程序技术好文：概率论与数理统计图式（第三章多维随机变量）

概率论与数理统计图式（第三章 多维随机变量）

1、二位随机变量及其分布

1）二维随机变量定义

设随机试验E 的样本空间//代码效果参考：http://www.lyjsj.net.cn/wz/art_24117.html

注：对二维随机变量( X, Y )来说， X，Y 都是定义在Ω上的一维随机变量.

随机事件事件——>随机变量的取值范围，x:{X<=x},Fx(x)

2）联合分布函数

（1）联合分布函数几何意义

平面随机点( X, Y ) 落入以(x, y)为顶点的左下方区域的概率。

（2）联合分布函数的性质

单调不减性

非负有界性

右连续性

相容性　　

3）边缘分布函数

（1）定义：称X、Y各自的分布函数 FX(x) 与 FY(y) 为( X, Y ) 的边缘分布函数。

（2）由联合分布函数可确定边缘分布函数：

2、联合分布律

用边缘分布律不一定能确定联合分布律！

原因：多维随机变量的联合分布不仅与每个变量的边缘分布有关，而且还与每个变量之间的联系有关！两个随机变量X,Y不等同于二维随机变量(X,Y)!

3、联合概率密度

（1）联合概率密度的物理解释：概率在(x, y)处的面密度.

（2）联合概率密度曲面

（3）f(x)满足

非负性和规范性

对边缘概率密度的求解，就是固定y对x求积分，实质上是求带参变量的积分。

难点: 积分上下限的确定!——对于 y 取不同的值，f Y ( y )的积分上下限是不相同的。

可通过图形来帮助解决这个问题。

4、二维均匀分布

1）记为(X,Y)~U(G)

5、二维正态分布

1）二元正态分布，不用背公式，要记参数。

2）记为，σ1，σ2>0，|ρ|<1

3) 边缘分布相关

二维正态分布的边缘分布还是正态分布

边缘分布都是正态分布，其联合分布却未必是正态分布

边缘分布函数不能推导联合分布函数，因为缺少参数ρ，若ρ=0（x,y相互独立）可推

6、随机变量的独立性

1）二维随机变//代码效果参考：http://www.lyjsj.net.cn/wz/art_24115.html

　　1》定义： ( X , Y )是二维随机变量, 若对任意实数对( x , y )均有成立，称 X与Y相互独立

　　2》对随机变量相互独立的理解：随机变量X与Y的取值互相之间没有影响；随机事件{ X ≤ x }与随机 事件{ Y ≤ y } 相互独立。随机变量的独立性本质上是事件的独立性

　　3》随机变量相互独立的等价条件：

2）多维随机变量独立性

　　1》定理：若n维随机变量（X1 ,X2,…，Xn ) 相互独立，则

随机变量 g1(X1), g2(X2),…, gn(Xn) 也相互独立.

随机变量 h (X1 ,X2,…,Xm ) 与g(Xm+1 ,Xm+2,…,Xn ) 也相互独立.

　　2》若要判断不相互独立，则只需找到一组a, b使定义式不成立即可。

7、条件分布

1）条件分布律

在X=xi的条件下,随机变量Y 的条件分布律：

2）条件概率密度

　　1》在随机变量Y＝ y 的条件下, 考虑随机变量X 的条件分布函数为

　　2》由于不能保证 P {Y=y }> 0，所以在一般情况下, 不能用条件概率的定义来直接定义条件分布函数。这时需采用极限的方法来定义条件分布函数。

　　　　1>Y=y的条件下,随机变量X 的条件分布函数.记作 FX|Y(x |y)

　　　　2>结论： 设(X,Y)是连续型随机变量, 且满足f (x, y), fY ( y) 在(x, y)附近连续, 且 fY ( y) > 0 则有

　　//代码效果参考：http://www.lyjsj.net.cn/wz/art_24113.html

4》如何判断两个连续型随机变量X,Y 相互独立

5》联合分布、边缘分布、条件分布三者之间的关系　　　

一个条件分布和相应的边缘分布能唯一确定联合分布.

6》分布联系

　　二维均匀分布的条件分布还是均匀分布；

　　二维正态分布的条件分布还是正态分布；

8、随机变量的函数及其分布

1）以随机变量为自变量的函数。

2）离散型随机变量的函数及其分布律

　　1》离散型随机变量分布律

　　2》可加性

二项分布具有可加性

结论： 二项分布随机变量可等价表示为多个独立0-1分布随机变量之和！

泊松分布具有可加性

3）连续型随机变量的函数及其概率密度

　　1》连续型随机变量的函数及其概率密度的定理

分布函数法

反函数法

4）例题