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LeetCode 面试题62. 圆圈中最后剩下的数字[1]
题目描述
这 个数字排成一个圆圈，从数字 开始，每次从这个圆圈里删除第 个数字。求出这个圆圈里剩下的最后一个数字。
例如， 这 个数字组成一个圆圈，从数字 开始每次删除第 个数字，则删除的前 个数字依次是 ，因此最后剩下的数字是 。
示例1
输入： n = 5, m = 3 输出： 3
示例2
输入： n = 10, m = 17 输出： 2
说明：
题解
循环链表
用一个循环链表按顺序存储 到 中的数，然后每 个数删除掉链表中的一个结点，最后剩下的数就是答案了。
这种方法时间复杂度是 ，显然太高了，所以这里也不会给大家实现代码。
递推法
首先 个人的编号依次是 ，然后踢掉了编号为 的人，这时候剩下的人编号为 。
下一个踢掉的人就要从 开始数了，所以我们把剩下的人编号从 开始重新排个序，变成 。这样编号又变成连续的了，而问题规模缩减成了 个人。
剩下的这 个人的编号我们做一下映射，映射成 ，这样就能递推下去求解了。映射的公式就是，映射后的编号为 ，那么映射之前的编号就是 。
也就是说，如果我们求出了 个人最后剩下的人编号 ，那么 个人最后剩下的人编号就是 。
用 表示 个人最后剩下的人编号，那么就有：
这样的话时间复杂度就降到了 。
对于本题这个方法已经够用了，但是如果 非常大，比如 ，但是 不是很大，比如 ，那么这时候这种方法就会超时了。具体的题目请自行百度 HDU 3089 。
递推法加速
注意观察上面的递推式 ，如果 很小，而 很大的话，递推到后面要加很多次 才会对 求余。所以我们可以直接一下子加很多次 ，然后再求余，这样就能加速了。
加了 次 之后，递推式变成了：
假设加了 次 之后才产生了取余，那么就有 ，即 。所以每次都可以加 个 ，代码实现时用下取整，也就是 。
此外还需要注意，如果发现 ，也就是后面都不需要取余了，那么就直接一步加到底，退出循环得到答案。
这个方法时间复杂度不是很好分析，但应该也是对数级别的。
数学法
这个方法在我之前的文章中已经讲过了：
具体数学-第8课（取整进阶）韦阳的博客：具体数学-第8课（取整进阶）[2]知乎专栏：具体数学-第8课（取整进阶）[3]知乎高赞回答也整理过了一遍：世界上有哪些代码量很少，但很牛逼很经典的算法或项目案例？[4]
大致思想也是重新编号，做编号映射，但是和上面递推法不同的是复杂度降到了对数级别。
这里就不详细讲了，大家可以去看上面的文章，这里直接给出伪代码：
D = 1 while D <= (m-1)n: D = k ans = mn+1-D
其中 。
不过这个这里的编号是 到 ，所以最后答案要减去 。
这种方法将时间复杂度降到了 ，用对数换底公式后得到 。
可以看出，这种方法适用于 特别大，但是 特别小的情况。否则的话如果 很大，分母会非常小，导致复杂度非常高。
代码
递推法（c++）
class Solution { public: int lastRemaining(int n, int m) { int last = 0; for (int i = 2; i <= n; ++i) { (last += m) %= i; } return last; } };
递推法加速（c++）
class Solution { public: int lastRemaining(int n, int m) { if (m == 1) return n-1; int last = 0, t = 1; for (int i = 2; i <= n; i+=t) { t = (i-last+m-3) / (m-1); if (i+t-1 > n) { last += (n-i+1)*m; break; } (last += t*m) %= (i+t-1); } return last; } };
数学法（c++）
class Solution { public: int lastRemaining(int n, int m) { long D = 1, end = (long)n*(m-1); while (D <= end) { D = (m*D+m-2) / (m-1); } return (long)n*m-D; } };
