前言：再论“拨”取数位上的数
在我曾经的博客中提到过，“水仙花数”类型的题目，精髓就在于“拨数”。关于“拨数”的内容，在往期的文章中已经详细讨论过，本文便不再赘述。我们将“拨数”作为一个大家已经掌握了的知识储备，再来讨论水仙花数系列的习题。
C语言编程必会技能：“拨”取数位上的数
三位水仙花数，即其个位、十位、百位数字的立方和等于该数本身。这是我们常见的水仙花数题，它的讨论范围限定在3位数。事实上，水仙花数可以不止有3位数，但它们的运算规则是相同的：
一个n位数，其各位数字的n次方之和恰好等于该数本身。于是就有：
三位的水仙花数共有4个：153，370，371，407；
四位的四叶玫瑰数共有3个：1634，8208，9474；
五位的五角星数共有3个：54748，92727，93084；
六位的六合数只有1个：548834；
七位的北斗七星数共有4个：1741725，4210818，9800817，9926315；
八位的八仙花数共有3个：24678050，24678051，88593477
我们干脆将所有具有该特点的数成为水仙花数。
本文讨论的重点在于，如何判断一个任意数位的水仙花数。我们再次巩固和运用“拨数”大法来解决问题，文末附上了水仙花数的变种：
把任意的数字，从中间拆分成两个数字，如果所有拆分后的乘积之和等于该数本身。
希望本文能让诸位读者对数位拨取类习题有更深刻的理解。
一、引例：三位水仙花数
1. 题干
输出所有水仙花数。
水仙花数是一个3位数，各位数字的立方之和等于他本身，例如：153= 13+53+33。
2. 思路
实现3位水仙花数是一件很容易构思的事情。先把三位数中个位、十位、百位上的数字取下来，然后进行立方求和运算，最后判断是否与原数相等即可。
3位水仙花数数位确定，且幂仅是三次方（幂数较少），实现起来并不复杂。大致分为两步：
1. 取数字
2. 计算并判断是否相等。
3. 代码
#include<iostream> int main(){ int flowerN,ge,shi,bai; for(flowerN = 100; flowerN < 1000; flowerN++){ //拨取数位上的数 ge = flowerN%10; shi = flowerN/10%10; bai = flowerN/100%10; if(flowerN == ge*ge*ge + shi*shi*shi + bai*bai*bai){ printf("%d ",flowerN); } } return 0; }
二、推广：N位水仙花数
1. 题干
求出0～100000之间的所有“水仙花数”并输出。
“水仙花数”是指一个n位数，其各位数字的n次方之和确好等于该数本身，如:153＝1^3＋5^3＋3^3，则153是一个“水仙花数”。
2. 思路
有些同学在这道题卡住，很大的一个原因是，当具象的“3”变成抽象的“n”时，比较难以想象该如何让代码做到普适。当感觉一团乱麻的时候，我们依旧可以考虑用上次讲到的分析问题“三板斧”（举例、模拟（必要时画图）、找规律）进行考虑。
碳基肥宅：分析破题“三板斧”
有了计算3位水仙花数的经验（3位水仙花数正是一个特例，很好地帮助我们完成了“举例”这第一板“斧”），我们可以直接将问题切割为三个大步骤，再逐步求精：
1. 一共有多少个数位？这决定了一共有多少个数要拨取并相加，以及相应的幂数。
--求位数
2.求数的n次方。
3.累加：求每个数位上的数的n次方之和。这需要对叠加的算法熟悉。
以上，我们将一个大问题分割成了几个小的功能模块。在编程时，我们只需要照着这些小的功能模块逐步完善求精即可。
详细说明上述思路不是没有意义的。我们需要有意识地在编程分析问题时“慢下来”，分割大问题，完善小问题，才能保证编程的顺利。相比起拿到题目就从头开始干，想到哪里写到哪里，一运行bug肆虐，我认为这样有规划地写代码，确实是更好的选择。
3. 代码
#include<stdio.h> #include<math.h> //求出整数的位数n -- 拨取数位上的数 int digits(int num){ int n = 1; while(num/10){ n++; num /= 10; //这一句注意不要遗漏！！否则就是死循环 } return n; } //判断是不是水仙花数，是返回1，不是返回0 int isNumber(int num){ int n = digits(num); //调用函数，获取数位 int sum = 0; int tmp = num; //把num的值先保存起来，便于后续比较 while(num){ sum += pow(num%10,n); //可以类比叠加的算法 num /= 10; } if(sum == tmp){ return 1; }else{ return 0; } } int main(){ for(int num = 0; num <= 100000; num++){ if(isNumber(num)){ printf("%d\n",num); } } return 0; }
说明
1. while循环中，千万不要忘记num /= 10这一步骤。这是循环变量的调整步骤，没有这一步程序会死循环。由于while(num / 10)和num /= 10这一步有些相像，num /= 10这一步就很容易漏写。
2. int tmp = num;这一步很关键。它是将num的值暂时保存到tmp中，最后比较时，也是将sum与tmp比。因为num同时作为循环变量，它是不断变化调整的。当while执行结束后，num早已不是我们最初输入的那个值。最后sum要和“该数本身比较”，num早已不是“该数本身”。因此我们需要再创建一个变量，拷贝出num最初的值备用。
这一步非常隐蔽，很容易直接按照预先想好的逻辑上手而将它忽略。这样程序当然会出bug。我第一次编写代码时，正是遇到了这个问题，看了很久调试后才发现问题所在。一不小心，就花费了很多的时间。
三、拓展：水仙花数的变种 -- 灵活“拨”取数字
1. 题干
牛客网习题链接
BC38 变种水仙花
2. 思路
三板斧的使用
举例
这道题相比上面的题目，难度未必有所提升。我们直接以五位数12345为例，对这个情况进行模拟。
模拟
num：12345。以下示意程序运行时达到的效果：
- 1234 5
12345/10 * 12345%10
- 123 45
12345/100 * 12345%100
- 12 345
12345/1000 * 12345%1000
- 1 2345
12345/10000 * 12345%10000
找规律
我们发现，同一组内，除数与模数始终相等，且从10开始变化到10000.我们将该数设定为循环变量i，i从10变化到10000，且每次增长10倍。
而被分隔成的左右两个数，一个是num%i的结果，一个是num/i的结果。
因此，将规律整合成为如下代码即可：
3. 代码
#include<stdio.h> /* 12345 1234 5 12345/10 * 12345%10 123 45 12345/100 * 12345%100 12 345 12345/1000 * 12345%1000 1 2345 12345/10000 * 12345%10000 */ int isLily(int num){ int tmp = num; int sum = 0; for(int i = 10; i <= 10000; i*=10){ sum += (num/i)*(num%i); } if(sum == tmp){ return 1; } return 0; } int main(){ for(int i = 10000; i < 100000; i++){ if(isLily(i)){ printf("%d ",i); } } return 0; }
四、总结
1. 编写代码时可以考虑先分隔功能模块，再逐步求精。
2. 水仙花数从3位到n位的推广：找相似。
