数据结构的树存储结构(下)

简介: 数据结构的树存储结构

数据结构的树存储结构(上):https://developer.aliyun.com/article/1471366


二叉树的链式存储结构(C语言详解)


本节我们学习二叉树的链式存储结构

image.png

图 1 普通二叉树示意图


如图 1 所示,此为一棵普通的二叉树,若将其采用链式存储,则只需从树的根节点开始,将各个节点及其左右孩子使用链表存储即可。因此,图 1 对应的链式存储结构如图 2 所示:

image.png

图 2 二叉树链式存储结构示意图


由图 2 可知,采用链式存储二叉树时,其节点结构由 3 部分构成(如图 3 所示):


  • 指向左孩子节点的指针(Lchild);
  • 节点存储的数据(data);
  • 指向右孩子节点的指针(Rchild);

image.png

图 3 二叉树节点结构


表示该节点结构的 C 语言代码为:

图 2 中的链式存储结构对应的 C 语言代码为:

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#define TElemType int
typedef struct BiTNode{
    TElemType data;//数据域
    struct BiTNode *lchild,*rchild;//左右孩子指针
}BiTNode,*BiTree;
void CreateBiTree(BiTree *T){
    *T=(BiTNode*)malloc(sizeof(BiTNode));
    (*T)->data=1;
    (*T)->lchild=(BiTNode*)malloc(sizeof(BiTNode));
    (*T)->lchild->data=2;
    (*T)->rchild=(BiTNode*)malloc(sizeof(BiTNode));
    (*T)->rchild->data=3;
    (*T)->rchild->lchild=NULL;
    (*T)->rchild->rchild=NULL;
    (*T)->lchild->lchild=(BiTNode*)malloc(sizeof(BiTNode));
    (*T)->lchild->lchild->data=4;
    (*T)->lchild->rchild=NULL;
    (*T)->lchild->lchild->lchild=NULL;
    (*T)->lchild->lchild->rchild=NULL;
}
int main() {
    BiTree Tree;
    CreateBiTree(&Tree);
    printf("%d",Tree->lchild->lchild->data);
    return 0;
}

程序输出结果:


4

其实,二叉树的链式存储结构远不止图 2 所示的这一种。例如,在某些实际场景中,可能会做 "查找某节点的父节点" 的操作,这时可以在节点结构中再添加一个指针域,用于各个节点指向其父亲节点,如图 4 所示:

image.png

图 4 自定义二叉树的链式存储结构


这样的链表结构,通常称为三叉链表。


利用图 4 所示的三叉链表,我们可以很轻松地找到各节点的父节点。因此,在解决实际问题时,用合适的链表结构存储二叉树,可以起到事半功倍的效果。


树的双亲表示法


普通树结构的数据。

image.png

图 1 普通树存储结构


如图 1 所示,这是一棵普通的树,该如何存储呢?通常,存储具有普通树结构数据的方法有 3 种:

  1. 双亲表示法;
  2. 孩子表示法;
  3. 孩子兄弟表示法;


本节先来学习双亲表示法。


双亲表示法采用顺序表(也就是数组)存储普通树,其实现的核心思想是:顺序存储各个节点的同时,给各节点附加一个记录其父节点位置的变量。


注意,根节点没有父节点(父节点又称为双亲节点),因此根节点记录父节点位置的变量通常置为 -1。


例如,采用双亲表示法存储图 1 中普通树,其存储状态如图 2 所示:

image.png

图 2 双亲表示法存储普通树示意图


树的孩子表示法


孩子表示法存储普通树采用的是 "顺序表+链表" 的组合结构,其存储过程是:从树的根节点开始,使用顺序表依次存储树中各个节点,需要注意的是,与双亲表示法不同,孩子表示法会给各个节点配备一个链表,用于存储各节点的孩子节点位于顺序表中的位置。


如果节点没有孩子节点(叶子节点),则该节点的链表为空链表。


例如,使用孩子表示法存储图 1a) 中的普通树,则最终存储状态如图 1b) 所示:

image.png

图 1 孩子表示法存储普通树示意图


图 1 所示转化为 C 语言代码为:

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#define MAX_SIZE 20
#define TElemType char
//孩子表示法
typedef struct CTNode {
    int child;//链表中每个结点存储的不是数据本身,而是数据在数组中存储的位置下标
    struct CTNode * next;
}ChildPtr;
typedef struct {
    TElemType data;//结点的数据类型
    ChildPtr* firstchild;//孩子链表的头指针
}CTBox;
typedef struct {
    CTBox nodes[MAX_SIZE];//存储结点的数组
    int n, r;//结点数量和树根的位置
}CTree;
//孩子表示法存储普通树
CTree initTree(CTree tree) {
    printf("输入节点数量:\n");
    scanf("%d", &(tree.n));
    for (int i = 0; i < tree.n; i++) {
        printf("输入第 %d 个节点的值:\n", i + 1);
        getchar();
        scanf("%c", &(tree.nodes[i].data));
        tree.nodes[i].firstchild = (ChildPtr*)malloc(sizeof(ChildPtr));
        tree.nodes[i].firstchild->next = NULL;
        printf("输入节点 %c 的孩子节点数量:\n", tree.nodes[i].data);
        int Num;
        scanf("%d", &Num);
        if (Num != 0) {
            ChildPtr * p = tree.nodes[i].firstchild;
            for (int j = 0; j < Num; j++) {
                ChildPtr * newEle = (ChildPtr*)malloc(sizeof(ChildPtr));
                newEle->next = NULL;
                printf("输入第 %d 个孩子节点在顺序表中的位置", j + 1);
                scanf("%d", &(newEle->child));
                p->next = newEle;
                p = p->next;
            }
        }
    }
    return tree;
}
void findKids(CTree tree, char a) {
    int hasKids = 0;
    for (int i = 0; i < tree.n; i++) {
        if (tree.nodes[i].data == a) {
            ChildPtr * p = tree.nodes[i].firstchild->next;
            while (p) {
                hasKids = 1;
                printf("%c ", tree.nodes[p->child].data);
                p = p->next;
            }
            break;
        }
    }
    if (hasKids == 0) {
        printf("此节点为叶子节点");
    }
}
int main()
{
    CTree tree;
    for (int i = 0; i < MAX_SIZE; i++) {
        tree.nodes[i].firstchild = NULL;
    }
    tree = initTree(tree);
    //默认数根节点位于数组notes[0]处
    tree.r = 0;
    printf("找出节点 F 的所有孩子节点:");
    findKids(tree, 'F');
    return 0;
}

程序运行结果为:


输入节点数量:
10
输入第 1 个节点的值:
R
输入节点 R 的孩子节点数量:
3
输入第 1 个孩子节点在顺序表中的位置1
输入第 2 个孩子节点在顺序表中的位置2
输入第 3 个孩子节点在顺序表中的位置3
输入第 2 个节点的值:
A
输入节点 A 的孩子节点数量:
2
输入第 1 个孩子节点在顺序表中的位置4
输入第 2 个孩子节点在顺序表中的位置5
输入第 3 个节点的值:
B
输入节点 B 的孩子节点数量:
0
输入第 4 个节点的值:
C
输入节点 C 的孩子节点数量:
1
输入第 1 个孩子节点在顺序表中的位置6
输入第 5 个节点的值:
D
输入节点 D 的孩子节点数量:
0
输入第 6 个节点的值:
E
输入节点 E 的孩子节点数量:
0
输入第 7 个节点的值:
F
输入节点 F 的孩子节点数量:
3
输入第 1 个孩子节点在顺序表中的位置7
输入第 2 个孩子节点在顺序表中的位置8
输入第 3 个孩子节点在顺序表中的位置9
输入第 8 个节点的值:
G
输入节点 G 的孩子节点数量:
0
输入第 9 个节点的值:
H
输入节点 H 的孩子节点数量:
0
输入第 10 个节点的值:
K
输入节点 K 的孩子节点数量:
0
找出节点 F 的所有孩子节点:G H K

使用孩子表示法存储的树结构,正好和双亲表示法相反,适用于查找某结点的孩子结点,不适用于查找其父结点。


其实,我们还可以将双亲表示法和孩子表示法合二为一,那么图 1a) 中普通树的存储效果如图 2所示:

image.png

图 2 双亲孩子表示法


使用图 2 结构存储普通树,既能快速找到指定节点的父节点,又能快速找到指定节点的孩子节点。该结构的实现方法很简单,只需整合这两节的代码即可,因此不再赘述。


树的孩子兄弟表示法


一种常用方法——孩子兄弟表示法。

image.png

图 1 普通树示意图


树结构中,位于同一层的节点之间互为兄弟节点。例如,图 1 的普通树中,节点 A、B 和 C 互为兄弟节点,而节点  D、E 和 F 也互为兄弟节点。


孩子兄弟表示法,采用的是链式存储结构,其存储树的实现思想是:从树的根节点开始,依次用链表存储各个节点的孩子节点和兄弟节点。


因此,该链表中的节点应包含以下 3 部分内容(如图 2 所示):

  1. 节点的值;
  2. 指向孩子节点的指针;
  3. 指向兄弟节点的指针;

image.png

图 2 节点结构示意图


用 C 语言代码表示节点结构为:

#define ElemType char
typedef struct CSNode{
ElemType data;
struct CSNode * firstchild,*nextsibling;
}CSNode,*CSTree;

以图 1 为例,使用孩子兄弟表示法进行存储的结果如图 3 所示:

image.png

图 3 孩子兄弟表示法示意图


由图 3 可以看到,节点 R 无兄弟节点,其孩子节点是 A;节点 A 的兄弟节点分别是 B 和 C,其孩子节点为 D,依次类推。


实现图 3 中的 C 语言实现代码也很简单,根据图中链表的结构即可轻松完成链表的创建和使用,因此不再给出具体代码。


接下来观察图 1 和图 3。图 1 为原普通树,图 3 是由图 1 经过孩子兄弟表示法转化而来的一棵树,确切地说,图 3 是一棵二叉树。因此可以得出这样一个结论,即通过孩子兄弟表示法,任意一棵普通树都可以相应转化为一棵二叉树,换句话说,任意一棵普通树都有唯一的一棵二叉树于其对应。


因此,孩子兄弟表示法可以作为将普通树转化为二叉树的最有效方法,通常又被称为"二叉树表示法"或"二叉链表表示法"。


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