一、基础概念
1. 函数递归的概念
函数递归指的是在函数内部调用自身的过程。
具体而言，递归函数通过将一个问题分解为更小的、类似的子问题来解决问题。
2. 递归函数的定义
递归函数的定义通常包括以下几个要素：
- 基本情况（Base Case）：递归函数必须包含一个或多个基本情况，即能够直接解决的最简单的问题。当函数达到基本情况时，递归将停止。基本情况提供了递归终止的条件。
- 递归调用（Recursive Call）：递归函数在解决复杂问题时会调用自身，但每次调用时问题规模会减小，直到达到基本情况。递归调用是递归函数实现的关键，它使得函数能够重复地处理子问题。
- 问题规模减小：递归调用必须保证问题规模在每次递归时都减小，否则递归可能无法终止。通过每次递归调用都将问题规模减小，最终达到基本情况。
3. 函数递归的优缺点
优点：
- 简化问题：递归能够将复杂问题分解成更小、更简单的子问题，使得代码逻辑更加清晰和简洁。递归能够提高代码的可读性和可维护性。
- 解决递归问题：对于某些问题，递归是一种自然且直接的解决方案。递归能够提供一种直观的思考方式，使得问题的解决过程更加容易理解。
- 适应动态规划：递归和动态规划（DP）问题密切相关。在动态规划中，递归函数可以用来定义子问题之间的关系，帮助我们设计出高效的算法。
缺点：
- 性能开销：递归调用涉及函数的多次调用、参数传递和栈的操作，这会引入额外的性能开销。相比迭代循环，递归可能会导致更长的执行时间和更多的内存消耗。
- 栈溢出：如果递归深度过大或者没有正确的终止条件，递归函数可能会导致栈溢出，从而导致程序崩溃。因此，在使用递归时，必须小心控制递归的深度，确保终止条件能够被满足。
- 可读性挑战：尽管递归可以简化代码逻辑，但对于复杂的递归函数，理解和调试可能会比较困难。递归的实现需要深入思考问题的分解和合并过程，对于初学者来说可能会有一定的难度。
- 隐式堆栈：递归调用会创建隐式的函数调用堆栈，其中保存了每个递归调用的状态。如果递归层数很深，堆栈可能会占用大量内存空间，从而增加程序的内存消耗。
4. 函数递归的两个必要条件
- 存在限制条件，当满足这个限制条件的时候，递归便不再继续。
- 每次递归调用之后越来越接近这个限制条件。
二、 函数递归实例入门
(1). 最简单的函数递归
#include<stdio.h> int main() { printf("Hello World!\n"); main(); // main函数中再次调用main函数 return 0; }
运行结果： 
调试运行：
从运行结果来看，程序最终会崩溃。经过调试会显示一个Stack overflo这就是栈溢出，也就是递归的缺点之一。
1.1 栈溢出的原因
1.函数递归栈溢出的原因是递归深度过大，或者没有正确的递归终止条件，导致递归函数无法停止调用，不断地将新的函数压入栈中，最终导致栈空间耗尽。 就以上面所示代码为例，每调用一次main函数都会向内存申请一块空间，每调用一次就申请一次，栈中保存的数据量将会越来越大，栈空间也会被占满。当栈空间耗尽时，程序就会因为无法继续压入新的栈帧而抛出“栈溢出”异常。
2.另一种常见的导致递归栈溢出的原因是没有正确的递归终止条件。如果递归函数没有满足退出递归的条件，那么它将会无限地调用自身，不断地将新的函数压入栈中，最终导致栈空间耗尽。这个问题可以通过在递归函数中添加终止条件来解决。
(2). 顺序打印整数的每一位
题目需求：输入一个整数m，按照顺序打印整数的每一位。
例如：
输入：1234 输出：1 2 3 4
输入：520 输出：5 2 0
题目分析
这种输入输出数字的题，我们一定要想到取模和取余的方法,并且要有限制条件，每次函数递归后，都会越来越接近这个值。所以先函数递推1234%10=4, 123%10=3, 12%10=2, 1%10=1,给定限制条件n>9,直到n=1，打印出1，最后函数回归打印出1234。
代码实现
#include<stdio.h> void Print(int n) { if (n > 9) // 限定条件 { Print(n / 10); // 取模 } printf("%d ", n % 10); // 取余 } int main() { int n = 0; scanf("%d", &n); Print(n); return 0; }
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画图推演
三、函数递归举例
举例1：求n的阶乘
一个正整数的阶乘（factorial）是所有小于及等于该数的正整数的积，并且0的阶乘为1。⾃然数n的阶乘写作n!。
题目：计算n的阶乘（不考虑溢出），n的阶乘就是1~n的数字累积相乘。
题目分析
我们知道n的阶乘的公式： n！ = n ∗ (n − 1)!
举例： 5! = 5*4*3*2*1 4! = 4*3*2*1 所以:5! = 5*4!
当 n==0 的时候，n的阶乘是1，其余n的阶乘都是可以通过公式计算。
n的阶乘的递归公式如下：
我们就可以写出函数Fact求n的阶乘，假设Fact(n)就是求n的阶乘，那么Fact(n-1)就是求n-1的阶乘。
代码实现
#include<stdio.h> int Fact(int n) { if (n == 0) { return 1; } else { return n * Fact(n - 1); } } int main() { int n = 0; scanf("%d", &n); int ret = Fact(n); printf("%d\n", ret); return 0; }
运行结果如下(这里不考虑n太大的情况，n太大存在溢出)： 
画图推演
举例2：递归实现n的k次方
题目：编写一个函数实现n的k次方，使用递归实现。
题目分析
以k>0和k=0为限制条件，每一次递推就乘以n，并且k都减一次1，直到不满足限定条件，然后回归。
- 确定递归函数的参数：递归函数需要接受两个参数，分别是底数n和指数k。
- 定义递归基：当指数k等于0时，任何数的0次方都等于1，所以可以将此作为递归基，直接返回1。
- 定义递归的处理过程：递归步骤是将问题分解为计算n的k-1次方，并乘以n的结果。
- 返回结果：将递归得到的结果返回。
代码实现
#include<stdio.h> int Power(int n, int k) { if (k == 1) return n; else return n * Power(n, k - 1); } int main() { int ret = Power(2, 3); printf("%d\n", ret); return 0; }
运行结果
画图推演
举例3：计算一个数的每位之和（递归实现）
题目：
写一个递归函数DigitSum(n)，输入一个非负整数，返回组成它的数字之和
例如，调用DigitSum(1729)，则应该返回1+7+2+9，它的和是19
输入：1729，输出：19
题目分析
- 确定递归函数的参数：递归函数需要接受一个整数n作为参数。
- 定义递归基：当输入的整数n小于10时，即只有一位数时，直接返回该数字作为结果。
- 定义递归的处理过程：通过递归调用函数，将问题分解为计算n的最后一位数字和剩余数字之和的结果。
- 返回结果：将递归得到的结果返回。
代码实现
#include<stdio.h> int DigitSum(int n) { if (n < 10) { return n; } return n % 10 + DigitSum(n / 10); } int main() { int n = 0; scanf("%d", &n); int ret = DigitSum(n); printf("%d\n", ret); return 0; }
运行结果
画图推演
举例4：斐波那契数（递归实现和非递归实现）
斐波那契数：斐波那契数列的第1项是1，第2项也是1。从第3项开始，每一项都等于前两项之和。
题目：
计算斐波那契数递归实现求第n个斐波那契数
例如：
输入：5 输出：5
输入：10， 输出：55
输入：2， 输出：1
(1). 递归的实现
题目分析：
斐波那系数是前两项加起来等于后一项：1，1，2，3，5，8，13…,所以我们可以以n<=2为限制条件，当n=1或2时，返回1，然后到n=3项时就是n=1项和n=2项之和，然后依次往后推，即Fib(n)=Fib(n-1)和Fib(n-2)之和。
代码实现
#include<stdio.h> int Fib(int n) { if (n <= 2) return 1; else return Fib(n - 1) + Fib(n - 2); } int main() { int n = 0; scanf("%d", &n); int ret = Fib(n); printf("%d", ret); return 0; }
运行结果
画图推演
由图可以看出，当n越大，在递归的过程中会有重复计算，而且递归层次越深，冗余计算就会越多，效率越低。
(2). 非递归的实现
题目分析：
也可以参考上面递归实现的思路，我们可以用三个变量相互替换来解决，n1为第一项，n2为第二项，c为第三项，运用while()循环，每一次循环n就减1，直到n=2，最后输出c。
代码实现
#include<stdio.h> int Fib(int n) { int a = 1; int b = 1; int c = 1; while (n >= 3) { c = a + b; a = b; b = c; n--; } return c; } int main() { int n = 0; scanf("%d", &n); int ret = Fib(n); printf("%d\n", ret); return 0; }
运行结果
改进之后发现求斐波那契数用非递归的方式效率明显高于递归的方式，原因：
- 避免了重复计算：递归方式在计算斐波那契数时存在着大量的重复计算，每次递归都会重复计算前面已经计算过的子问题。而非递归方式通过迭代的方式，从前往后按顺序计算每一项，避免了重复计算，提高了效率。
- 减少函数调用开销：递归方式需要频繁地进行函数调用，每次调用都需要保存现场、传递参数等操作，会产生额外的开销。而非递归方式只需要使用循环来进行迭代计算，减少了函数调用的开销，提高了效率。
- 节省内存空间：递归方式在递归过程中需要维护函数调用栈，消耗了额外的内存空间。而非递归方式只需要使用有限的变量来保存中间结果，不需要额外的栈空间，节省了内存空间。
用迭代的方式去实现这个代码，效率就要高出很多了。
