一、前言
本文是基于二叉搜索树以及AVL树的知识前提下对于红黑树进行叙述的，主要叙述的方面同AVL树一样，主要是在于插入方面的解析，其它部分同AVL树和二叉搜索树还是有些相似的。但是对于删除部分来说，红黑树就太难了，举个例子？：插入部分，红黑树的实现大概180行代码，而删除则是400往上接近500行了。难度可想而知，作者如果有能力后续会慢慢补齐的！
红黑树的概念
红黑树是一种自平衡二叉查找树，它的每个节点都有一个颜色属性，可以是红色或黑色。红黑树的特性如下：
- 每个节点要么是红色，要么是黑色。
- 根节点是黑色。
- 所有的叶子节点（NIL节点）都是黑色。（注意NIL实际上空节点，只不过我们将所有空节点看作黑色节点而已）
- 如果一个节点是红色，那么它的两个子节点都是黑色。（意味着黑色可以有黑色的节点也可以有红色的节点，但是红色只能有黑色的节点）
- 对于每个节点，从该节点到其所有后代叶节点的简单路径上，均包含相同数目的黑色节点。
这些特性保证了红黑树的搜索效率。在最坏的情况下，搜索一棵高度为h的红黑树的时间复杂度是O(h)，与AVL树相当。此外，由于红黑树的插入和删除操作不需要像AVL树那样频繁地旋转，因此红黑树在实际应用中比AVL树更加稳定和高效。在实际应用中，红黑树常用于实现关联数组（哈希表）的数据结构，以及数据库索引等场合。
红黑树与二叉搜索树的异同
红黑树和二叉搜索树的主要区别在于它们如何处理数据冲突。
二叉搜索树（BST）是一种特殊的二叉树，其中每个节点都存储一个键值，并且满足左子树中的所有键值小于根节点的键值，右子树中的所有键值大于根节点的键值。这使得搜索、插入和删除操作可以在平均情况下以O(log n)的时间复杂度完成。
红黑树也是一种二叉搜索树，但它通过限制每个节点的颜色和位置关系来保持树的平衡，从而确保搜索、插入和删除操作的时间复杂度始终为O(log n)。与BST不同的是，红黑树还具有以下特点：
* 每个节点要么是红色，要么是黑色。
* 根节点是黑色。
* 所有的叶子节点（NIL节点，空节点）都是黑色。
* 如果一个节点是红色，那么它的两个子节点都是黑色。
* 对于每个节点，从该节点到其所有后代叶节点的简单路径上，均包含相同数目的黑色节点。
这些特性使得红黑树在实际应用中更加强大和灵活。例如，红黑树可以通过左右旋转变换快速调整树的形状，从而应对动态数据集的变化。此外，红黑树还可以应用于许多不同的场景，如数据库索引、排序算法、集合类数据结构等等。
二、红黑树的实现
节点的定义
使用枚举来定义结点的颜色，提高代码的可读性。定义三叉链，方便后续的旋转等等操作，定义KV结构的红黑树，定义一个枚举变量用于储存颜色。通过构造函数初始化节点。
enum Color { RED, BLACK }; template<class K, class V> struct RBTreeNode { RBTreeNode<K, V>* _left; RBTreeNode<K, V>* _right; RBTreeNode<K, V>* _parent; pair<K, V> _kv; Color _col; RBTreeNode(const pair<K, V>& kv) :_left(nullptr) , _right(nullptr) , _parent(nullptr) , _kv(kv) , _col(RED) {} };
AVL树的初始化定义
template<class K, class V> struct RBTree { typedef RBTreeNode<K, V> Node; public: bool Insert(const pair<K, V>& kv)//插入操作 bool IsBalance();//判断是否符合红黑树 int Height();//求高度 private: Node* _root = nullptr;//给缺省初始化 };
红黑树的插入（重点及难点！！！）
插入大致步骤
下面是红黑树插入的大致步骤：
1. 向红黑树中插入新的节点。
2. 确保新节点的颜色为红色。
3. 确保新插入的节点不会破坏红黑树的性质。如果新节点违反了某些性质，则需要对红黑树进行旋转操作或更改节点的颜色。
4. 返回到插入节点的父节点，继续执行第3步，直到所有违反性质的节点都被修复为止。
具体来说，当我们向红黑树中插入新的节点时，我们需要遵循以下规则：
- 每个节点都是红色或黑色。
- 根节点是黑色。
- 所有叶子节点（NIL节点，空节点）都是黑色。
- 如果一个节点是红色，则它的两个子节点都是黑色。
- 对于每个节点，从该节点到其所有后代叶子节点的简单路径上，均包含相同数目的黑色节点。
如果我们违反了这些规则中的任何一个，我们就可以通过旋转操作或更改节点的颜色来修复这个问题。例如，如果我们发现某个节点有两个子节点都是红色的，那么我们就需要将这个节点以及其两个子节点的颜色全部改为黑色，然后再将该节点的父节点变为红色。这样就可以确保新插入的节点不会破坏红黑树的性质。
插入的总体逻辑
- 按二叉搜索树的插入方法，找到待插入位置。
- 将待插入结点插入到树中。（新插入的节点默认为红）
- 若插入结点的父结点是红色的，则需要对红黑树进行调整。
- 按情况进行调整：情况一: cur为红，p为红，g为黑，u存在且为红。->将p,u改为黑，g改为红，然后把g当成cur，继续向上调整。情况二: cur为红，p为红，g为黑，u不存在/u存在且为黑->p为g的左孩子，cur为p的左孩子，则进行右单旋转；相反， p为g的右孩子，cur为p的右孩子，则进行左单旋转p、g变色--p变黑，g变红。情况三: cur为红，p为红，g为黑，u不存在/u存在且为黑->p为g的左孩子，cur为p的右孩子，则针对p做左单旋转，再对g做右单旋；相反， p为g的右孩子，cur为p的左孩子，则针对p做右单旋转，再对g做左单旋。
按照二叉搜索树的方法插入节点
按照搜索二叉树，大往右，小往左的思想，找到对应的节点，插入节点并且链接。大致步骤都是同二叉搜索树是相同的，只不过需要注意的是新插入的节点默认都是红色的。当父节点为黑色时，直接插入即可。
bool Insert(const pair<K, V>& kv) { if (_root == nullptr)//如果根节点为空则直接开辟一个节点作为根节点并且返回true { _root = new Node(kv); _root->_col = BLACK; return true; } Node* parent = nullptr;//后续遍历找位置以及旋转等 Node* cur = _root;//遍历用 while (cur) // 开始遍历到指定位置->其实就是到cur为空节点的地方 { if (cur->_kv.first < kv.first)//要插入节点大于则往右遍历 { parent = cur; cur = cur->_right; } else if (cur->_kv.first > kv.first)//要插入节点小于于则往左遍历 { parent = cur; cur = cur->_left; } else { return false; } } //默认新增节点给红色，防止给黑破坏平衡 cur = new Node(kv); cur->_col = RED; if (parent->_kv.first < kv.first)//同父节点比大小 { parent->_right = cur;//链接新节点 } else { parent->_left = cur;//链接新节点 } cur->_parent = parent;//新节点链接父节点 //后续根据红黑树特性开始调整 ... //调整完毕 } _root->_col = BLACK;//将根处理成黑。因为插入向上处理会改变，但是当最后为根时改变后就不能进入循环，因此需要最后处理为黑 return true; }
父节点为红色， 需要进行相应的调整
重点在于看舅舅节点，看舅舅节点的存在与否，存在的话是红色？还是黑色？ 根据舅舅节点来确定相应的调整操作。然后再看新插入节点cur处于parent的位置，在左？还是在右？进行相应的调整策略。
情况一: cur为红，p为红，g为黑，u存在且为红
当cur为红，p为红，g为黑，u存在且为红时，将p,u改为黑，g改为红，然后把g当成cur，继续向上调整。
当cur为红，p为红，g为黑，u不存在/u存在且为黑，u不存在，如果p为g的左，cur为p的左，如上图一所示，则只需对g进行右单旋，如果p为g的右，cur为p的右，则只需对g进行左单旋，然后p、g变色--p变黑，g变红。
当u存在且为黑，即如上图二第2步所示。由图二1、2步我们可以知道cur是由于新增节点而变化而来的，我们也可以根据红黑树的定义可知，c、d、e分别为对应箭头的颜色。由此，我们需要进行对应的旋转以及变色操作，对于以上u存在且为黑，如果p为g的左，cur为p的左，则如图二第3步所示，对p进行右单旋，如果p为g的右，cur为p的右，则只需对g进行左单旋，然后p、g变色--p变黑，g变红。
当cur为红，p为红，g为黑，u不存在/u存在且为黑，但是此时,如果p为g的左，cur为p的右，则如图所示需先对p进行左单旋，再对g进行右单旋。如果p为g的右，cur为p的左，则需对p进行右单旋，再对g进行左单旋。然后c、g变色--c变黑，g变红。
插入实现
bool Insert(const pair<K, V>& kv) { if (_root == nullptr)//如果根节点为空则直接开辟一个节点作为根节点并且返回true { _root = new Node(kv); _root->_col = BLACK; return true; } Node* parent = nullptr;//后续遍历找位置以及旋转等 Node* cur = _root;//遍历用 while (cur) // 开始遍历到指定位置->其实就是到cur为空节点的地方 { if (cur->_kv.first < kv.first)//要插入节点大于则往右遍历 { parent = cur; cur = cur->_right; } else if (cur->_kv.first > kv.first)//要插入节点小于于则往左遍历 { parent = cur; cur = cur->_left; } else { return false; } } //默认新增节点给红色，防止给黑破坏平衡 cur = new Node(kv); cur->_col = RED; if (parent->_kv.first < kv.first)//同父节点比大小 { parent->_right = cur;//链接新节点 } else { parent->_left = cur;//链接新节点 } cur->_parent = parent;//新节点链接父节点 //根据红黑树特性开始调整 while (parent && parent->_col == RED)//由于子节点和父节点都是红色，则需要调整 { Node* grandfather = parent->_parent;//储存爷爷节点，用于找舅舅节点以及变色甚至旋转 if (parent == grandfather->_left) { // g // p u // c Node* uncle = grandfather->_right;//如果父亲节点在爷爷的左则舅舅在右 if (uncle && uncle->_col == RED)//情况一：“变色处理” 舅舅节点存在且为红色，则我们需要将父亲以及舅舅变黑，爷爷变红 { // 变色 parent->_col = uncle->_col = BLACK; grandfather->_col = RED; // 继续向上处理 cur = grandfather; parent = cur->_parent; } else //情况二：“需要旋转（单旋？or双旋？）+变色处理” 即舅舅节点存在时为黑或者舅舅节点不存在，则我们需要进行相应的旋转 { if (cur == parent->_left) { // 单旋 // g p // p -> c g // c RotateR(grandfather); parent->_col = BLACK; grandfather->_col = RED; } else { // 双旋 // g g p // p -> c -> c g // c p RotateL(parent); RotateR(grandfather); cur->_col = BLACK; grandfather->_col = RED; } break; } } else // parent == grandfather->_right { // g // u p // c // Node* uncle = grandfather->_left;//情况一，但是uncle在左 // u存在且为红 if (uncle && uncle->_col == RED) { // 变色 parent->_col = uncle->_col = BLACK; grandfather->_col = RED; // 继续向上处理 cur = grandfather; parent = cur->_parent; } else//情况二：“需要旋转（单旋？or双旋？）+变色处理” { if (cur == parent->_right) { // 单旋 // g p // p -> g c // c RotateL(grandfather); grandfather->_col = RED; parent->_col = BLACK; } else { // g g c // u p -> u c -> g p // c p u // RotateR(parent); RotateL(grandfather); cur->_col = BLACK; grandfather->_col = RED; } break; } } } _root->_col = BLACK;//将根处理成黑。因为插入向上处理会改变，但是当最后为根时改变后就不能进入循环，因此需要最后处理为黑 return true; } void RotateL(Node* parent) { ++_rotateCount; Node* cur = parent->_right; Node* curleft = cur->_left; parent->_right = curleft; if (curleft) { curleft->_parent = parent; } cur->_left = parent; Node* ppnode = parent->_parent; parent->_parent = cur; if (parent == _root) { _root = cur; cur->_parent = nullptr; } else { if (ppnode->_left == parent) { ppnode->_left = cur; } else { ppnode->_right = cur; } cur->_parent = ppnode; } } void RotateR(Node* parent) { ++_rotateCount; Node* cur = parent->_left; Node* curright = cur->_right; parent->_left = curright; if (curright) curright->_parent = parent; Node* ppnode = parent->_parent; cur->_right = parent; parent->_parent = cur; if (ppnode == nullptr) { _root = cur; cur->_parent = nullptr; } else { if (ppnode->_left == parent) { ppnode->_left = cur; } else { ppnode->_right = cur; } cur->_parent = ppnode; } }
根据构建红黑树的规则验证红黑树
1. 每个结点不是红色就是黑色 2. 根节点是黑色的 3. 如果一个节点是红色的，则它的两个孩子结点是黑色的 4. 对于每个结点，从该结点到其所有后代叶结点的简单路径上，均 包含相同数目的黑色结点 5. 每个叶子结点都是黑色的(此处的叶子结点指的是空结点)
bool IsBalance() { return _IsBalance(_root); } // 根节点->当前节点这条路径的黑色节点的数量 bool CheckColour(Node* root, int blacknum, int benchmark) { if (root == nullptr) { if (blacknum != benchmark) return false; return true; } if (root->_col == BLACK)//统计黑色用于判断每条路径黑色都相同 { ++blacknum; } if (root->_col == RED && root->_parent && root->_parent->_col == RED) { //当前节点与父节点连续红色 cout << root->_kv.first << "出现连续红色节点" << endl; return false; } return CheckColour(root->_left, blacknum, benchmark) && CheckColour(root->_right, blacknum, benchmark);//递归遍历每条路径 } bool _IsBalance(Node* root) { //根据构建红黑树的规则进行判断 if (root == nullptr) return true; if (root->_col != BLACK)//根不能为红 { return false; } // //参考值,统计一条路径的黑色节点数 int benchmark = 0; Node* cur = _root; while (cur) { if (cur->_col == BLACK) ++benchmark; cur = cur->_left; } //通过检查每条路径的黑色节点数判断是否平衡 return CheckColour(root, 0, benchmark); }
求红黑树高度以及遍历红黑树
基本上就是同AVL树以及搜索二叉树相同的道理。
int Height() { return _Height(_root); } //中序遍历 void Inorder() { _Inorder(_root); } int _Height(Node* root) { if (root == nullptr) return 0; int leftHeight = _Height(root->_left); int rightHeight = _Height(root->_right); return leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1; } //中序遍历子函数 void _Inorder(Node* root) { if (root == nullptr) return; _Inorder(root->_left); cout << root->_kv.first << " "; _Inorder(root->_right); }
三、总体代码
#pragma once #include<iostream> using namespace std; enum Color { RED, BLACK }; template<class K, class V> struct RBTreeNode { RBTreeNode<K, V>* _left; RBTreeNode<K, V>* _right; RBTreeNode<K, V>* _parent; pair<K, V> _kv; Color _col; RBTreeNode(const pair<K, V>& kv) :_left(nullptr) , _right(nullptr) , _parent(nullptr) , _kv(kv) , _col(RED) {} }; template<class K, class V> struct RBTree { typedef RBTreeNode<K, V> Node; public: bool Insert(const pair<K, V>& kv) { if (_root == nullptr)//如果根节点为空则直接开辟一个节点作为根节点并且返回true { _root = new Node(kv); _root->_col = BLACK; return true; } Node* parent = nullptr;//后续遍历找位置以及旋转等 Node* cur = _root;//遍历用 while (cur) // 开始遍历到指定位置->其实就是到cur为空节点的地方 { if (cur->_kv.first < kv.first)//要插入节点大于则往右遍历 { parent = cur; cur = cur->_right; } else if (cur->_kv.first > kv.first)//要插入节点小于于则往左遍历 { parent = cur; cur = cur->_left; } else { return false; } } //默认新增节点给红色，防止给黑破坏平衡 cur = new Node(kv); cur->_col = RED; if (parent->_kv.first < kv.first)//同父节点比大小 { parent->_right = cur;//链接新节点 } else { parent->_left = cur;//链接新节点 } cur->_parent = parent;//新节点链接父节点 //根据红黑树特性开始调整 while (parent && parent->_col == RED)//由于子节点和父节点都是红色，则需要调整 { Node* grandfather = parent->_parent;//储存爷爷节点，用于找舅舅节点以及变色甚至旋转 if (parent == grandfather->_left) { // g // p u // c Node* uncle = grandfather->_right;//如果父亲节点在爷爷的左则舅舅在右 if (uncle && uncle->_col == RED)//情况一：“变色处理” 舅舅节点存在且为红色，则我们需要将父亲以及舅舅变黑，爷爷变红 { // 变色 parent->_col = uncle->_col = BLACK; grandfather->_col = RED; // 继续向上处理 cur = grandfather; parent = cur->_parent; } else //情况二：“需要旋转（单旋？or双旋？）+变色处理” 即舅舅节点存在时为黑或者舅舅节点不存在，则我们需要进行相应的旋转 { if (cur == parent->_left) { // 单旋 // g p // p -> c g // c RotateR(grandfather); parent->_col = BLACK; grandfather->_col = RED; } else { // 双旋 // g g p // p -> c -> c g // c p RotateL(parent); RotateR(grandfather); cur->_col = BLACK; grandfather->_col = RED; } break; } } else // parent == grandfather->_right { // g // u p // c // Node* uncle = grandfather->_left;//情况一，但是uncle在左 // u存在且为红 if (uncle && uncle->_col == RED) { // 变色 parent->_col = uncle->_col = BLACK; grandfather->_col = RED; // 继续向上处理 cur = grandfather; parent = cur->_parent; } else//情况二：“需要旋转（单旋？or双旋？）+变色处理” { if (cur == parent->_right) { // 单旋 // g p // p -> g c // c RotateL(grandfather); grandfather->_col = RED; parent->_col = BLACK; } else { // g g c // u p -> u c -> g p // c p u // RotateR(parent); RotateL(grandfather); cur->_col = BLACK; grandfather->_col = RED; } break; } } } _root->_col = BLACK;//将根处理成黑。因为插入向上处理会改变，但是当最后为根时改变后就不能进入循环，因此需要最后处理为黑 return true; } void RotateL(Node* parent) { ++_rotateCount; Node* cur = parent->_right; Node* curleft = cur->_left; parent->_right = curleft; if (curleft) { curleft->_parent = parent; } cur->_left = parent; Node* ppnode = parent->_parent; parent->_parent = cur; if (parent == _root) { _root = cur; cur->_parent = nullptr; } else { if (ppnode->_left == parent) { ppnode->_left = cur; } else { ppnode->_right = cur; } cur->_parent = ppnode; } } void RotateR(Node* parent) { ++_rotateCount; Node* cur = parent->_left; Node* curright = cur->_right; parent->_left = curright; if (curright) curright->_parent = parent; Node* ppnode = parent->_parent; cur->_right = parent; parent->_parent = cur; if (ppnode == nullptr) { _root = cur; cur->_parent = nullptr; } else { if (ppnode->_left == parent) { ppnode->_left = cur; } else { ppnode->_right = cur; } cur->_parent = ppnode; } } bool IsBalance() { return _IsBalance(_root); } int Height() { return _Height(_root); } //中序遍历 void Inorder() { _Inorder(_root); } private: // 根节点->当前节点这条路径的黑色节点的数量 bool CheckColour(Node* root, int blacknum, int benchmark) { if (root == nullptr) { if (blacknum != benchmark) return false; return true; } if (root->_col == BLACK)//统计黑色用于判断每条路径黑色都相同 { ++blacknum; } if (root->_col == RED && root->_parent && root->_parent->_col == RED) { //当前节点与父节点连续红色 cout << root->_kv.first << "出现连续红色节点" << endl; return false; } return CheckColour(root->_left, blacknum, benchmark) && CheckColour(root->_right, blacknum, benchmark);//递归遍历每条路径 } bool _IsBalance(Node* root) { //根据构建红黑树的规则进行判断 if (root == nullptr) return true; if (root->_col != BLACK)//根不能为红 { return false; } // //参考值,统计一条路径的黑色节点数 int benchmark = 0; Node* cur = _root; while (cur) { if (cur->_col == BLACK) ++benchmark; cur = cur->_left; } //通过检查每条路径的黑色节点数判断是否平衡 return CheckColour(root, 0, benchmark); } int _Height(Node* root) { if (root == nullptr) return 0; int leftHeight = _Height(root->_left); int rightHeight = _Height(root->_right); return leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1; } //中序遍历子函数 void _Inorder(Node* root) { if (root == nullptr) return; _Inorder(root->_left); cout << root->_kv.first << " "; _Inorder(root->_right); } private: Node* _root = nullptr; public: int _rotateCount = 0; };
感谢你耐心的看到这里ღ( ´･ᴗ･` )比心，如有哪里有错误请踢一脚作者o(╥﹏╥)o！
