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ARCH / GARCH模型

尽管残差的ACF和PACF没有明显的滞后,但是残差的时间序列图显示出一些波动性。重要的是要记住,ARIMA是一种对数据进行线性建模且预测保持不变的方法,因为该模型无法反映最近的变化或合并新信息。换句话说,它为序列提供了最佳的线性预测,因此在非线性模型预测中几乎没有作用。为了建模波动,需要用到ARCH / GARCH方法。我们如何知道所关注的时间序列是否需要ARCH / GARCH?

image.png

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首先,检查残差图是否显示任何波动性。接下来,观察残差平方。如果存在波动性,则应使用ARCH / GARCH对系列的波动性建模,以反映该系列中更多的近期变化和波动。最后,平方残差的ACF和PACF将有助于确认残差(噪声项)是否独立且可以预测。如前所述,严格的白噪声不能线性或非线性地预测,而普通的白噪声可能不能线性地预测但仍不能非线性地预测。如果残差是严格的白噪声,则它们与零均值,正态分布无关,并且平方残差的ACF和PACF没有明显的滞后。

以下是平方残差的图:

•残差平方图显示了某些时间点的波动性

•滞后10时,PACF仍会截断,即使有些滞后仍然很大

image.png

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因此,残差显示了一些可以建模的模式。ARCH / GARCH对模型波动率建模很有必要。顾名思义,此方法与序列的条件方差有关。ARCH(q)的一般形式:

image.png

res.arima212=arima212$res
squared.res.arima212=res.arima212^2

根据AICc选择ARCH / GARCH阶数和参数,如下所示:

AICC = -2 log+ 2( q + 1) N /(N  – q – 2),如果模型中没有常数项

AICC = -2 log+ 2( q + 2) N /(N – q – 3),如果模型中为常数项

要计算AICc,我们需要将ARCH / GARCH模型拟合到残差,然后使用R中的logLik函数计算对数似然。请注意,由于我们只希望对ARIMA模型的噪声建模,因此我们将ARCH拟合到先前选择的ARIMA模型的残差,而不拟合原始序列或对数或差分对数序列。

Model N q Log&likelihood AICc&no&const AICc&const
ARCH(0) 1400 0 3256.488 ,6510.973139 ,6508.96741
ARCH(1) 1400 1 3314.55 ,6625.09141 ,6623.082808
ARCH(2) 1400 2 3331.168 ,6656.318808 ,6654.307326
ARCH(3) 1400 3 3355.06 ,6702.091326 ,6700.076958
ARCH(4) 1400 4 3370.881 ,6731.718958 ,6729.701698
ARCH(5) 1400 5 3394.885 ,6777.709698 ,6775.68954
ARCH(6) 1400 6 3396.683 ,6779.28554 ,6777.262477
ARCH(7) 1400 7 3403.227 ,6790.350477 ,6788.324504
ARCH(8) 1400 8 3410.242 =6802.354504 =6800.325613
ARCH(9) 1400 9 3405.803 ,6791.447613 ,6789.415798
ARCH(10) 1400 10 3409.187 ,6796.183798 ,6794.149054
GARCH(1,"1) 1400 2 3425.365 ,6844.712808 ,6842.701326

上面提供了恒定和非恒定情况的AICc表。请注意,从ARCH 1到ARCH 8 的AICc减少,然后在ARCH 9和ARCH 10中AICc增加。为什么会发生?表示我们需要检查模型的收敛性,在前7种情况下,R中的输出给出“相对函数收敛”,而ARCH 9和ARCH 10具有“假收敛”。当输出包含False收敛时,该模型的预测能力值得怀疑,我们应该从选择中排除这些模型;尽管GARCH 1,1的AICc也最低,但是该模型被错误地收敛,因此被排除在外。ARCH 8是所选模型。

此外,我们在分析中还包括ARCH 0 ,因为它可以用作检查是否存在任何ARCH效应或残差是否独立。

执行ARCH / GARCH模型的R代码:

loglik08=logLik(arch08)
summary(arch08)

注意,R不允许q = 0的阶数,因此我们无法从R 获得ARCH 0的对数似然  ;但是我们需要通过公式进行计算:−.5 N 1 + log 2 pi mean(x) ˆ2

N:相差后的观测次数N = n – d

X:在此考虑的数据集情况,残差

ARCH 8的输出:

Call:
Model:
GARCH(0,8)
Residuals:
 Min 1Q Median 3Q Max
-4.40329 -0.48569 0.08897 0.69723 4.07181
Coefficient(s):
 Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) 
a0 1.472e-04 1.432e-05 10.282 < 2e-16 ***
a1 1.284e-01 3.532e-02 3.636 0.000277 ***
a2 1.335e-01 2.839e-02 4.701 2.59e-06 ***
a3 9.388e-02 3.688e-02 2.545 0.010917 *
a4 8.678e-02 2.824e-02 3.073 0.002116 **
a5 5.667e-02 2.431e-02 2.331 0.019732 *
a6 3.972e-02 2.383e-02 1.667 0.095550 .
a7 9.034e-02 2.907e-02 3.108 0.001885 **
a8 1.126e-01 2.072e-02 5.437 5.41e-08 ***
\-\-\-
Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
Diagnostic Tests:
Jarque Bera Test
data: Residuals
X-squared = 75.0928, df = 2, p-value < 2.2e-16
Box-Ljung test
data: Squared.Residuals
X-squared = 0.1124, df = 1, p-value = 0.7374

除第六个参数外,所有参数的p“值均小于0.05,表明  它们具有统计学意义。此外,Box” Ljung检验的p“值大于0.05,  因此我们不能拒绝自相关的假设残差的值不同于0。因此该模型足以表示残差。

完整的ARCH 8模型:

ht = 1.472e-04 +1.284e-01ε2t“ 1 +1.335e-01ε2t” 2 +9.388e-02ε2t“ 3 + 8.678 e-02ε2t“ 4 +

5.667e-02ε2t” 5 +3.972e-02ε2t“ 6 +9.034e-02ε2t” 7 +1.126e-01ε2t“ 8

ARIMA-ARCH / GARCH

在本节中,我们将比较ARIMA模型和组合的ARIMAARCH / GARCH模型的结果。如前所述,Apple Log价格序列的ARIMA和ARCH模型分别为ARIMA 2,1,2)和ARCH 8)。

image.png

请记住,在将ARIMA拟合所需的差分序列时,R将排除常数。因此,我们先前从R生成的结果是ARIMA 2,1,2),没有常数。使用预测函数,根据ARIMA 2,1,2)对系列进行1步预测

Point Forecast Lo 95 Hi 95
1402 6.399541 6.353201 6.445882

ARIMA(2,1,2)– ARCH(8)的完整模型:

image.png

下表总结了所有模型,并在Excel中编辑和计算了点预测和预测区间:

95% Confident interval    
Model  Forecast  Lower  Upper  Actual 
ARIMA(2,1,2) in R  6.399541 6.353201 6.445882 6.354317866
ARIMA(2,1,2) in Minitab (constant)  6.40099 6.35465 6.44734   
ARIMA(2,1,2) in Minitab (no constant)  6.39956 6.35314 6.44597   
ARIMA(2,1,2) + ARCH(8) in R  6.39974330  6.35340330  6.44608430    
ARIMA(2,1,2) in Minitab (constant) +ARCH(8)  6.40119230  6.35485230  6.44754230    
ARIMA(2,1,2) in Minitab (no constant) 
+ARCH(8)  6.39976230  6.35334230  6.44617230

将对数价格转换为价格,我们获得原始序列的预测:

95% Confident interval    
Model  Forecast  Lower  Upper  Actual 
ARIMA(2,1,2) in R  601.5688544  574.3281943  630.1021821  574.9700003
ARIMA(2,1,2) in Minitab (constant)  602.4411595  575.1609991  631.0215411    
ARIMA(2,1,2) in Minitab (no constant)  601.5802843  574.2931614  630.1576335    
ARIMA(2,1,2) + ARCH(8) in R  601.6905666  574.4443951  630.2296673    
ARIMA(2,1,2) in Minitab (constant) +ARCH(8)  602.5630482  575.2773683  631.1492123    
ARIMA(2,1,2) in Minitab (no constant) 
+ARCH(8)  601.7019989  574.409355  630.28513

2012年7月25日苹果发布了低于预期的收益报告,此公告影响了公司股价,导致该股票从2012年7月24日的600.92美元跌至2012年7月24日的574.97美元。公司发布正面或负面新闻时,这是经常发生的意外风险。但是,由于实际价格在我们95%的置信区间内并且非常接近下限,因此我们的模型似乎可以成功预测该风险。

需要注意的是,ARIMA(2,1,2)的95%置信区间比ARIMA(2,1,2)– ARCH(8)组合模型的置信区间宽。这是因为后者通过分析残差及其条件方差(随着新信息的出现而受到影响的方差)来反映并纳入股价的近期变化和波动。

那么如何计算ARCH(8)的条件方差ht?

•生成1步预测,100步预测,预测图:

forecast212step1=forecast(arima212,1,level=95)

•计算ht,条件方差:

ht.arch08=arch08$fit\[,1\]^2 #使用拟合的第一栏

•生成对数价格,上限和下限95%的图

plot(log.appl,type='l',main='Log Apple,Low,High')
lines(low,col='red')
lines(high,col='blue')

为了计算ht,我们首先在一列中列出模型的所有参数,然后查找与这些系数关联的残差,将这些残差平方,将ht系数乘以残差平方,然后对这些数字求和以得出ht。例如,要估计点1402(我们的数据集有1401个观测值),我们需要最后8天的残差,因为我们的模型是ARCH(8)。以下是生成的表:

ht coeff  res  squared res  ht components 
const  1.47E-04                   1.47E,04
a1  1.28E-01 ,5.18E,03  2.69E,05  3.45E,06
a2  1.34E-01 4.21E,04  1.77E,07  2.37E,08
a3  9.39E-02 ,1.68E,02  2.84E,04  2.66E,05
a4  8.68E-02 1.25E,02  1.57E,04  1.36E,05
a5  5.67E-02 ,7.41E,04  5.49E,07  3.11E,08
a6  3.97E-02 8.33E,04  6.93E,07  2.75E,08
a7  9.03E-02 2.92E,03  8.54E,06  7.72E,07
a8  1.13E-01 9.68E,03  9.37E,05  1.05E,05
         ht  2.02E,04

为了如上所述估计混合模型的1步预测和95%置信区间,我们使用从R或Minitab获得的ARIMA预测,然后将ht添加到ARIMA预测中。记录对数价格和条件方差:

•条件方差图成功反映了整个时间序列的波动性•高波动性与股价暴跌的时期密切相关

image.png

image.png

价格的95%预测间隔:

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对模型的最终检查是查看ARIMA-ARCH模型的残差的QQ图,即et =εt/ sqrt(ht)=残差/ sqrt(条件方差)。我们可以直接从R计算出来,然后绘制QQ图以检查残差的正态性。以下是代码和QQ图:

qqline(archres)

image.png

该图表明,残差似乎大致呈正态分布,尽管有些点不在直线上。但是,与ARIMA模型的残差相比,混合模型的残差更接近正态分布。

image.png

结论

时域方法是分析金融时间序列的有用方法。基于ARIM-ARCH / GARCH模型的预测中有一些需要考虑的方面:

首先,ARIMA模型专注于线性分析时间序列,并且由于新信息的存在,它无法反映最近的变化。因此,为了更新模型,用户需要合并新数据并再次估计参数。ARIMA模型中的方差是无条件方差,并且保持恒定。ARIMA适用于平稳序列,因此,应变换非平稳序列(例如对数变换)。

此外,ARIMA通常与ARCH / GARCH模型一起使用。ARCH / GARCH是一种测量序列波动性的方法,或更具体地说,是对ARIMA模型的噪声项建模的方法。ARCH / GARCH结合了新信息,并根据条件方差分析了序列,用户可以使用最新信息来预测未来价值。混合模型的预测区间比纯ARIMA模型的预测区间短。

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