剑指offer系列之八:跳台阶问题-阿里云开发者社区

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剑指offer系列之八:跳台阶问题

简介:

题目描述

一只青蛙一次可以跳上1级台阶,也可以跳上2级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。

这种问题的思路一般是采用数学归纳法,当n=1时,只有一种跳法;当n=2时,青蛙可以一次跳2级,也可以一次跳两级,需要跳两次,所以有两种跳法;当n=3的时候,首先考虑一次跳1级的情况,由于有3级,所以还有2级没跳,而跳两级的跳法已经在前面n=2的情况中计算得到了;下面考虑一次跳2级的情况,同样跳完2级的之后,还有1级没有跳,而跳剩下1级的方法是当n=1的时候计算得到的,所以可以归纳出当n=3的时候,跳法是f(3)=f(3-1)+f(3-2)。

为了确保正确性,我们继续分析当n=4的情况,由于青蛙第一次的跳法仍然只有两种。我们先分析第一次跳1级的情况,跳完1级之后,还有3级没有跳完,而剩下的3级的跳法总数可以由f(3)得到;当第一次跳2级的时候,还有2级没有跳完,所以剩余2级的跳法总数可以由f(2)得到。综合以上分析,我们得到当n=4的时候,跳法总数是f(4)=f(4-1)+f(4-2)=f(3)+f(2)。以此类推,我们可以得到台阶数为n的情况是f(n)=f(n-1)+f(n-2)。

这样,我们发现这仍然是一个斐波那契数列问题,基于上述分析,写出代码如下(已被牛客AC):

package com.rhwayfun.offer;

public class JumpStep {

    public int jumpFloor(int target) {
        int[] r = { 0, 1, 2 };
        if (target <= 2)
            return r[target];

        int one = 1;
        int two = 2;
        int result = 0;
        for (int i = 3; i <= target; i++) {
            result = one + two;
            one = two;
            two = result;
        }

        return result;
    }

    public static void main(String[] args) {
        int result = new JumpStep().JumpFloorII(3);
        System.out.println(result);
    }
}

跳台阶问题变种

题目描述

一只青蛙一次可以跳上1级台阶,也可以跳上2级……它也可以跳上n级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。

现在青蛙的能力升级了,不仅能一次跳1级,还能一次跳n级,这是了不起的进步(说笑的)。不管如何,我们仍然使用数学归纳法进行分析:

当n=1时,跳法只有1种,用f(1)=f(1-1)=1表示,下同;
当n=2时,可以一次跳1级,跳两次,也可以一次两2级,跳法有2种,f(2) = f(2-1) + f(2-2);//f(2-1)表示在有2级台阶的时候,第一次跳1级的跳法,其他类似
当n=3时,可以一次跳1级,跳3次,可以一次跳2级,下一次再跳1级,当然也可以一次跳3级,跳1次,所以跳法是f(3)=f(3-1)+f(3-2)+f(3-3)
……
当n=k的时候,f(k)=f(k-1)+f(k-2)+f(k-3)+…..+f(k-(k-1))+f(k-k)=f(0)+f(1)+f(2)+……+f(k-1),而f(k-1)=f((k-1)-1)+f((k-1)-2)+……+f((k-1)-(k-2))+f((k-1)-(k-1))=f(0)+f(1)+f(2)+……+f(k-2),
所以f(k)=2*f(k-1)。

得到上面的结论之后,我们写出如下代码(已被牛客AC):

public int JumpFloorII(int target) {
        if(target <= 0) return -1;
        if(target == 1) return 1;
        return 2 * JumpFloorII(target - 1);
    }

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