1 目的
为研究国民生产总值与货币供应量及利率的关系。现收集到1954年1月至1987年10月M1货币量对数序列(M1)，美国月度国民生产总值对数序列log(GNP)，以及短期利率和长期利率序列，该篇文章主要演示：以GNP为响应序列，根据因果检验结果选择适当的自变量，构建协整动态模型。其数据处理方式、单整性检验及单序列的ARIMA模型构建见 时间序列分析实战（七）：多个变量的ARIMA模型拟合。格兰因果检验见 时间序列分析实战（八）：时序的格兰杰因果检验。协整关系检验见 时间序列分析实战（九）：时序的协整关系检验 部分数据情况见表1所示。
表1 部分数据展示
2 回归模型的残差白噪声检验
回归模型的建立见 时间序列分析实战（九）：时序的协整关系检验。
运行程序：
Box.test(fit5$residuals,lag=6,type="Ljung-Box")
运行结果：
## ## Box-Ljung test ## ## data: fit5$residuals ## X-squared = 506.29, df = 6, p-value < 2.2e-16## ## Call: ## arima(x = data1$log.GNP., xreg = data.frame(data1$短期利率, data1$长期利率)) ## ## Coefficients: ## intercept data1.短期利率 data1.长期利率 ## 7.1941 -1.4629 10.3497 ## s.e. 0.0310 0.9951 1.0552 ## ## sigma^2 estimated as 0.02076: log likelihood = 69.99, aic = -131.98
经过白噪声检验发现，残差序列为白噪声序列，需要进一步提取残差序列中蕴含的相关信息。
3 残差自相关、偏自相关情况
运行程序：
library(aTSA) par(mfrow=c(1,2)) acf(fit5$residuals,sub="自相关图") pacf(fit5$residuals,sub="偏自相关图")
运行结果：
根据残差序列自相关及偏自相关图的性质，可以判断残差序列自相关系数拖尾，偏自相关系数3阶截尾。
4 协整动态回归模型拟合
对残差序列拟合AR（4）模型。
运行程序：
fit6<-arima(data1$log.GNP.,order=c(4,0,0),xreg =data.frame(data1$短期利率,data1$长期利率),include.mean=T)#拟合动态回归模型 fit6
运行结果：
## ## Call: ## arima(x = data1$log.GNP., order = c(4, 0, 0), xreg = data.frame(data1$短期利率, ## data1$长期利率), include.mean = T) ## ## Coefficients: ## ar1 ar2 ar3 ar4 intercept data1.短期利率 ## 1.3419 -0.0371 -0.2407 -0.0647 7.7602 0.2511 ## s.e. 0.0881 0.1450 0.1460 0.0901 0.4655 0.1177 ## data1.长期利率 ## 0.2958 ## s.e. 0.2599 ## ## sigma^2 estimated as 9.301e-05: log likelihood = 430.79, aic = -845.58
得到模型：ln(GNPt)=7.7602+0.2511SFt+0.2958LFt+1−1.3419B+0.0371B2+0.2407B3+0.0647B41ϵt
5 残差检验
运行程序：
ts.diag(fit6)
运行结果：
根据拟合模型的残差残差序列可知，该序列为白噪声序列，说明拟合的协整动态模型显著成立。
