快速幂
题目
快速幂
典型题例：
给定 n 组ai，bi，pi，对于每组数据，求出aibmodpi的值。
示例 ：
2 3 2 5 4 3 9
思路
代码：
/* 核心思路：反复平方法 */ #include <iostream> #include <algorithm> using namespace std; typedef long long LL; // a^b % p int qmi(int a, int b, int p) { int res = 1; while (b) { if (b & 1) res = (LL) res * a % p; b >>= 1; a = (LL) a * a % p; } return res; } int main() { int n; scanf("%d", &n); while (n --) { int a, b, p; scanf("%d%d%d", &a, &b, &p); printf("%d\n", qmi(a, b, p)); } return 0; }
快速幂求逆元
典型题例：
给定n组ai，pi，其中pi是质数，求ai模pi的乘法逆元，逆元不存在则输出 impossible。
逆元定义：若整数 b，m 互质，并且对于任意的整数 a，如果满足 b|a，则存在一个整数 x，使得 a/b≡a×x(modm)， 则称 x 为 b 的模 m 乘法逆元，记为 b−1(modm)。b 存在乘法逆元的充要条件是 b 与模数 m 互质。 当模数 m 为质数时，bm−2 即为 b 的乘法逆元。 前提n为质数 a / b ≡ a * x (mod n) 两边同乘b可得 a ≡ a * b * x (mod n) 即 1 ≡ b * x (mod n) 同 b * x ≡ 1 (mod n) 由费马小定理可知，当n为质数时 b ^ (n - 1) ≡ 1 (mod n) 拆一个b出来可得 b * b ^ (n - 2) ≡ 1 (mod n) 故当n为质数时，b的乘法逆元 x = b ^ (n - 2)
示例 ：
第一行包含整数 n。 接下来 n 行，每行包含一个数组 ai,pi，数据保证 pi 是质数。 输出共 n 行，每组数据输出一个结果，每个结果占一行。 若 ai 模 pi 的乘法逆元存在，则输出一个整数，表示逆元，否则输出 impossible。 3 4 3 8 5 6 3
思路
核心：
当n为质数时，可以用快速幂求逆元：
a / b ≡ a * x (mod n)
两边同乘b可得 a ≡ a * b * x (mod n)
即 1 ≡ b * x (mod n)
同 b * x ≡ 1 (mod n)
由费马小定理可知，当n为质数时
b ^ (n - 1) ≡ 1 (mod n)
拆一个b出来可得 b * b ^ (n - 2) ≡ 1 (mod n)
故当n为质数时，b的乘法逆元 x = b ^ (n - 2)
当n不是质数时，可以用扩展欧几里得算法求逆元：
a有逆元的充要条件是a与p互质，所以gcd(a, p) = 1
假设a的逆元为x，那么有a * x ≡ 1 (mod p)
等价：ax + py = 1
exgcd(a, p, x, y)
代码：
#include <iostream> #include <algorithm> using namespace std; typedef long long LL; int n; int qmi(int a, int b, int p) { int res = 1; while (b) { if (b & 1) res = (LL)res * a % p; b >>= 1; a = (LL) a * a % p; } return res; } int main() { cin >> n; while (n --) { int a, p; scanf("%d%d", &a, &p); int ans = qmi(a, p - 2, p); if (a % p == 0) puts("impossible"); else printf("%d\n", ans); } return 0; }
充电站
推荐一个零声学院免费公开课程，个人觉得老师讲得不错，分享给大家：Linux，Nginx，ZeroMQ，MySQL，Redis，fastdfs，MongoDB，ZK，流媒体，CDN，P2P，K8S，Docker，TCP/IP，协程，DPDK等技术内容，立即学习
