在上篇博客 从0到1打造正则表达式执行引擎(一)中我们已经构建了一个可用的正则表达式引擎，相关源码见 https://github.com/xindoo/regex，但上文中只是用到了NFA，NFA的引擎建图时间复杂度是O(n)，但匹配一个长度为m的字符串时因为涉及到大量的递归和回溯，最坏时间复杂度是O(mn)。与之对比DFA引擎的建图时间复杂度O(n^2)，但匹配时没有回溯，所以匹配复杂度只有O(m)，性能差距还是挺大的。
DFA和NFA
我们已经多次提到了NFA和DFA，它俩究竟是啥？有啥区别？
首先，NFA和DFA都是有限状态机，都是有向图，用来描述状态和状态之间的关系。其中NFA全称是非确定性有限状态自动机(Nondeterministic finite automaton)，DFA全称是确定性有限状态自动机(Deterministic finite automaton)。
二者的差异主要在于确定性和非确定性，何为确定性？ 确定性是指面对同一输入，不会出现有多条可行的路径执行下一个节点。有点绕，看完图你就理解了。
图示分别是一个NFA和DFA，上图之所以是NFA是因为它有节点具备不确定性，比如0节点，在输入"a"之后它分别可以到0 1 2 节点。还有，上图有ϵ \epsilonϵ边，它可以在没有输入的情况下跳到下一个节点，这也带来了不确定性。相反，下图DFA中，每个节点对某一特定的输入都只有最多一条边。
总结下NFA和DFA的区别就是，有ε边或者某个节点对同一输入对应多个状态的一定是NFA。
DFA和NFA存在等价性，也就是说任何NFA都可以转化为等价的DFA。由于NFA的非确定性，在面对一个输入的时候可能有多条可选的路径，所以在一条路径走不通的情况下，需要回溯到选择点去走另外一条路径。但DFA不同，在每个状态下，对每个输入不会存在多条路径，就不需要递归和回溯了，可以一条路走到黑。DFA的匹复杂度只有O(n)，但因为要递归和回溯NFA的匹配复杂度达到了O(n^2)。 这也是为什么我们要将引擎中的NFA转化为DFA的主要原因。
NFA转DFA
算法
NFA转DFA的算法叫做子集构造法，其具体流程如下。
步骤1: NFA的初始节点和初始节点所有ε可达的节点共同构成DFA的初始节点，然后对初始DFA节点执行步骤2。
步骤2: 对当前DFA节点，找到其中所有NFA节点对输入符号X所有可达的NFA节点，这些节点沟通构成的DFA节点作为当前DFA节点对输入X可达的DFA节点。
步骤3: 如果步骤2中找到了新节点，就对新节点重复执行步骤2。
步骤4: 重复步骤2和步骤3直到找不DFA新节点为止。
步骤5: 把所有包含NFA终止节点的DFA节点标记为DFA的终止节点。
语言描述比较难理解，我们直接上例子。 我们已经拿上一篇网站中的正则表达式 a(b|c)* 为例，我在源码https://github.com/xindoo/regex中加入了NFA输出的代码， a(b|c)* 的NFA输出如下。
from to input 0-> 1 a 1-> 8 Epsilon 8-> 9 Epsilon 8-> 6 Epsilon 6-> 2 Epsilon 6-> 4 Epsilon 2-> 3 b 4-> 5 c 3-> 7 Epsilon 5-> 7 Epsilon 7-> 9 Epsilon 7-> 6 Epsilon
绘图如下：
我们在上图的基础上执行步骤1 得到了节点0作为DFA的开始节点。
然后对DFA的节点0执行步骤1，找到NFA中所有a可达的NFA节点(1#2#4#6#8#9)构成NFA中的节点1，如下图。
我以dfa1为出发点，发现了a可达的所有NFA节点(2#3#4#6#7#9)和b可达的所有节点(2#4#5#6#7#9)，分别构成了DFA中的dfa2和dfa3，如下图。
然后我们分别在dfa2 dfa3上执行步骤三，找不到新节点，但会找到几条新的边，补充如下，至此我们就完成了对 a(b|c)* 对应NFA到DFA的转化。
可以看出DFA图节点明显少于NFA，但NFA更容易看出其对应的正则表达式。之前我还写过DFA生成正则表达式的代码，详见文章https://blog.csdn.net/xindoo/article/details/102643270
代码实现
代码其实就是对上文流程的表述，更多细节见https://github.com/xindoo/regex。
/** * 使用子集构造法把nfa转成dfa,具体可以参考博客 https://blog.csdn.net/xindoo/article/details/106458165 */ private static DFAGraph convertNfa2Dfa(NFAGraph nfaGraph) { DFAGraph dfaGraph = new DFAGraph(); Set<State> startStates = new HashSet<>(); // 用NFA图的起始节点构造DFA的起始节点 startStates.addAll(getNextEStates(nfaGraph.start, new HashSet<>())); if (startStates.size() == 0) { startStates.add(nfaGraph.start); } dfaGraph.start = dfaGraph.getOrBuild(startStates); Queue<DFAState> queue = new LinkedList<>(); Set<DFAState> finishedStates = new HashSet<>(); // 如果BFS的方式从已找到的起始节点遍历并构建DFA queue.add(dfaGraph.start); while (!queue.isEmpty()) { // 对当前节点已添加的边做去重,不放到queue和next里. Set<DFAState> addedNextStates = new HashSet<>(); DFAState curState = queue.poll(); for (State nfaState : curState.nfaStates) { Set<State> nextStates = new HashSet<>(); Set<String> finishedEdges = new HashSet<>(); finishedEdges.add(Constant.EPSILON); for (String edge : nfaState.next.keySet()) { if (finishedEdges.contains(edge)) { continue; } finishedEdges.add(edge); Set<State> efinishedState = new HashSet<>(); for (State state : curState.nfaStates) { Set<State> edgeStates = state.next.getOrDefault(edge, Collections.emptySet()); nextStates.addAll(edgeStates); for (State eState : edgeStates) { // 添加E可达节点 if (efinishedState.contains(eState)) { continue; } nextStates.addAll(getNextEStates(eState, efinishedState)); efinishedState.add(eState); } } // 将NFA节点列表转化为DFA节点，如果已经有对应的DFA节点就返回，否则创建一个新的DFA节点 DFAState nextDFAstate = dfaGraph.getOrBuild(nextStates); if (!finishedStates.contains(nextDFAstate) && !addedNextStates.contains(nextDFAstate)) { queue.add(nextDFAstate); addedNextStates.add(nextDFAstate); // 对queue里的数据做去重 curState.addNext(edge, nextDFAstate); } } } finishedStates.add(curState); } return dfaGraph; }
DFA引擎匹配过程
dfa引擎的匹配也可以完全复用NFA的匹配过程，所以对之前NFA的匹配代码，可以针对DFA模式取消回溯即可(不取消也没问题，但会有性能影响)。
private boolean isMatch(String text, int pos, State curState) { if (pos == text.length()) { if (curState.isEndState()) { return true; } for (State nextState : curState.next.getOrDefault(Constant.EPSILON, Collections.emptySet())) { if (isMatch(text, pos, nextState)) { return true; } } return false; } for (Map.Entry<String, Set<State>> entry : curState.next.entrySet()) { String edge = entry.getKey(); // 如果是DFA模式,不会有EPSILON边 if (Constant.EPSILON.equals(edge)) { for (State nextState : entry.getValue()) { if (isMatch(text, pos, nextState)) { return true; } } } else { MatchStrategy matchStrategy = MatchStrategyManager.getStrategy(edge); if (!matchStrategy.isMatch(text.charAt(pos), edge)) { continue; } // 遍历匹配策略 for (State nextState : entry.getValue()) { // 如果是DFA匹配模式,entry.getValue()虽然是set,但里面只会有一个元素,所以不需要回溯 if (nextState instanceof DFAState) { return isMatch(text, pos + 1, nextState); } if (isMatch(text, pos + 1, nextState)) { return true; } } } } return false; }
因为DFA的匹配不需要回溯，所以可以完全改成非递归代码。
private boolean isDfaMatch(String text, int pos, State startState) { State curState = startState; while (pos < text.length()) { boolean canContinue = false; for (Map.Entry<String, Set<State>> entry : curState.next.entrySet()) { String edge = entry.getKey(); MatchStrategy matchStrategy = MatchStrategyManager.getStrategy(edge); if (matchStrategy.isMatch(text.charAt(pos), edge)) { curState = entry.getValue().stream().findFirst().orElse(null); pos++; canContinue = true; break; } } if (!canContinue) { return false; } } return curState.isEndState(); }
DFA和NFA引擎性能对比
我用jmh简单做了一个非严格的性能测试，随手做的 看看就好，结果如下:
Benchmark Mode Cnt Score Error Units RegexTest.dfaNonRecursion thrpt 2 144462.917 ops/s RegexTest.dfaRecursion thrpt 2 169022.239 ops/s RegexTest.nfa thrpt 2 55320.181 ops/s
DFA的匹配性能远高于NFA，不过这里居然递归版还比非递归版快，有点出乎意料， 详细测试代码已传至Github https://github.com/xindoo/regex，欢迎查阅。
参考资料
nfa转dfa
