1 目的
为研究国民生产总值与货币供应量及利率的关系。现收集到1954年1月至1987年10月M1货币量对数序列log(M1)，美国月度国民生产总值对数序列log(GNP)，以及短期利率和长期利率序列。该篇文章主要演示：以GNP为响应序列，根据因果检验结果选择适当的自变量，考察自变量与响应变量之间是否具有协整关系。其数据处理方式、单整性检验及单序列的ARIMA模型构建见 时间序列分析实战（七）：多个变量的ARIMA模型拟合。格兰因果检验见 时间序列分析实战（八）：时序的格兰杰因果检验。部分数据情况见表1所示。
表1 部分数据展示
2 拟合回归模型
选取log(GNP)作为响应变量，短期利率及长期利率作为自变量进行建模。
运行程序：
fit5<-arima(data1$log.GNP.,xreg = data.frame(data1$短期利率,data1$长期利率), include.mean=True)#拟合回归模型 fit5
运行结果：
## ## Call: ## arima(x = data1$log.GNP., xreg = data.frame(data1$短期利率, data1$长期利率)) ## ## Coefficients: ## intercept data1.短期利率 data1.长期利率 ## 7.1941 -1.4629 10.3497 ## s.e. 0.0310 0.9951 1.0552 ## ## sigma^2 estimated as 0.02076: log likelihood = 69.99, aic = -131.98
利用最小二乘法，得到log(GNP)与短期利率、长期利率之间的关系：
ln(GNPt)=7.1941−1.4629SFt+10.3497LFt+ϵt
3 残差单位根检验
运行程序：
library(aTSA) adf.test(fit5$residuals) #残差单位根检验
运行结果：
## Augmented Dickey-Fuller Test ## alternative: stationary ## ## Type 1: no drift no trend ## lag ADF p.value ## [1,] 0 -1.43 0.1650 ## [2,] 1 -1.80 0.0721 ## [3,] 2 -2.16 0.0319 ## [4,] 3 -2.54 0.0124 ## [5,] 4 -2.45 0.0161 ## Type 2: with drift no trend ## lag ADF p.value ## [1,] 0 -1.42 0.549 ## [2,] 1 -1.79 0.411 ## [3,] 2 -2.14 0.272 ## [4,] 3 -2.52 0.128 ## [5,] 4 -2.43 0.163 ## Type 3: with drift and trend ## lag ADF p.value ## [1,] 0 -1.57 0.753 ## [2,] 1 -1.98 0.580 ## [3,] 2 -2.35 0.425 ## [4,] 3 -2.72 0.275 ## [5,] 4 -2.63 0.314 ## ---- ## Note: in fact, p.value = 0.01 means p.value <= 0.01## F-statistic p-value ## log.GNP. -> log.M1. 0.41454740 5.207960e-01 ## 短期利率 -> log.M1. 7.87838611 5.767430e-03 ## 长期利率 -> log.M1. 0.07608138 7.831144e-01 ## log.M1. -> log.GNP. 2.71052650 1.020851e-01 ## 短期利率 -> log.GNP. 27.52683485 6.064881e-07 ## 长期利率 -> log.GNP. 5.78941757 1.751886e-02 ## log.M1. -> 短期利率 1.58052304 2.109222e-01 ## log.GNP. -> 短期利率 2.91622959 9.006134e-02 ## 长期利率 -> 短期利率 0.02135744 8.840341e-01 ## log.M1. -> 长期利率 0.62414250 4.309398e-01 ## log.GNP. -> 长期利率 2.81318243 9.587727e-02 ## 短期利率 -> 长期利率 7.44826240 7.222640e-03
对回归残差进行平稳性检验，根据类型1延迟3阶的检验结果可以认为回归残差序列平稳。
4 EG协整检验
运行 程序：
coint.test(data1$log.GNP.,data.frame(data1$短期利率,data1$长期利率),d=1,nlag=1)
运行结果：
## Response: diff(data1$log.GNP.,1) ## Input: diff(data.frame(data1$短期利率, data1$长期利率),1) ## Number of inputs: 2 ## Model: y ~ X - 1 ## ------------------------------- ## Engle-Granger Cointegration Test ## alternative: cointegrated ## ## Type 1: no trend ## lag EG p.value ## 1.00 -6.39 0.01 ## ----- ## Type 2: linear trend ## lag EG p.value ## 1.00 4.17 0.10 ## ----- ## Type 3: quadratic trend ## lag EG p.value ## 1.00 3.13 0.10 ## ----------- ## Note: p.value = 0.01 means p.value <= 0.01 ## : p.value = 0.10 means p.value >= 0.10
根据EG检验法，发现类型1的p值远小于0.05，可以认为log(GNP)与短期利率、长期利率之间存在协整关系。
