前言
在数据科学、工程优化和其他科学计算领域中，向量和矩阵的运算是核心组成部分。MAPL作为一种数学规划语言，为这些领域的专业人员提供了强大的工具，通过向量式和矩阵式变量声明以及丰富的内置数学运算支持，大大简化了数学建模和优化问题的处理。在本文中，我们将探索MAPL的这些特性，并且通过示例来展示如何有效使用这些工具。
介绍与应用
矩阵和向量变量声明
在MAPL中，向量和矩阵变量的声明非常直观。例如，使用var X(3,2)可以创建一个3行2列的矩阵，而使用var Y(3)会创建一个包含3个元素的列向量。对这些变量的操作，如索引（X[1,0]）和赋予初值，都可以使用易于理解的语法来完成。
var X(3,2) >=0 integer; print "Structure of X is:"; print X; print "----------------"; print "Sample Entries:"; print X[0,0]; print X[1,1]; print X[2,1];
结果如下：
Structure of X is: [[ X0, X1], [ X2, X3], [ X4, X5]] ---------------- Sample Entries: + [0, 0] -> integer [LB, UB, SOLN-VAl] = [0.000000, +inf, 0.000000 + [1, 1] -> integer [LB, UB, SOLN-VAl] = [0.000000, +inf, 0.000000] + [2, 1] -> integer [LB, UB, SOLN-VAl] = [0.000000, +inf, 0.000000]
张量运算支持
张量运算是MAPL中一项强大的特性，它允许我们使用类似于线性代数中的标准操作符，例如：
- 加法和减法（+，-）：逐元素进行操作，要求操作数尺寸相同。
- 乘法（*）：支持标量和矩阵的乘法，以及矩阵与向量之间的乘法，必须满足传统的行列匹配规则。
- 转置（'）：快速提供变量的转置形式，仅适用于矩阵。
- 点乘（.*）：逐元素乘法，用于两个相同尺寸的矩阵或向量。
类型 |
操作符 |
说明 |
是否支持标量 |
用例 |
一元操作符 |
|
向量/矩阵加法 |
是 |
|
|
向量/矩阵减法，或者求反 |
是 |
|
|
|
逐元素乘法 |
否 |
|
|
|
向量/矩阵乘法 |
是 |
|
|
|
矩阵转置 |
否 |
|
|
|
向量/矩阵逐元素除以某标量 |
是 |
|
|
二元操作符 |
|
逐元素的p次幂 |
是 |
|
索引操作符 |
|
获取指定位置的值 |
否 |
|
这些运算符为建模提供了极大的灵活性和表现力，支持以直观和自然的方式表达数学关系。
映射函数
映射函数是处理张量式变量必不可少的一部分，使建模张量间的函数变换更方便。MAPL提供了一系列映射函数，如exp、log和sin等，它们可以逐元素应用于向量或矩阵。例如，对于一个矩阵A，exp(A)会计算A中每个元素的指数值。
clear model; var x(3,2) >=0; A = exp(x); print A;
运行上述代码，结果如下：
[[e^(x0), e^(x1)], [e^(x2), e^(x3)], [e^(x4), e^(x5)]]
混合计算和表达式引用
MAPL不仅支持张量间的运算，还支持张量和标量之间的混合计算。此外，它允许用户为复杂的表达式命名，以便于后续引用，这样可以避免重复的计算，并使模型清晰易于管理。
var x >=0; var y(3,4); A = x + y; B = y + x; C = x - y; D = y - x; E = -y; F = x*y; print y; print A; print B; print C; print D; print E; print F;
输出如下：
[[ y0, y1, y2, y3], [ y4, y5, y6, y7], [ y8, y9, y10, y11]] [[ x+y0, x+y1, x+y2, x+y3], [ x+y4, x+y5, x+y6, x+y7], [ x+y8, x+y9, x+y10, x+y11]] [[ y0+x, y1+x, y2+x, y3+x], [ y4+x, y5+x, y6+x, y7+x], [ y8+x, y9+x, y10+x, y11+x]] [[ x-y0, x-y1, x-y2, x-y3], [ x-y4, x-y5, x-y6, x-y7], [ x-y8, x-y9, x-y10, x-y11]] [[ y0-x, y1-x, y2-x, y3-x], [ y4-x, y5-x, y6-x, y7-x], [ y8-x, y9-x, y10-x, y11-x]] [[ -y0, -y1, -y2, -y3], [ -y4, -y5, -y6, -y7], [ -y8, -y9, -y10, -y11]] [[ x*y0, x*y1, x*y2, x*y3], [ x*y4, x*y5, x*y6, x*y7], [ x*y8, x*y9, x*y10, x*y11]]
一个完整示例
带资源上限约束的二分匹配问题（也称为加权二分匹配问题或指派问题）是图论中的一个经典问题，它的目的是在二分图中找到最优的匹配，使得匹配的总权重最大，同时不超过给定的资源上限。
线性数学建模如下：
向量形式：
建模代码如下，可复制在云上平台直接运行：
######################################## # # 向量式建模案例 # Weighted Bipartite Matching # ######################################## # 1.读取权重及损耗矩阵 param W = read_csv("weight.data"); param C = read_csv("cost.data"); param m = W.row; param n = W.col; ############## 2.问题建模 ############### # 定义矩阵形式变量X，表示可行的匹配 var X(m, n) binary; # 3.二分匹配问题建模 maximize sum(W.*X); # A集合的资源上限约束 s.t. (C.*X)*ones(n,1) <= 10; # B集合的资源上限约束 s.t. ones(1,m)*(C.*X) <= 10; # 集合A中每个节点最多匹配一次 s.t. X * ones(n, 1) <= 1; # 集合B中每个节点最多匹配一次 s.t. ones(1, m) * X <= 1; ############## 问题求解 ################# # 3.调用mindopt求解 option solver mindopt; solve; ############## 结果分析 ################# # 输出最优目标函数值 param obj = sum(W.*X); print "Optimal obj is: {:.2f}" % obj; # 输出最优匹配 print "Optimal X is"; print X; #######################################
输出结果如下：
Running mindoptampl wantsol=1 MindOpt Version 1.0.1 (Build date: 20231114) Copyright (c) 2020-2023 Alibaba Cloud. Start license validation (current time : 05-FEB-2024 10:34:07). License validation terminated. Time : 0.008s Model summary. - Num. variables : 50 - Num. constraints : 30 - Num. nonzeros : 200 - Num. integer vars. : 50 - Bound range : [1.0e+00,1.0e+01] - Objective range : [4.0e-01,9.8e+00] Branch-and-cut method started. Original model: nrow = 30 ncol = 50 nnz = 200 Tolerance: primal = 1e-06 int = 1e-06 mipgap = 0.0001 mipgapAbs = 1e-06 Limit: time = 1.79769313486232e+308 node = -1 stalling = -1 solution = -1 presolver terminated; took 1 ms presolver terminated; took 3 ms Parallelism: root=8, tree=10 accept new sol: obj 0 bnd vio 0 int vio 0 mipgap inf time 0 accept new sol: obj -42.8999996185303 bnd vio 0 int vio 0 mipgap 4.55011660905533 time 0 Model summary. - Num. variables : 48 - Num. constraints : 15 - Num. nonzeros : 96 - Bound range : [1.0e+00,1.0e+00] - Objective range : [4.0e-01,9.8e+00] - Matrix range : [1.0e+00,1.0e+00] Presolver started. Presolver terminated. Time : 0.002s Simplex method started. Model fingerprint: ==gZ3Fmb392Y3JmZ Iteration Objective Dual Inf. Primal Inf. Time 0 -2.38100e+02 0.0000e+00 8.1000e+01 0.03s 6 -4.29000e+01 0.0000e+00 0.0000e+00 0.03s Postsolver started. Simplex method terminated. Time : 0.007s Root relaxation: -42.8999996185303 iteration = 6 time = 0.03 Branch-and-cut method terminated. Time : 0.548s OPTIMAL; objective 42.90 Completed. Optimal obj is: 42.90 Optimal Matching X is [[0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0], [0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0], [1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0], [0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0], [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0]]
完整案例介绍：案例1：加权二分匹配(Weighted Bipartite Matching)
详细语法：向量化建模
结论:
MAPL作为一种先进的建模语言，通过支持向量和矩阵的声明以及丰富的运算操作符和映射函数，为用户处理多维数据提供了强大的工具集。无论是在学术研究还是工业应用中，MAPL的这些特点都显著地提高了数学建模的效率和便捷性。
