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本文将介绍如何在R中用rstan和rjags做贝叶斯回归分析，R中有不少包可以用来做贝叶斯回归分析，比如最早的（同时也是参考文献和例子最多的）R2WinBUGS包。这个包会调用WinBUGS软件来拟合模型，后来的JAGS软件也使用与之类似的算法来做贝叶斯分析。然而JAGS的自由度更大，扩展性也更好。近来，STAN和它对应的R包rstan一起进入了人们的视线。STAN使用的算法与WinBUGS和JAGS不同，它改用了一种更强大的算法使它能完成WinBUGS无法胜任的任务。同时Stan在计算上也更为快捷，能节约时间。
例子
设Yi为地区i=1，…，ni=1，…，n从2012年到2016年支持率增加的百分比。我们的模型
式中，Xji是地区i的第j个协变量。所有变量均中心化并标准化。我们选择σ2∼InvGamma（0.01,0.01）和α∼Normal（0100）作为误差方差和截距先验分布，并比较不同先验的回归系数。
加载并标准化选举数据
# 加载数据 load("elec.RData") Y <- Y[!is.na(Y+rowSums(X))] X <- X[!is.na(Y+rowSums(X)),] n <- length(Y) p <- ncol(X)
## [1] 3111
p
## [1] 15
X <- scale(X) # 将模型拟合到大小为100的训练集，并对剩余的观测值进行预测 test <- order(runif(n))>100 table(test)
## test ## FALSE TRUE ## 100 3011
Yo <- Y[!test] # 观测数据 Xo <- X[!test,] Yp <- Y[test] # 为预测预留的地区 Xp <- X[test,]
选举数据的探索性分析
boxplot(X, las = 3
image(1:p, 1:p, main = "预测因子之间的相关性")
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R语言中的block Gibbs吉布斯采样贝叶斯多元线性回归
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rstan中实现
统一先验分布
如果模型没有明确指定先验分布，默认情况下，Stan将在参数的合适范围内发出一个统一的先验分布。注意这个先验可能是不合适的，但是只要数据创建了一个合适的后验值就可以了。
data { int<lower=0> n; // 数据项数 int<lower=0> k; // 预测变量数 matrix[n,k] X; // 预测变量矩阵 vector[n] Y; // 结果向量 } parameters { real alpha; // 截距 vector[k] beta; // 预测变量系数 real<lower=0> sigma; // 误差
rstan_options(auto_write = TRUE) #fit <- stan(file = 'mlr.stan', data = dat)
print(fit)
hist(fit, pars = pars)
dens(fit)
traceplot(fit)
rjags中实现
用高斯先验拟合线性回归模型
library(rjags) model{ # 预测 for(i in 1:np){ Yp[i] ~ dnorm(mup[i],inv.var) mup[i] <- alpha + inprod(Xp[i,],beta[]) # 先验概率 alpha ~ dnorm(0, 0.01) inv.var ~ dgamma(0.01, 0.01) sigma <- 1/sqrt(inv.var)
在JAGS中编译模型
# 注意：Yp不发送给JAGS jags.model(model, data = list(Yo=Yo,no=no,np=np,p=p,Xo=Xo,Xp=Xp))
coda.samples(model, variable.names=c("beta","sigma","Yp","alpha"),
从后验预测分布(PPD)和JAGS预测分布绘制样本
#提取每个参数的样本 samps <- samp[[1]] Yp.samps <- samps[,1:np] #计算JAGS预测的后验平均值 beta.mn <- colMeans(beta.samps) # 绘制后验预测分布和JAGS预测 for(j in 1:5) # JAGS预测 y <- rnorm(20000,mu,sigma.mn) plot(density(y),col=2,xlab="Y",main="PPD") # 后验预测分布 lines(density(Yp.samps[,j])) # 真值 abline(v=Yp[j],col=3,lwd=2)
# 95% 置信区间 alpha.mn+Xp%*%beta.mn - 1.96*sigma.mn alpha.mn+Xp%*%beta.mn + 1.96*sigma.mn
## [1] 0.9452009
# PPD 95% 置信区间 apply(Yp.samps,2,quantile,0.025) apply(Yp.samps,2,quantile,0.975)
## [1] 0.9634673
请注意，PPD密度比JAGS预测密度略宽。这是考虑β和σ中不确定性的影响，它解释了JAGS预测的covarage略低的原因。但是，对于这些数据，JAGS预测的覆盖率仍然可以。
