AVL树简介
AVL树是对二叉搜索树的改进，二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。
AVL树是由两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis在1962年发明，A、V、L是他们名的首字母。
AVL树节点定义 
相对于普通搜索二叉树，多了 parent 和 _bf 这两个成员变量，_bf 为平衡因子，_parent为指向父节点的指针，利用_parent 这个指针可以更方便的修改平衡因子、旋转AVL树
AVL树特性
一棵AVL树或者是空树，或者是具有以下性质的二叉搜索树：
- 它的左右子树都是AVL树
- 左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1)
如图，每个节点都多存一个整形的平衡因子，需要保持任一节点的平衡因子（右子树高度 - 左子树高度）绝对值不超过1，每次插入节点后都要更新节点的平衡因子（循环更新），如果平衡因子的绝对值大于1的话，就要进行“旋转”。
AVL树的建立
AVL树的插入
AVL树就是在二叉搜索树的基础上引入了平衡因子，因此AVL树也可以看成是二叉搜索树。那么
AVL树的插入过程可以分为两步：
- 1. 按照二叉搜索树的方式插入新节点
- 2. 调整节点的平衡因子
调正平衡因子：右子树插入新节点，父节点平衡因子加1；左子树插入新节点，父节点平衡因子加1。并且要向上更新，直到出现父节点平衡因子等于0（调正结束）或者父节点平衡因子等于2/-2（平衡因子出错，需要调正）
更新后父节点 bf（平衡因子）
== 0 不用向上更新，插入结束
== 1/-1 子树变高了，必须向上更新
== 2/-2 子树违反规则，需调正（旋转）处理
AVL树的旋转
AVL树的旋转一共有四种，分别是 左单旋、右单旋、右左双旋、左右双旋
- 左单旋：新节点插入较高右子树的右侧 ————右右：左单旋
- 右单旋：新节点插入较高左子树的左侧 ————左左：右单旋
- 右左双旋：新节点插入较高右子树的左侧 ————右左：右左双旋
- 左右双旋：新节点插入较高左子树的右侧 ————左右：左右双旋
右左双旋 
规律如下：“左子树和左边的结合，右子树和右边的结合，自己变成父节点放上去”
左右双旋
规律依然是：“左子树和左边的结合，右子树和右边的结合，自己变成父节点放上去”。
验证AVL树
当你写了一个AVL树，如何验证他对不对呢？需要把握两个点
1. 验证其为二叉搜索树
如果中序遍历可得到一个有序的序列，就说明为二叉搜索树
2. 验证其为平衡树（AVL树）
- 每个节点子树高度差的绝对值不超过1(注意节点中如果没有平衡因子)
- 节点的平衡因子是否计算正确
每个节点的左右子树都是AVL树，要使用递归 + && 来确保这些节点左右子树的高度差和平衡因子都符合要求！（具体实现在代码部分）
AVL树的实现（代码部分）
#pragma once #include<iostream> #include<assert.h> using namespace std; template<class K, class V> struct AVLTreeNode { AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv) : _right(nullptr) , _left(nullptr) , _parent(nullptr) , _bf(0) , _kv(kv) {} AVLTreeNode<K, V>* _right; AVLTreeNode<K, V>* _left; AVLTreeNode<K, V>* _parent; pair<K, V> _kv; int _bf; }; template<class K, class V> class AVLTree { typedef AVLTreeNode<K, V> AVLNode; public: int Height(AVLNode* root) { if (root == nullptr) return 0; int leftHeight = Height(root->_left); int rightHeight = Height(root->_right); return leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1; } bool _IsAVLTree(AVLNode* root) { if (root == nullptr) return true; int Height1 = Height(root->_left); int Height2 = Height(root->_right); int diff = Height2 - Height1; if (diff != root->_bf) { cout << root->_kv.first << " 平衡因子异常" << endl; return false; } return _IsAVLTree(root->_left) && _IsAVLTree(root->_right) && abs(diff) < 2; } bool IsAVLTree() { return _IsAVLTree(_root); } void Order() { _Order(_root); cout << endl; } void _Order(AVLNode* root) { if (root == nullptr) return; _Order(root->_left); cout << root->_kv.first << " "; _Order(root->_right); } bool Insert(const pair<K, V>& kv) { // 首次插入，树为空的情况 if (_root == nullptr) { _root = new AVLNode(kv); return true; } AVLNode* parent = nullptr; //记录父节点 AVLNode* cur = _root;// 开始遍历 while (cur) { if (cur->_kv.first < kv.first) { parent = cur; cur = cur->_right; } else if (cur->_kv.first > kv.first) { parent = cur; cur = cur->_left; } else { return false;// 不能找到！找到说明已经有 key 了，插入失败 } } // 运行到此处，即将要插入的位置 cur = new AVLNode(kv); // 调整 cur 和 parent 的一些指针 if (parent->_kv.first > kv.first) // 使用 parent->_kv.first 与 kv.first的比较 { parent->_left = cur; } else if (parent->_kv.first < kv.first) { parent->_right = cur; } cur->_parent = parent; // 判断更新后父亲结点的大小 // cur原本为新增节点 但是根据逐步更新父节点 parent，它会一直是成为 parent 的子节点 while (parent) { if (cur == parent->_right)// 插入节点在右边 { parent->_bf++; } else if (cur == parent->_left) { parent->_bf--; } if (parent->_bf == 0) { // 等于0，说明不用往上更新了，恰好父亲的两边一样高了 break; } else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1) { //说明高度增加了（是从0变为了1或者-1） cur = parent; parent = parent->_parent; // 向上更新一步 } else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2) // 原来平衡因子等于 1 的节点的右子树插入了一个 或者原来平衡因子等于 -1 的节点左子树插入了一个 { // 违反规则了，需要旋转 if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1) { // 1、新节点插入较高右子树的右侧———— 右右 左单旋 RotateL(parent); } else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1) { // 2、新节点插入较高左子树的左侧———— 左左 右单旋 RotateR(parent); } else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1) { // 3、新节点插入较高右子树的左侧———— 右左 右左双旋 先右旋再左旋 RotateRL(parent); } else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1) { // 4、新节点插入较高左子树的右侧———— 左右 左右双旋 先左旋再右旋 RotateLR(parent); } break; } else { assert(false); } } return true; } void RotateLR(AVLNode* parent) { AVLNode* subL = parent->_left; AVLNode* subLR = subL->_right; int bf = subLR->_bf; RotateL(subL); RotateR(parent); if (bf == 0)// 自己是新增节点 { subL->_bf = 0; subLR->_bf = 0; parent->_bf = 0; } else if (bf == -1) // subL 左子树有新增节点 { subLR->_bf = 0; subL->_bf = 0; parent->_bf = 1; } else if (bf == 1) // subL 右子树有新增节点 { subLR->_bf = 0; subL->_bf = -1; parent->_bf = 0; } } void RotateRL(AVLNode* parent) { AVLNode* subR = parent->_right; AVLNode* subRL = subR->_left; int bf = subRL->_bf; RotateR(subR); RotateL(parent); if (bf == 0) //subRL 自己就是新增节点 { subRL->_bf = 0; subR->_bf = 0; parent->_bf = 0; } else if (bf == 1) // subRL 右子树有新增节点 { subRL->_bf = 0; subR->_bf = 0; parent->_bf = -1; } else if (bf == -1)// subRL 左子树有新增节点 { subRL->_bf = 0; subR->_bf = 1; parent->_bf = 0; } } void RotateR(AVLNode* parent) { AVLNode* subL = parent->_left; AVLNode* subLR = subL->_right; AVLNode* parentParent = parent->_parent; subL->_right = parent; parent->_parent = subL; parent->_left = subLR; if (subLR) subLR->_parent = parent; if (parent == _root) { _root = subL; subL-> _parent = nullptr; } else { if (parentParent->_left == parent) { parentParent->_left = subL; } else if (parentParent->_right == parent) { parentParent->_right = subL; } subL->_parent = parentParent; } subL->_bf = parent->_bf = 0; } void RotateL(AVLNode* parent) { AVLNode* subR = parent->_right; AVLNode* subRL = subR->_left; AVLNode* parentParent = parent->_parent; subR->_left = parent; parent->_parent = subR; if (subRL) subRL->_parent = parent; parent->_right = subRL; if (parent == _root) { _root = subR; subR->_parent = nullptr; } else { // 先找到 parent 是父亲的左子树还是右子树 if (parentParent->_left == parent) // 左子树 { parentParent->_left = subR; } else if (parentParent->_right == parent) // 右子树 { parentParent->_right = subR; } subR->_parent = parentParent; } parent->_bf = subR->_bf = 0; } private: AVLNode* _root = nullptr; };
