NOIP2003.加分二叉树

题目描述

设一个n个节点的二叉树tree的中序遍历为（l,2,3,…,n），其中数字1,2,3,…,n为节点编号。每个节点都有一个分数（均为正整数），记第j个节点的分数为di，tree及它的每个子树都有一个加分，任一棵子树subtree（也包含tree本身）的加分计算方法如下：

subtree的左子树的加分× subtree的右子树的加分＋subtree的根的分数

若某个子树为空，规定其加分为1，叶子的加分就是叶节点本身的分数。不考虑它的空子树。 试求一棵符合中序遍历为（1,2,3,…,n）且加分最高的二叉树tree。

要求输出：

（1）tree的最高加分

（2）tree的前序遍历

输入描述:

第1行：一个整数n（n＜30），为节点个数。 第2行：n个用空格隔开的整数，为每个节点的分数（分数＜100）。

输出描述:

第1行：一个整数，为最高加分（结果不会超过4,000,000,000）。 第2行：n个用空格隔开的整数，为该树的前序遍历。

示例1

输入

5 5 7 1 2 10

输出

145

3 1 2 4 5

思路

首先我们要有一个思想，对于每一个节点，只有他为根节点时候，他的加分才能最大，所以我们要假设每一个节点为根节点，然后计算他的加分，保留最大值返回。

按照这种思路，我们想到分治做法，构造一个函数求区间[1,n]的最优解

由 s u b t r e e 的左子树的加分 × s u b t r e e 的右子树的加分＋ s u b t r e e 的根的分数 subtree的左子树的加分× subtree的右子树的加分＋subtree的根的分数subtree的左子树的加分×subtree的右子树的加分＋subtree的根的分数

可以得到

f [ l ] [ r ] = s o l v e ( l , k − 1 ) ∗ s o l v e ( k + 1 , r ) + a [ k ] f[l][r] = solve(l,k-1)*solve(k+1,r) + a[k]f[l][r]=solve(l,k−1)∗solve(k+1,r)+a[k]

其中 k为[l,r]中的一个节点

那么最终答案就是f[1][n]

考虑怎么输出前序遍历的结果呢?我们在记忆化搜索的时候维护一个 root[l][r] = k

代表区间[l,r] 的最优值取的是k节点

那么我们前序遍历的时候只需要遍历 k,[l,k-1],[l,k+1]即可

在递归函数中，如果出现r

代码

N = 32
w = [0] * (N + 1)
f = [[0] * (N + 1) for _ in range(N + 1)]
root = [[0] * (N + 1) for _ in range(N + 1)]
def solve(l, r):
    if f[l][r] != 0:
        return f[l][r]
    if l == r:
        return w[l]
    if l > r:
        return 1
    for i in range(l, r + 1):
        res = solve(l, i - 1) * solve(i + 1, r) + w[i]
        
        if res > f[l][r]:
            f[l][r] = res
            root[l][r] = i
    return f[l][r]
def print_tree(l, r):
    if l == r:
        print(l, end=" ")
        return
    if l > r:
        return
    print(root[l][r], end=" ")
    print_tree(l, root[l][r] - 1)
    print_tree(root[l][r] + 1, r)
n = int(input())
w[1:n+1] = map(int, input().split())
print(solve(1, n))
print_tree(1, n)