【数值分析】二分法求方程的根(附matlab代码)

简介: 【数值分析】二分法求方程的根(附matlab代码)

二分法基本思想

利用连续函数零点定理,将含根区间逐次减半缩小的方式构造点列来逼近根。

二分法步骤

Step1: 计算 f(x) 在有根区间 [a, b] 端点处的值 f(a) 和 f(b)

如何判断有根?可以根据零点定理,若 f(x)∈C[a, b] ,且 f(a) f(b) < 0

Step2: 计算 f(x) 在区间中点 (a+b)/2 处的数值 f((a+b)/2)

开始二分

Step3:判断 f((a+b)/2) 是否等于0,如果是,则根就是 (a+b)/2 ,计算过程结束,否则继续

提前满足条件就完事了!这一步用我们老师的话来说就是瞎猫碰着死耗子,如果 f((a+b)/2) = 0,可以就此打住,因此这一步不能省!

Step4:判断 f((a+b)/2) f(a) 是否小于0,如果是,则用 (a+b)/2 代替 b ,否则就用 (a+b)/2 代替 a

进一步缩小区间

Step5:判断区间[a, b]的长度是否小于允许误差,如果满足条件,则上一步得到的 (a+b)/2 即为所求的近似根,否则继续循环 Step2~Step5

由于二分法只能求解根的近似值,如果不设定循环求近似解的终止条件的话会一直求解下去

程序框图

题目要求和初步分析

题目1

用二分法求方程 x 2 − x − 1 = 0 x^2-x-1=0x2x1=0 的正根,要求误差小于0.05。

分析1

首先令 f ( x ) = x 2 − x − 1 = 0 f(x) = x^2-x-1=0f(x)=x2x1=0,将方程求根问题转为函数求零点的问题。

接着根据正根的性质,初步选定一个区间 [1, 2],然后验证是否存在零点:

f(1) = -1 < 0,f(2) = 1 > 0,f(1) f(2) < 0,则 [1, 2] 存在零点,可继续进行二分法求解。

Matlab 代码1

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% 简介:用二分法求方程x^2-x-1=0的正根,要求误差小于0.05
% 作者:不雨_亦潇潇
% 文件:dichotomy.m
% 日期:20221009
% 博客:https://blog.csdn.net/weixin_43470383/article/details/127222948
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
clc; clear all;
syms x                       % 定义变量
f = @(x) x^2 - x -1;         % 求解方程
a = 1; b = 2;                % 初始的区间上下限
n = 0;                       % 迭代次数
w = 0.05;                    % 误差要求
while f(a) * f(b) < 0        % 存在根
    x_0 = (a+b)/2            % 计算中点,开始二分
    if f(x_0) == 0           % 零点即中点
        break;
    end
    if f(a) * f(x_0) < 0     % 零点在左边的区间
        b = x_0;
    else                     % 零点在右边的区间
        a = x_0;
    end
    n = n+1
    if abs(a - b) < w       % 判断是否满足精度条件
        x_0                 % 最终得到的近似解
        n = n+1             % 迭代总次数
        break;
    end
end

运行结果1

x_0 = 1.5000

n = 1

x_0 = 1.7500

n = 2

x_0 = 1.6250

n = 3

x_0 = 1.5625

n = 4

x_0 = 1.5938

n = 5

x_0 = 1.5938

n = 6

第6次迭代时abs(a - b)=1.625-1.5938<0.05,满足条件

最终求得的根为 1.5938

题目2

用二分法求方程 e x p ( x ) + 10 ∗ x − 2 = 0 exp(x) + 10*x -2=0exp(x)+10x2=0 的根,要求根有3位小数。

Matlab代码2

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% 简介:用二分法求方程exp(x) + 10*x -2=0的根,要求根有3位小数
% 作者:不雨_亦潇潇
% 文件:dichotomy1.m
% 日期:20221010
% 博客:https://blog.csdn.net/weixin_43470383/article/details/127222948
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
clc; clear all;
syms x                      % 定义变量
f = @(x) exp(x) + 10*x -2;  % 求解方程
a = 0; b = 1;               % 初始的区间上下限
n = 0;                      % 迭代次数
w = 0.5*power(10, -3);      % 误差要求
while f(a) * f(b) < 0       % 存在根
    x_0 = (a+b)/2           % 计算中点,开始二分
    if f(x_0) == 0          % 零点即中点
        break;
    end
    if f(a) * f(x_0) < 0    % 零点在左边的区间
        b = x_0;
    else                    % 零点在右边的区间
        a = x_0;
    end
n = n+1
    if abs(a - b) < w            % 判断是否满足精度条件
        x_0                              % 最终得到的近似解
        n = n+1                     % 迭代总次数
        break;
    end
end

运行结果2

x_0 =

0.5000

n =

1

x_0 =

0.2500

n =

2

x_0 =

0.1250

n =

3

x_0 =

0.0625

n =

4

x_0 =

0.0938

n =

5

x_0 =

0.0781

n =

6

x_0 =

0.0859

n =

7

x_0 =

0.0898

n =

8

x_0 =

0.0918

n =

9

x_0 =

0.0908

n =

10

x_0 =

0.0903

n =

11

x_0 =

0.0903

n =

12

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