本文涉及的基础知识点
C++算法：前缀和、前缀乘积、前缀异或的原理、源码及测试用例 包括课程视频
题目
向下取整数对和
给你一个整数数组 nums ，请你返回所有下标对 0 <= i, j < nums.length 的 floor(nums[i] / nums[j]) 结果之和。由于答案可能会很大，请你返回答案对109 + 7 取余 的结果。
函数 floor() 返回输入数字的整数部分。
示例
示例 1：
输入：nums = [2,5,9]
输出：10
解释：
floor(2 / 5) = floor(2 / 9) = floor(5 / 9) = 0
floor(2 / 2) = floor(5 / 5) = floor(9 / 9) = 1
floor(5 / 2) = 2
floor(9 / 2) = 4
floor(9 / 5) = 1
我们计算每一个数对商向下取整的结果并求和得到 10 。
示例 2：
输入：nums = [7,7,7,7,7,7,7]
输出：49
#参数范围
1 <= nums.length <= 10^5
1 <= nums[i] <= 10^5
分析
原理
枚举除数和商，然后根据前缀和在O(1)内计算出所有被除数的个数。
时间复杂度
当除数为1，枚举商的复杂度是O(n);当除数为2时，枚举商的复杂度是O(n/2);… 故总复杂度是：n+n/2+n/3…1，越sqrt(n)。故总时间复杂度是O(nsqrt(n))。
细节
为什么要用vNum[i]记录数字i出现的次数。如果不记录，当num是1个10^5和9999个1时，时间复杂度会是O(n*n)。
核心代码
template class C1097Int { public: C1097Int(long long llData = 0) :m_iData(llData% MOD) {
} C1097Int operator+(const C1097Int& o)const { return C1097Int(((long long)m_iData + o.m_iData) % MOD); } C1097Int& operator+=(const C1097Int& o) { m_iData = ((long long)m_iData + o.m_iData) % MOD; return *this; } C1097Int& operator-=(const C1097Int& o) { m_iData = (m_iData + MOD - o.m_iData) % MOD; return *this; } C1097Int operator-(const C1097Int& o) { return C1097Int((m_iData + MOD - o.m_iData) % MOD); } C1097Int operator*(const C1097Int& o)const { return((long long)m_iData * o.m_iData) % MOD; } C1097Int& operator*=(const C1097Int& o) { m_iData = ((long long)m_iData * o.m_iData) % MOD; return *this; } bool operator<(const C1097Int& o)const { return m_iData < o.m_iData; } C1097Int pow(long long n)const { C1097Int iRet = 1, iCur = *this; while (n) { if (n & 1) { iRet *= iCur; } iCur *= iCur; n >>= 1; } return iRet; } C1097Int PowNegative1()const { return pow(MOD - 2); } int ToInt()const { return m_iData; }
private: int m_iData = 0;; }; template int operator+(int iData, const C1097Int& int1097) { int iRet = int1097.operator+(C1097Int(iData)).ToInt(); return iRet; } template int& operator+=(int& iData, const C1097Int& int1097) { iData = int1097.operator+(C1097Int(iData)).ToInt(); return iData; } template int operator*(int iData, const C1097Int& int1097) { int iRet = int1097.operator*(C1097Int<>(iData)).ToInt(); return iRet; } template int& operator*=(int& iData, const C1097Int& int1097) { iData = int1097.operator*(C1097Int<>(iData)).ToInt(); return iData; } class Solution { public: int sumOfFlooredPairs(vector& nums) { int iMax = std::max_element(nums.begin(), nums.end()); vector vNum(iMax + 1);//vNum[i]记录 ，数字i出现的次数 for (const auto& n : nums) { vNum[n]++; } vector vSum = { 0 };//vSum[i]表示[0,i)出现的次数 for (const auto& n : vNum) { vSum.emplace_back(n + vSum.back()); } C1097Int<> biRet; for (int n =1; n <= iMax ; n++ ) {//枚举除数 if (vNum[n] <= 0) { continue;//方便调试 } for (int d = 1; d * n <= iMax; d++) {//枚举商 //[dn,d*n+n)除以n的结果是d const int tmp = min(d * n + n, (int)vSum.size()-1); long long cur = ((long long)vSum[tmp] - vSum[d * n]) * vNum[n]*d; biRet += C1097Int<>(cur); } } return biRet.ToInt(); } };
测试用例
template void Assert(const vector& v1, const vector& v2) { if (v1.size() != v2.size()) { assert(false); return; } for (int i = 0; i < v1.size(); i++) { assert(v1[i] == v2[i]); } } template void Assert(const T& t1, const T& t2) { assert(t1 == t2); } int main() { vector nums = { 2,5,9 }; Solution slu; auto res =slu.sumOfFlooredPairs(nums); Assert(10, res);
//CConsole::Out(res);
}
扩展阅读
视频课程
有效学习：明确的目标 及时的反馈 拉伸区（难度合适），可以先学简单的课程，请移步CSDN学院，听白银讲师（也就是鄙人）的讲解。
https://edu.csdn.net/course/detail/38771
如何你想快
速形成战斗了，为老板分忧，请学习C#入职培训、C++入职培训等课程
https://edu.csdn.net/lecturer/6176
相关下载
想高屋建瓴的学习算法，请下载《闻缺陷则喜算法册》doc版
https://download.csdn.net/download/he_zhidan/88348653
| 鄙人想对大家说的话 |
| 闻缺陷则喜是一个美好的愿望，早发现问题，早修改问题，给老板节约钱。 |
| 墨家名称的来源：有所得以墨记之。 |
| 如果程序是一条龙，那算法就是他的是睛 |
测试环境
操作系统：win7 开发环境： VS2019 C++17
或者 操作系统：win10 开发环境：
VS2022 C++17
