介绍了MPC的3个步骤：
Step1：估计/测量读取当前系统状态（可测量则测量，不可测量则估计）
Step2：基于 
进行最优化
Step3：只取 
(只选取 
时刻作为预测结果，因为预测存在局限性)
以及代价函数、预测区间等相关概念。
这一篇开始推导MPC数学模型，公式比较多。
DR_CAN的视频：【MPC模型预测控制器】2_最优化数学建模推导
【MPC模型预测控制器】2
1.最优化的方法之一：二次规划 Quadratic Programming
一般形式：
（包含两部分：
——二次型，
——线性）
若 𝑄 为对角矩阵，即 
，则转为最小二乘问题
如想了解更多有关二次规划的问题，可以参考这篇博客：
2.最优化建模数学推导
2.1系统的状态空间表达式
一个离散系统的状态方程：
其中 
为状态向量， 
为输入向量。
在 k 时刻：
表示在k时刻预测 k 时刻的系统状态，
表示在k时刻预测 k＋1 时刻的系统状态，
... 
表示在k时刻预测 k＋N 时刻的系统状态。
表示在k时刻预测 k 时刻的输入，
表示在k时刻预测 k+1 时刻的输入，
... 
表示在k时刻预测 k+N 时刻的输入。
即前面的 k 表示预测对象，后面的 k 表示在 k 时刻的预测。
为简化分析，假设系统输出方程： 
，参考值 
，则误差 
2.2代价函数
依据上一篇博客给出的代价函数表达式
可得：
即：代价函数 = 
误差加权和 + 
输入加权和 + 
终端误差。
其中 
和 
为权重系数矩阵且均为对角矩阵，最优化的目标是最小化代价，即 
.
的表达式中有两个变量（输入 
和状态 
），相比于二次规划一般形式多了一个变量。由于控制目标为控制输入
，因此要消去变量 
.
2.3MPC数学模型推导
（个人理解：MPC目标为实现最优，也就是代价最小，数学形式即为代价函数的最小化，因此MPC公式推导主要是代价函数的推导和化简）
将状态变量用输入变量表示：
为初始条件
将上式整理后可得：
令
，
注意 
为向量，
为初始状态。
中的0代表零矩阵，而非数值0。
则
将代价函数展开：
令
则
将 
代入上式，消去变量 
并化简：
因为 
是一个 1×1 矩阵（
和 
均为 n×1 矩阵，
和 
均为 n×n 矩阵），因此实际上是一个数（至于为什么，可以参考线性代数中矩阵相乘相关内容），则 
.
由于矩阵 
和 
互为转置且均为数值，则数值相等，即：
令
则
上式就是最终推导结果，符合二次规划的一般形式。其中 
为线性部分，
为二次型部分， 
表示初始状态，不影响最优化。
以上就是MPC数学模型推导过程，利用这个模型可以对系统进行最优化和模型预测控制设计。
（码了那么多公式，对 Latex 也越来越熟了...)
