一.邻接矩阵
1.无向图
（1）对角线上是每一个顶点与自身之间的关系，没有到自身的边，所以对角线上为0
（2）无向图的邻接矩阵是对称的
两个顶点之间如果有边的话，那么两个顶点互为邻接关系，值为1
（3）顶点i的度=第i行（列）中1的个数
注：完全图的邻接矩阵，对角元素为0，其余为1
2.有向图
（1）在有向图的邻接矩阵中
第i行含义：以结点为尾的弧（即出度边）
顶点的出度=第i行元素之和
第i列含义：以结点为头的弧（即入度边）
顶点的入度=第i列元素之和
顶点的度=第i行元素之和+第i列元素之和
（2）有向图的邻接矩阵可能是不对称的
补充：网（有权图）的邻接矩阵表示法
邻接矩阵存储
#define MaxInt 32767
#define MVNum 100 //最大顶点数
typedef char VerTexType; //设顶点的数据类型为字符型
typedef int ArcType; //假设边的权值类型为整型
typedef struct{
VerTex vex[MVNum]; //顶点表
ArcType arcs[MVNum][MVNum]; //邻接矩阵
int vexnum,arcnum; //图的当前点数和边数
}AMGraph;
以无向网为例
int LocateVex(AMGraph G,VertexType u) { //查找图G中的顶点u,存在则返回顶点表中的下标;否则返回-1 int i; for(i=0;i<G.vexnum;++i)//有几条边就循环多少次 { if(u==G.vexs[i]) return i; return -1; } } Status CreateUDN(AMGraph &G) { int i; cin>>G.vexnum>>G.arcnum;//总顶点,总边数 for(i=0;i<G.vexnum;++i) cin>>G.vexs[i];//依次输入点的信息 for(i=0;i<G.vexnum;++i)//初始化邻接矩阵 { for(int j=0;j<G.vexnum;++j) { G.arcs[i][j]=MaxInt;//边的权值均置为极大值 } } for(int k=0;k<G.arcnum;++k)//构造邻接矩阵 { cin>>v1>>v2>>w;//输入一条边所依附的顶点以及边的权值 i=LocateVex(G,v1); j=LocateVex(G,v2);//确定v1,v2在G中的位置 G.arcs[i][j]=w;//边<v1,v2>的权值置w G.arcs[j][i]=G.arcs[i][j];//<v1,v2>的对称边<v2,v1>的权值也为w } return OK; }
无向图，有向网,有向图与无向网是类似的
•对于无向图而言，其与无向网相比没有权值
初始化邻接矩阵时，w=0 ，构建邻接矩阵时，w=1
Status CreateUDG(AMGraph &G) { int i; cin>>G.vexnum>>G.arcnum;//总顶点,总边数 for(i=0;i<G.vexnum;++i) cin>>G.vexs[i];//依次输入点的信息 for(i=0;i<G.vexnum;++i)//初始化邻接矩阵 { for(int j=0;j<G.vexnum;++j) { G.arcs[i][j]=0;//边的权值均置为0 } } for(int k=0;k<G.arcnum;++k)//构造邻接矩阵 { cin>>v1>>v2;//输入一条边所依附的顶点 int w=1;//1表示连接、0表示无连接 i=LocateVex(G,v1); j=LocateVex(G,v2);//确定v1,v2在G中的位置 G.arcs[i][j]=w;//边<v1,v2>的权值置w G.arcs[j][i]=G.arcs[i][j];//<v1,v2>的对称边<v2,v1>的权值也为w } return OK; }
•对于有向网而言，与无向网不同的是，其每一条弧，都是从一个顶点指向另外一个顶点的
仅为G.arcs[i][j]赋值，不为G.arcs[j][i]赋值
Status CreateDN(AMGraph &G) { int i; cin>>G.vexnum>>G.arcnum;//总顶点,总边数 for(i=0;i<G.vexnum;++i) cin>>G.vexs[i];//依次输入点的信息 for(i=0;i<G.vexnum;++i)//初始化邻接矩阵 { for(int j=0;j<G.vexnum;++j) { G.arcs[i][j]=MaxInt;//边的权值均置为极大值 } } for(int k=0;k<G.arcnum;++k)//构造邻接矩阵 { cin>>v1>>v2>>w;//输入一条边所依附的顶点以及边的权值 i=LocateVex(G,v1); j=LocateVex(G,v2);//确定v1,v2在G中的位置 G.arcs[i][j]=w;//边<v1,v2>的权值置w } return OK; }
•对于有向图而言，只需要将无向图和有向网的修改结合一下就行
没有权值，连接两个顶点的边是弧
Status CreateDG(AMGraph &G) { int i; cin>>G.vexnum>>G.arcnum;//总顶点,总边数 for(i=0;i<G.vexnum;++i) cin>>G.vexs[i];//依次输入点的信息 for(i=0;i<G.vexnum;++i)//初始化邻接矩阵 { for(int j=0;j<G.vexnum;++j) { G.arcs[i][j]=0;//边的权值均置为0 } } for(int k=0;k<G.arcnum;++k)//构造邻接矩阵 { cin>>v1>>v2;//输入一条边所依附的顶点 int w=1;//1表示连接、0表示无连接 i=LocateVex(G,v1); j=LocateVex(G,v2);//确定v1,v2在G中的位置 G.arcs[i][j]=w;//边<v1,v2>的权值置w } return OK; }
邻接矩阵的优点
•方便检查任意一对顶点间是否存在边
•方便找任一顶点的所有“邻接点”（有边直接相连的顶点）
•方便计算任一顶点的“度”(从该点发出的边数为“出度”，指向该点的边数为“入度”)
•无向图:对应行 (或列)非0元素的个数
•有向图:对应行非0元素的个数是“出度”;对应列非0元素的个数是“入度
邻接矩阵的缺点
•不便于增加和删除顶点
•邻接矩阵的空间复杂度为O(),跟其有的边的条数无关，只与其顶点数有关，无论边少还是边多，空间复杂度都为O()，浪费空间----存稀疏图（点很多而边很少）有大量无效元素
•浪费时间----统计稀疏图中一共有多少条边，因为必须遍历所有元素
二.邻接表
1.无向图
顶点：按编号顺序存储在一维数组中
这里的一维数组和邻接矩阵中的一维数组不同，数组中每个元素有两个成员
第一个是数据元素的信息，第二个是指针，存储的是第一个边的地址
关联同一顶点的边：用线性链表存储,例如3，表示邻接的顶点是下标为3的元素（v4）
如果有边\弧的信息，还可以在表结点中增加一项
第一个表示邻接点在顶点表中的序号
第二个元素是一个指针，指向的是下一条边（弧）
第三个元素表示边的信息（权值）
（1）邻接表是不唯一
例如“v1”指针指向的是邻接点v4和v2的下标，分别为3，1，这些边的顺序是可以改变的。
（2）若无向图中有n个顶点，e条边，则其邻接表需n个头结点和2e个表结点，适宜存储稀疏图。
使用每条边时会出现两次，从v1到v2和从v2到v1用的是同一条边，所以有e条边，就有2e个表结点
所以无向图的存储空间为O(n+2e):n表示点，2e表示边
有向图的存储空间为O(n+e)
注对于邻接矩阵而言，存储空间为O(),所以邻接表在存储稀疏图时比较节省空间
（3）无向图中顶点的度为第i个单链表中的结点数
•顶点的存储结构
#define MVNum 100 //最大顶点数 typedef struct ArcNode //边结点 { int adjvex; //该边所指向的顶点的位置 struct ArcNode *nextarc; //指向下一条边的指针 OtherInfo info; //和边相关的信息(权值等) }ArcNode;
typedef struct VNode
{
VerTexType data; //顶点信息
ArcNode *firstarc; //指向第一条依附该顶点的边的指针
}VNode,AdjList[MVNum];
注:AdjList[MVNum]==VNnode v[MVNum]
•弧(边)的结点结构
#define MVNum 100 //最大顶点数
typedef struct ArcNode //边结点
{
int adjvex; //该边所指向的顶点的位置
struct ArcNode *nextarc; //指向下一条边的指针
OtherInfo info; //和边相关的信息(权值等)
}ArcNode;
•图的结构定义
typedef struct { AdjList vertices; //存放各个顶点的数组 int vexnum, arcnum; //图的当前顶点数和弧数 }ALGraph;
•邻接表操作举例说明
ALGraph G; //定义了邻接表表示的图G
G.vexnum = 5; G.arcnum = 6; //图G中包含5个顶点，6条边
G.vertices[1].data = 'b'; //图G中的第2个顶点是b
p = G.vertices[1].firstarc; //指针p指向顶点b的第一条边结点
p->adjvex = 4; //指针p所指边结点是到下标为4的结点的边
2.有向图
（1）顶点的出度为第i个单链表中的结点个数
（2）顶点的入度为整个单链表中邻接点域值是（i-1）的结点个数
根据以上结论，可以看出对于这样的每一个顶点存储出度边的有向图而言，找出度是容易的，找入度则比较难，例如，找终点为v1的边，那么就需要遍历所有边结点，找到邻结点为0的入度边
也可以每一个顶点存储其入度边，如下图：逆邻接表
和邻接表的结论相反：找入度容易，找出度难
（1）顶点的入度为第i个单链表中的结点个数
（2）顶点的出度为整个单链表中邻接点域值是（i-1）的结点个数
例题：画出该邻接表对应的网络图
结果如下
用邻接表创建无向图
int LocateVex(AMGraph G,VertexType u) { //查找图G中的顶点u,存在则返回顶点表中的下标;否则返回-1 int i; for(i=0;i<G.vexnum;++i)//有几条边就循环多少次 { if(u==G.vexs[i]) return i; return -1; } } Status CreateUDG(ALGraph &G) { int i, j, k; cin >> G.vexnum >> G.arcnum; // 输入总顶点数，总边数 for (i = 0; i < G.vexnum; ++i) // 输入各点，构造表头(顶点)节点表 { cin >> G.vertices[i].data; // 输入顶点值 G.vertices[i].firstarc = NULL; // 初始化表头结点的指针域 } for (k = 0; k < G.arcnum; ++k) // 输入各边，构造邻接表 { int v1, v2; cin >> v1 >> v2; // 输入一条边依附的两个顶点 i = LocateVex(G, v1); j = LocateVex(G, v2); ArcNode* p1 = new ArcNode; // 生成一个新的边结点*p1 p1->adjvex = j; // 邻接点序号为j p1->nextarc = G.vertices[i].firstarc; G.vertices[i].firstarc = p1; // 将新结点*p1插入顶点vi的边表头部(头插法) ArcNode* p2 = new ArcNode; // 生成一个新的边结点*p2 p2->adjvex = i; // 邻接点序号为i p2->nextarc = G.vertices[j].firstarc; G.vertices[j].firstarc = p2; // 将新结点*p2插入顶点vj的边表头部(头插法) } return OK; }
这里的头插法特别解释一下
p1->nextarc = G.vertices[i].firstarc;
G.vertices[i].firstarc = p1; //将新结点*p1插入顶点vi的边表头部(头插法)
用邻接表创建有向图
只需将边改为弧，将以下代码去掉 p2 = new ArcNode; //生成一个新的边结点*p2 p2->adjvex = i; //邻接点序号为i p2->nextarc = G.vertices[j].firstarc; G.vertices[j].firstarc = p2; //将新结点*p2插入顶点vj的边表头部(头插法) Status CreateDG(ALGraph &G) { cin >> G.vexnum >> G.arcnum; // 输入总顶点数，总边数 for (int i = 0; i < G.vexnum; ++i) // 输入各点，构造表头(顶点)节点表 { cin >> G.vertices[i].data; // 输入顶点值 G.vertices[i].firstarc = NULL; // 初始化表头结点的指针域 } for (int k = 0; k < G.arcnum; ++k) // 输入各边，构造邻接表 { int v1, v2; cin >> v1 >> v2; // 输入一条边依附的两个顶点 int i = LocateVex(G, v1); int j = LocateVex(G, v2); ArcNode* p = new ArcNode; // 生成一个新的边结点*p p->adjvex = j; // 邻接点序号为j p->nextarc = G.vertices[i].firstarc; G.vertices[i].firstarc = p; // 将新结点*p插入顶点vi的边表头部(头插法) } return OK; }
用邻接表创建有向网
只需加入weight（权重值即可） cin >> v1 >> v2 >> weight; p->info=weight; Status CreateWeightedDN(ALGraph &G) { cin >> G.vexnum >> G.arcnum; // 输入总顶点数，总边数 for (int i = 0; i < G.vexnum; ++i) // 输入各点，构造表头(顶点)节点表 { cin >> G.vertices[i].data; // 输入顶点值 G.vertices[i].firstarc = NULL; // 初始化表头结点的指针域 } for (int k = 0; k < G.arcnum; ++k) // 输入各边，构造邻接表 { int v1, v2, weight; cin >> v1 >> v2 >> weight; // 输入一条边依附的两个顶点和权值 int i = LocateVex(G, v1); int j = LocateVex(G, v2); ArcNode* p = new ArcNode; // 生成一个新的边结点*p p->adjvex = j; // 邻接点序号为j p->info = weight; // 边的权值为weight p->nextarc = G.vertices[i].firstarc; G.vertices[i].firstarc = p; // 将新结点*p插入顶点vi的边表头部(头插法) } return OK; }
用邻接表创建无向网
只需在无向图的基础上加入weight（权重值即可）
cin >> v1 >> v2 >> weight; p1->info=weight; p2->info=weight; Status CreateWeightedUDN(ALGraph &G) { cin >> G.vexnum >> G.arcnum; // 输入总顶点数，总边数 for (int i = 0; i < G.vexnum; ++i) // 输入各点，构造表头(顶点)节点表 { cin >> G.vertices[i].data; // 输入顶点值 G.vertices[i].firstarc = NULL; // 初始化表头结点的指针域 } for (int k = 0; k < G.arcnum; ++k) // 输入各边，构造邻接表 { int v1, v2, weight; cin >> v1 >> v2 >> weight; // 输入一条边依附的两个顶点和权值 int i = LocateVex(G, v1); int j = LocateVex(G, v2); ArcNode* p1 = new ArcNode; // 生成一个新的边结点*p1 p1->adjvex = j; // 邻接点序号为j p1->info = weight; // 边的权值为weight p1->nextarc = G.vertices[i].firstarc; G.vertices[i].firstarc = p1; // 将新结点*p1插入顶点vi的边表头部(头插法) ArcNode* p2 = new ArcNode; // 生成一个新的边结点*p2 p2->adjvex = i; // 邻接点序号为i p2->info = weight; // 边的权值为weight p2->nextarc = G.vertices[j].firstarc; G.vertices[j].firstarc = p2; // 将新结点*p2插入顶点vj的边表头部(头插法) } return OK; }
邻接表的特点
•方便找任一顶点的所有“邻接点”
•节约稀疏图的空间
•需要N个头指针 + 2E个结点 (每个结点至少2个域)
•方便计算任一顶点的“度”
对无向图:是的
对有向图:只能计算“出度”需要构造"逆邻接表"(存指向自己的边)来方便计算"入度"
•不方便检查任意一对顶点间是否存在边
三.邻接矩阵与邻接表的关系
1.联系:邻接表中每个链表对应于邻接矩阵中的一行，链表中结点个数等于一行中非零元素的个数
2.区别:
①对于任一确定的无向图，邻接矩阵是唯一的 (行列号与顶点编号致)，但邻接表不唯一 (链接次序与顶点编号无关，与链接的算法有关（头插法或尾插法）)
②邻接矩阵的空间复杂度为O(）,而邻接表的空间复杂度为O(n+e),对于稀疏图而言，用邻接表的方式存储，空间复杂度更低。
3.用途：邻接矩阵多用于稠密图，邻接表多用于稀疏图。
