【数据结构】—红黑树(C++实现)

简介: 【数据结构】—红黑树(C++实现)

一、前言  

        本文是基于二叉搜索树以及AVL树的知识前提下对于红黑树进行叙述的,主要叙述的方面同AVL树一样,主要是在于插入方面的解析,其它部分同AVL树和二叉搜索树还是有些相似的。但是对于删除部分来说,红黑树就太难了,举个例子?:插入部分,红黑树的实现大概180行代码,而删除则是400往上接近500行了。难度可想而知,作者如果有能力后续会慢慢补齐的!


  红黑树的概念

       红黑树是一种自平衡二叉查找树,它的每个节点都有一个颜色属性,可以是红色或黑色。红黑树的特性如下:

  • 每个节点要么是红色,要么是黑色。
  • 根节点是黑色。
  • 所有的叶子节点(NIL节点)都是黑色。(注意NIL实际上空节点,只不过我们将所有空节点看作黑色节点而已
  • 如果一个节点是红色,那么它的两个子节点都是黑色。(意味着黑色可以有黑色的节点也可以有红色的节点,但是红色只能有黑色的节点
  • 对于每个节点,从该节点到其所有后代叶节点的简单路径上,均包含相同数目的黑色节点。


       这些特性保证了红黑树的搜索效率。在最坏的情况下,搜索一棵高度为h的红黑树的时间复杂度是O(h),与AVL树相当。此外,由于红黑树的插入和删除操作不需要像AVL树那样频繁地旋转,因此红黑树在实际应用中比AVL树更加稳定和高效。在实际应用中,红黑树常用于实现关联数组(哈希表)的数据结构,以及数据库索引等场合。

红黑树与二叉搜索树的异同

红黑树和二叉搜索树的主要区别在于它们如何处理数据冲突。

       二叉搜索树(BST)是一种特殊的二叉树,其中每个节点都存储一个键值,并且满足左子树中的所有键值小于根节点的键值,右子树中的所有键值大于根节点的键值。这使得搜索、插入和删除操作可以在平均情况下以O(log n)的时间复杂度完成。

       红黑树也是一种二叉搜索树,但它通过限制每个节点的颜色和位置关系来保持树的平衡,从而确保搜索、插入和删除操作的时间复杂度始终为O(log n)。与BST不同的是,红黑树还具有以下特点:

 * 每个节点要么是红色,要么是黑色。

 * 根节点是黑色。

 * 所有的叶子节点(NIL节点,空节点)都是黑色。

 * 如果一个节点是红色,那么它的两个子节点都是黑色。

 * 对于每个节点,从该节点到其所有后代叶节点的简单路径上,均包含相同数目的黑色节点。


       这些特性使得红黑树在实际应用中更加强大和灵活。例如,红黑树可以通过左右旋转变换快速调整树的形状,从而应对动态数据集的变化。此外,红黑树还可以应用于许多不同的场景,如数据库索引、排序算法、集合类数据结构等等。


二、红黑树的实现

 节点的定义

使用枚举来定义结点的颜色,提高代码的可读性。定义三叉链,方便后续的旋转等等操作,定义KV结构的红黑树,定义一个枚举变量用于储存颜色。通过构造函数初始化节点。

enum Color
{
  RED,
  BLACK
};
template<class K, class V>
struct RBTreeNode
{
  RBTreeNode<K, V>* _left;
  RBTreeNode<K, V>* _right;
  RBTreeNode<K, V>* _parent;
  pair<K, V> _kv;
  Color _col;
  RBTreeNode(const pair<K, V>& kv)
    :_left(nullptr)
    , _right(nullptr)
    , _parent(nullptr)
    , _kv(kv)
    , _col(RED)
  {}
};

AVL树的初始化定义

template<class K, class V>
struct RBTree
{
  typedef RBTreeNode<K, V> Node;
public:
  bool Insert(const pair<K, V>& kv)//插入操作
  bool IsBalance();//判断是否符合红黑树
  int Height();//求高度
private:
  Node* _root = nullptr;//给缺省初始化
};

红黑树的插入(重点及难点!!!)

插入大致步骤

下面是红黑树插入的大致步骤:

1. 向红黑树中插入新的节点。

2. 确保新节点的颜色为红色。

3. 确保新插入的节点不会破坏红黑树的性质。如果新节点违反了某些性质,则需要对红黑树进行旋转操作或更改节点的颜色。

4. 返回到插入节点的父节点,继续执行第3步,直到所有违反性质的节点都被修复为止。

具体来说,当我们向红黑树中插入新的节点时,我们需要遵循以下规则:

       - 每个节点都是红色或黑色。

       - 根节点是黑色。

       - 所有叶子节点(NIL节点,空节点)都是黑色。

       - 如果一个节点是红色,则它的两个子节点都是黑色。

       - 对于每个节点,从该节点到其所有后代叶子节点的简单路径上,均包含相同数目的黑色节点。

       如果我们违反了这些规则中的任何一个,我们就可以通过旋转操作或更改节点的颜色来修复这个问题。例如,如果我们发现某个节点有两个子节点都是红色的,那么我们就需要将这个节点以及其两个子节点的颜色全部改为黑色,然后再将该节点的父节点变为红色。这样就可以确保新插入的节点不会破坏红黑树的性质。

插入的总体逻辑

  1. 按二叉搜索树的插入方法,找到待插入位置。
  2. 将待插入结点插入到树中。(新插入的节点默认为红)
  3. 若插入结点的父结点是红色的,则需要对红黑树进行调整。
  4. 按情况进行调整:情况一: cur为红,p为红,g为黑,u存在且为红。->将p,u改为黑,g改为红,然后把g当成cur,继续向上调整。情况二: cur为红,p为红,g为黑,u不存在/u存在且为黑->p为g的左孩子,cur为p的左孩子,则进行右单旋转;相反, p为g的右孩子,cur为p的右孩子,则进行左单旋转p、g变色--p变黑,g变红。情况三: cur为红,p为红,g为黑,u不存在/u存在且为黑->p为g的左孩子,cur为p的右孩子,则针对p做左单旋转,再对g做右单旋;相反, p为g的右孩子,cur为p的左孩子,则针对p做右单旋转,再对g做左单旋。

按照二叉搜索树的方法插入节点

按照搜索二叉树,大往右,小往左的思想,找到对应的节点,插入节点并且链接。大致步骤都是同二叉搜索树是相同的,只不过需要注意的是新插入的节点默认都是红色的。当父节点为黑色时,直接插入即可。

bool Insert(const pair<K, V>& kv)
{
  if (_root == nullptr)//如果根节点为空则直接开辟一个节点作为根节点并且返回true
  {
    _root = new Node(kv);
    _root->_col = BLACK;
    return true;
  }
  Node* parent = nullptr;//后续遍历找位置以及旋转等
  Node* cur = _root;//遍历用
  while (cur) // 开始遍历到指定位置->其实就是到cur为空节点的地方
  {
    if (cur->_kv.first < kv.first)//要插入节点大于则往右遍历
    {
      parent = cur;
      cur = cur->_right;
    }
    else if (cur->_kv.first > kv.first)//要插入节点小于于则往左遍历
    {
      parent = cur;
      cur = cur->_left;
    }
    else
    {
      return false;
    }
  }
  //默认新增节点给红色,防止给黑破坏平衡
  cur = new Node(kv);
  cur->_col = RED;
  if (parent->_kv.first < kv.first)//同父节点比大小
  {
    parent->_right = cur;//链接新节点
  }
  else
  {
    parent->_left = cur;//链接新节点
  }
  cur->_parent = parent;//新节点链接父节点
  //后续根据红黑树特性开始调整
  ...
    //调整完毕
  }
  _root->_col = BLACK;//将根处理成黑。因为插入向上处理会改变,但是当最后为根时改变后就不能进入循环,因此需要最后处理为黑
  return true;
}

 父节点为红色, 需要进行相应的调整

       重点在于看舅舅节点,看舅舅节点的存在与否,存在的话是红色?还是黑色? 根据舅舅节点来确定相应的调整操作。然后再看新插入节点cur处于parent的位置,在左?还是在右?进行相应的调整策略。

情况一: cur为红,p为红,g为黑,u存在且为红

   当cur为红,p为红,g为黑,u存在且为红时将p,u改为黑,g改为红,然后把g当成cur,继续向上调整。

cur为红,p为红,g为黑,u不存在/u存在且为黑,u不存在,如果p为g的左,cur为p的左,如上图一所示,则只需对g进行右单旋,如果p为g的右,cur为p的右,则只需对g进行左单旋,然后p、g变色--p变黑,g变红。

 当u存在且为黑,即如上图二第2步所示。由图二1、2步我们可以知道cur是由于新增节点而变化而来的,我们也可以根据红黑树的定义可知,c、d、e分别为对应箭头的颜色。由此,我们需要进行对应的旋转以及变色操作,对于以上u存在且为黑,如果p为g的左,cur为p的左,则如图二第3步所示,对p进行右单旋,如果p为g的右,cur为p的右,则只需对g进行左单旋,然后p、g变色--p变黑,g变红。

  cur为红,p为红,g为黑,u不存在/u存在且为黑但是此时,如果p为g的左,cur为p的右,则如图所示需先对p进行左单旋,再对g进行右单旋。如果p为g的右,cur为p的左,则需对p进行右单旋,再对g进行左单旋。然后c、g变色--c变黑,g变红。 

插入实现

  bool Insert(const pair<K, V>& kv)
  {
    if (_root == nullptr)//如果根节点为空则直接开辟一个节点作为根节点并且返回true
    {
      _root = new Node(kv);
      _root->_col = BLACK;
      return true;
    }
    Node* parent = nullptr;//后续遍历找位置以及旋转等
    Node* cur = _root;//遍历用
    while (cur) // 开始遍历到指定位置->其实就是到cur为空节点的地方
    {
      if (cur->_kv.first < kv.first)//要插入节点大于则往右遍历
      {
        parent = cur;
        cur = cur->_right;
      }
      else if (cur->_kv.first > kv.first)//要插入节点小于于则往左遍历
      {
        parent = cur;
        cur = cur->_left;
      }
      else
      {
        return false;
      }
    }
    //默认新增节点给红色,防止给黑破坏平衡
    cur = new Node(kv);
    cur->_col = RED;
    if (parent->_kv.first < kv.first)//同父节点比大小
    {
      parent->_right = cur;//链接新节点
    }
    else
    {
      parent->_left = cur;//链接新节点
    }
    cur->_parent = parent;//新节点链接父节点
    //根据红黑树特性开始调整
    while (parent && parent->_col == RED)//由于子节点和父节点都是红色,则需要调整
    {
      Node* grandfather = parent->_parent;//储存爷爷节点,用于找舅舅节点以及变色甚至旋转
      if (parent == grandfather->_left)
      {
        //     g
        //   p   u
        // c
        Node* uncle = grandfather->_right;//如果父亲节点在爷爷的左则舅舅在右
        if (uncle && uncle->_col == RED)//情况一:“变色处理” 舅舅节点存在且为红色,则我们需要将父亲以及舅舅变黑,爷爷变红
        {
          // 变色
          parent->_col = uncle->_col = BLACK;
          grandfather->_col = RED;
          // 继续向上处理
          cur = grandfather;
          parent = cur->_parent;
        }
        else //情况二:“需要旋转(单旋?or双旋?)+变色处理” 即舅舅节点存在时为黑或者舅舅节点不存在,则我们需要进行相应的旋转
        {
          if (cur == parent->_left)
          {
            // 单旋
            //     g         p  
            //   p     ->  c   g
            // c
            RotateR(grandfather);
            parent->_col = BLACK;
            grandfather->_col = RED;
          }
          else
          {
            // 双旋
            //     g          g        p  
            //   p     ->   c    ->  c   g
            //     c      p
            RotateL(parent);
            RotateR(grandfather);
            cur->_col = BLACK;
            grandfather->_col = RED;
          }
          break;
        }
      }
      else // parent == grandfather->_right
      {
        //     g
        //   u   p 
        //          c
        //
        Node* uncle = grandfather->_left;//情况一,但是uncle在左
        // u存在且为红
        if (uncle && uncle->_col == RED)
        {
          // 变色
          parent->_col = uncle->_col = BLACK;
          grandfather->_col = RED;
          // 继续向上处理
          cur = grandfather;
          parent = cur->_parent;
        }
        else//情况二:“需要旋转(单旋?or双旋?)+变色处理”
        {
          if (cur == parent->_right)
          {
            // 单旋
            //     g           p  
            //       p   ->  g   c
            //         c
            RotateL(grandfather);
            grandfather->_col = RED;
            parent->_col = BLACK;
          }
          else
          {
            //     g        g           c
            //   u   p -> u   c   ->  g   p
            //     c            p   u
            //
            RotateR(parent);
            RotateL(grandfather);
            cur->_col = BLACK;
            grandfather->_col = RED;
          }
          break;
        }
      }
    }
    _root->_col = BLACK;//将根处理成黑。因为插入向上处理会改变,但是当最后为根时改变后就不能进入循环,因此需要最后处理为黑
    return true;
  }
  void RotateL(Node* parent)
  {
    ++_rotateCount;
    Node* cur = parent->_right;
    Node* curleft = cur->_left;
    parent->_right = curleft;
    if (curleft)
    {
      curleft->_parent = parent;
    }
    cur->_left = parent;
    Node* ppnode = parent->_parent;
    parent->_parent = cur;
    if (parent == _root)
    {
      _root = cur;
      cur->_parent = nullptr;
    }
    else
    {
      if (ppnode->_left == parent)
      {
        ppnode->_left = cur;
      }
      else
      {
        ppnode->_right = cur;
      }
      cur->_parent = ppnode;
    }
  }
  void RotateR(Node* parent)
  {
    ++_rotateCount;
    Node* cur = parent->_left;
    Node* curright = cur->_right;
    parent->_left = curright;
    if (curright)
      curright->_parent = parent;
    Node* ppnode = parent->_parent;
    cur->_right = parent;
    parent->_parent = cur;
    if (ppnode == nullptr)
    {
      _root = cur;
      cur->_parent = nullptr;
    }
    else
    {
      if (ppnode->_left == parent)
      {
        ppnode->_left = cur;
      }
      else
      {
        ppnode->_right = cur;
      }
      cur->_parent = ppnode;
    }
  }

根据构建红黑树的规则验证红黑树

1. 每个结点不是红色就是黑色
2. 根节点是黑色的
3. 如果一个节点是红色的,则它的两个孩子结点是黑色的
4. 对于每个结点,从该结点到其所有后代叶结点的简单路径上,均 包含相同数目的黑色结点
5. 每个叶子结点都是黑色的(此处的叶子结点指的是空结点)
  bool IsBalance()
  {
    return _IsBalance(_root);
  }
  // 根节点->当前节点这条路径的黑色节点的数量
  bool CheckColour(Node* root, int blacknum, int benchmark)
  {
    if (root == nullptr)
    {
      if (blacknum != benchmark)
        return false;
      return true;
    }
    if (root->_col == BLACK)//统计黑色用于判断每条路径黑色都相同
    {
      ++blacknum;
    }
    if (root->_col == RED && root->_parent && root->_parent->_col == RED)
    {
      //当前节点与父节点连续红色
      cout << root->_kv.first << "出现连续红色节点" << endl;
      return false;
    }
    return CheckColour(root->_left, blacknum, benchmark)
      && CheckColour(root->_right, blacknum, benchmark);//递归遍历每条路径
  }
  bool _IsBalance(Node* root)
  {
    //根据构建红黑树的规则进行判断
    if (root == nullptr)
      return true;
    if (root->_col != BLACK)//根不能为红
    {
      return false;
    }
    // //参考值,统计一条路径的黑色节点数
    int benchmark = 0;
    Node* cur = _root;
    while (cur)
    {
      if (cur->_col == BLACK)
        ++benchmark;
      cur = cur->_left;
    }
    //通过检查每条路径的黑色节点数判断是否平衡
    return CheckColour(root, 0, benchmark);
  }

求红黑树高度以及遍历红黑树

 基本上就是同AVL树以及搜索二叉树相同的道理。

  int Height()
  {
    return _Height(_root);
  }
  //中序遍历
  void Inorder()
  {
    _Inorder(_root);
  }
  int _Height(Node* root)
  {
    if (root == nullptr)
      return 0;
    int leftHeight = _Height(root->_left);
    int rightHeight = _Height(root->_right);
    return leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1;
  }
  //中序遍历子函数
  void _Inorder(Node* root)
  {
    if (root == nullptr)
      return;
    _Inorder(root->_left);
    cout << root->_kv.first << " ";
    _Inorder(root->_right);
  }

三、总体代码

#pragma once
#include<iostream>
using namespace std;
enum Color
{
  RED,
  BLACK
};
template<class K, class V>
struct RBTreeNode
{
  RBTreeNode<K, V>* _left;
  RBTreeNode<K, V>* _right;
  RBTreeNode<K, V>* _parent;
  pair<K, V> _kv;
  Color _col;
  RBTreeNode(const pair<K, V>& kv)
    :_left(nullptr)
    , _right(nullptr)
    , _parent(nullptr)
    , _kv(kv)
    , _col(RED)
  {}
};
template<class K, class V>
struct RBTree
{
  typedef RBTreeNode<K, V> Node;
public:
  bool Insert(const pair<K, V>& kv)
  {
    if (_root == nullptr)//如果根节点为空则直接开辟一个节点作为根节点并且返回true
    {
      _root = new Node(kv);
      _root->_col = BLACK;
      return true;
    }
    Node* parent = nullptr;//后续遍历找位置以及旋转等
    Node* cur = _root;//遍历用
    while (cur) // 开始遍历到指定位置->其实就是到cur为空节点的地方
    {
      if (cur->_kv.first < kv.first)//要插入节点大于则往右遍历
      {
        parent = cur;
        cur = cur->_right;
      }
      else if (cur->_kv.first > kv.first)//要插入节点小于于则往左遍历
      {
        parent = cur;
        cur = cur->_left;
      }
      else
      {
        return false;
      }
    }
    //默认新增节点给红色,防止给黑破坏平衡
    cur = new Node(kv);
    cur->_col = RED;
    if (parent->_kv.first < kv.first)//同父节点比大小
    {
      parent->_right = cur;//链接新节点
    }
    else
    {
      parent->_left = cur;//链接新节点
    }
    cur->_parent = parent;//新节点链接父节点
    //根据红黑树特性开始调整
    while (parent && parent->_col == RED)//由于子节点和父节点都是红色,则需要调整
    {
      Node* grandfather = parent->_parent;//储存爷爷节点,用于找舅舅节点以及变色甚至旋转
      if (parent == grandfather->_left)
      {
        //     g
        //   p   u
        // c
        Node* uncle = grandfather->_right;//如果父亲节点在爷爷的左则舅舅在右
        if (uncle && uncle->_col == RED)//情况一:“变色处理” 舅舅节点存在且为红色,则我们需要将父亲以及舅舅变黑,爷爷变红
        {
          // 变色
          parent->_col = uncle->_col = BLACK;
          grandfather->_col = RED;
          // 继续向上处理
          cur = grandfather;
          parent = cur->_parent;
        }
        else //情况二:“需要旋转(单旋?or双旋?)+变色处理” 即舅舅节点存在时为黑或者舅舅节点不存在,则我们需要进行相应的旋转
        {
          if (cur == parent->_left)
          {
            // 单旋
            //     g         p  
            //   p     ->  c   g
            // c
            RotateR(grandfather);
            parent->_col = BLACK;
            grandfather->_col = RED;
          }
          else
          {
            // 双旋
            //     g          g        p  
            //   p     ->   c    ->  c   g
            //     c      p
            RotateL(parent);
            RotateR(grandfather);
            cur->_col = BLACK;
            grandfather->_col = RED;
          }
          break;
        }
      }
      else // parent == grandfather->_right
      {
        //     g
        //   u   p 
        //          c
        //
        Node* uncle = grandfather->_left;//情况一,但是uncle在左
        // u存在且为红
        if (uncle && uncle->_col == RED)
        {
          // 变色
          parent->_col = uncle->_col = BLACK;
          grandfather->_col = RED;
          // 继续向上处理
          cur = grandfather;
          parent = cur->_parent;
        }
        else//情况二:“需要旋转(单旋?or双旋?)+变色处理”
        {
          if (cur == parent->_right)
          {
            // 单旋
            //     g           p  
            //       p   ->  g   c
            //         c
            RotateL(grandfather);
            grandfather->_col = RED;
            parent->_col = BLACK;
          }
          else
          {
            //     g        g           c
            //   u   p -> u   c   ->  g   p
            //     c            p   u
            //
            RotateR(parent);
            RotateL(grandfather);
            cur->_col = BLACK;
            grandfather->_col = RED;
          }
          break;
        }
      }
    }
    _root->_col = BLACK;//将根处理成黑。因为插入向上处理会改变,但是当最后为根时改变后就不能进入循环,因此需要最后处理为黑
    return true;
  }
  void RotateL(Node* parent)
  {
    ++_rotateCount;
    Node* cur = parent->_right;
    Node* curleft = cur->_left;
    parent->_right = curleft;
    if (curleft)
    {
      curleft->_parent = parent;
    }
    cur->_left = parent;
    Node* ppnode = parent->_parent;
    parent->_parent = cur;
    if (parent == _root)
    {
      _root = cur;
      cur->_parent = nullptr;
    }
    else
    {
      if (ppnode->_left == parent)
      {
        ppnode->_left = cur;
      }
      else
      {
        ppnode->_right = cur;
      }
      cur->_parent = ppnode;
    }
  }
  void RotateR(Node* parent)
  {
    ++_rotateCount;
    Node* cur = parent->_left;
    Node* curright = cur->_right;
    parent->_left = curright;
    if (curright)
      curright->_parent = parent;
    Node* ppnode = parent->_parent;
    cur->_right = parent;
    parent->_parent = cur;
    if (ppnode == nullptr)
    {
      _root = cur;
      cur->_parent = nullptr;
    }
    else
    {
      if (ppnode->_left == parent)
      {
        ppnode->_left = cur;
      }
      else
      {
        ppnode->_right = cur;
      }
      cur->_parent = ppnode;
    }
  }
  bool IsBalance()
  {
    return _IsBalance(_root);
  }
  int Height()
  {
    return _Height(_root);
  }
  //中序遍历
  void Inorder()
  {
    _Inorder(_root);
  }
private:
  // 根节点->当前节点这条路径的黑色节点的数量
  bool CheckColour(Node* root, int blacknum, int benchmark)
  {
    if (root == nullptr)
    {
      if (blacknum != benchmark)
        return false;
      return true;
    }
    if (root->_col == BLACK)//统计黑色用于判断每条路径黑色都相同
    {
      ++blacknum;
    }
    if (root->_col == RED && root->_parent && root->_parent->_col == RED)
    {
      //当前节点与父节点连续红色
      cout << root->_kv.first << "出现连续红色节点" << endl;
      return false;
    }
    return CheckColour(root->_left, blacknum, benchmark)
      && CheckColour(root->_right, blacknum, benchmark);//递归遍历每条路径
  }
  bool _IsBalance(Node* root)
  {
    //根据构建红黑树的规则进行判断
    if (root == nullptr)
      return true;
    if (root->_col != BLACK)//根不能为红
    {
      return false;
    }
    // //参考值,统计一条路径的黑色节点数
    int benchmark = 0;
    Node* cur = _root;
    while (cur)
    {
      if (cur->_col == BLACK)
        ++benchmark;
      cur = cur->_left;
    }
    //通过检查每条路径的黑色节点数判断是否平衡
    return CheckColour(root, 0, benchmark);
  }
  int _Height(Node* root)
  {
    if (root == nullptr)
      return 0;
    int leftHeight = _Height(root->_left);
    int rightHeight = _Height(root->_right);
    return leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1;
  }
  //中序遍历子函数
  void _Inorder(Node* root)
  {
    if (root == nullptr)
      return;
    _Inorder(root->_left);
    cout << root->_kv.first << " ";
    _Inorder(root->_right);
  }
private:
  Node* _root = nullptr;
public:
  int _rotateCount = 0;
};

感谢你耐心的看到这里ღ( ´・ᴗ・` )比心,如有哪里有错误请踢一脚作者o(╥﹏╥)o! 

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