# https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%97%8B%E8%BD%AC%E7%9F%A9%E9%98%B5
# 可能是坐标系的不同，维基百科上的斜对角的sin的负号，和我们使用的刚好是交换过来的

if __name__ == '__main__':
    # 1、绕Z轴旋转，Z值不变
    # 点(2, 0, 12)绕Z轴旋转90度，旋转后 (0, 2, 12)
    rotate_Z(2, 0, 12, 90)

    # 2、绕Y轴旋转，Y值不变
    # 点(3, 4, 0)绕Y轴顺时针旋转90度，旋转后 (0, 4, -3)
    rotate_Y(3, 4, 0, 90)

    # 3、绕X轴旋转，X值不变
    # 点(5, 0, 7)绕X轴顺时针旋转90度，旋转后 (5, -7, 0)
    rotate_X(5, 0, 7, 90)

    x, y, z = 1, 2, 3
    x, y, z = rotate_X(x, y, z, 90)
    x, y, z = rotate_Y(x, y, z, -90)
    x, y, z = rotate_Z(x, y, z, -90)
    # 结果：(1,2,3) -> (-3, 2, 1)

    x, y, z = 1, 2, 3
    x, y, z = rotate_Z(x, y, z, 90)
    x, y, z = rotate_Y(x, y, z, -90)
    x, y, z = rotate_X(x, y, z, -90)
    # 结果： (1,2,3) - > (-3, -2, -1)
    # 因此不同的旋转顺序会导致旋转的结果不一样

如果你看维基百科，会发现在维基百科上我们绕每个轴的旋转矩阵，斜对角的两个sin正弦值的正负号刚好是交换过来的，这个可能就可坐标系的选择有关了，我们这里选择的是右手坐标系！