十三、图

13.1 、图基本介绍

13.1.1 、为什么要有图

1) 前面我们学了线性表和树

2) 线性表局限于一个直接前驱和一个直接后继的关系

3) 树也只能有一个直接前驱也就是父节点

4) 当我们需要表示多对多的关系时， 这里我们就用到了图。

13.1.2、 图的举例说明

图是一种数据结构，其中结点可以具有零个或多个相邻元素。两个结点之间的连接称为边。结点也可以称为顶点。如图：

13.1.3 、图的常用概念

1) 顶点(vertex)

2) 边(edge)

3) 路径

4) 无向图(右图）

5) 有向图

6) 带权图

13.2 、图的表示方式

图的表示方式有两种：

• 二维数组表示（邻接矩阵）；链表表示（邻接表）

13.2.1 、邻接矩阵

邻接矩阵是表示图形中顶点之间相邻关系的矩阵，对于 n 个顶点的图而言，矩阵是的row 和col 表示的是1....n个点

13.2.2 、邻接表

1) 邻接矩阵需要为每个顶点都分配 n 个边的空间，其实有很多边都是不存在,会造成空间的一定损失.

2) 邻接表的实现只关心存在的边，不关心不存在的边。因此没有空间浪费，邻接表由数组+链表组成

3) 举例说明

13.3 、图的快速入门案例

1) 要求: 代码实现如下图结构

2) 思路分析

• (1) 存储顶点 String 使用 ArrayList

• (2) 保存矩阵 int [ ] [ ] edges

  3) 代码实现

/**
 * description
 * 数据结构——图的快速入门案例
 *
 * @author xujicheng
 * @since 2022年12月10日 13:11
 */
public class Graph {

    private ArrayList<String> vertexList;  //存储顶点的集合

    private int[][] edges;  //存储图对应的邻接矩阵

    private int numOfEdges;  //表示边的个数

    public static void main(String[] args) {
        //测试图是否创建完成
        int n = 5;  //节点的个数
        String[] Vertex = {"A", "B", "C", "D", "E"};
        //创建图对象
        Graph graph = new Graph(n);
        //循环的添加顶点
        for(String vertex : Vertex){
            graph.insertVertex(vertex);
        }
        //添加边 A -->B  A -->C  B-->C  B --> D  B --> E
        graph.insertEdge(0,1,1);
        graph.insertEdge(0,2,1);
        graph.insertEdge(1,2,1);
        graph.insertEdge(1,3,1);
        graph.insertEdge(1,4,1);

        //显示邻接矩阵
        graph.showGraph();
    }

    /**
     * 构造器，用于初始化对象
     *
     * @param n 表示顶点的个数
     */
    public Graph(int n) {
        //初始化矩阵和vertexList
        edges = new int[n][n];
        vertexList = new ArrayList<String>(n);
        numOfEdges = 0;
    }

    /**
     * 数据结构——图中常用的方法——返回节点的个数
     *
     * @return 返回vertexList中节点的总树
     */
    public int getNumOfVertex() {
        return vertexList.size();
    }

    /**
     * 得到边的数目
     *
     * @return 返回边的总数
     */
    public int getNumOfEdges() {
        return numOfEdges;
    }

    /**
     * 返回节点i(下标)对应的数据"0" -> "A" ,"1" -> "B"
     *
     * @param i 节点对应的下标
     * @return 返回下标对应的数据
     */
    public String getValueByIndex(int i) {
        return vertexList.get(i);
    }

    //显示矩阵的方法
    public void showGraph() {
        for (int[] link : edges) {
            System.out.println(Arrays.toString(link));
        }
    }

    /**
     * 返回v1和v2的权值
     *
     * @param v1 顶点的下标
     * @param v2 另一个顶点的下标
     * @return 顶点的权值
     */
    public int getWeight(int v1, int v2) {
        return edges[v1][v2];
    }

    /**
     * 插入顶点的方法
     *
     * @param vertex 需要插入的顶点
     */
    public void insertVertex(String vertex) {
        vertexList.add(vertex);
    }

    /**
     * 添加边的方法
     *
     * @param v1     表示第一个顶点的下标，即是第几个顶点
     * @param v2     表示第二个顶点的下标
     * @param weight 矩阵边对应的值，要么是0要么是1，默认值为0
     */
    public void insertEdge(int v1, int v2, int weight) {
        edges[v1][v2] = weight;
        edges[v2][v1] = weight;
        numOfEdges++;
    }
}

13.4 、图的深度优先遍历介绍

13.4.1 、图遍历介绍

所谓图的遍历，即是对结点的访问。一个图有那么多个结点，如何遍历这些结点，需要特定策略，一般有两种访问策略:

(1)深度优先遍历

(2)广度优先遍历

13.4.2 、深度优先遍历基本思想

图的深度优先搜索(Depth First Search) 。

• 1) 深度优先遍历，从初始访问结点出发，初始访问结点可能有多个邻接结点，深度优先遍历的策略就是首先访问第一个邻接结点，然后再以这个被访问的邻接结点作为初始结点，访问它的第一个邻接结点，可以这样理解：每次都在访问完当前结点后首先访问当前结点的第一个邻接结点。
• 2) 我们可以看到，这样的访问策略是优先往纵向挖掘深入，而不是对一个结点的所有邻接结点进行横向访问。
• 3) 显然，深度优先搜索是一个递归的过程

13.4.3 、深度优先遍历算法步骤

1) 访问初始结点 v，并标记结点 v 为已访问。

2) 查找结点 v 的第一个邻接结点 w。

3) 若 w 存在，则继续执行 4，如果 w 不存在，则回到第 1 步，将从 v 的下一个结点继续。

4) 若 w 未被访问，对 w 进行深度优先遍历递归（即把 w 当做另一个 v，然后进行步骤123）。

5) 查找结点 v 的 w 邻接结点的下一个邻接结点，转到步骤 3。

6) 分析图

13.4.4 、深度优先算法的代码实现

    只加入核心方法，测试部分和其他无关紧要的代码不写入，后面有汇总
    /**
     * 得到第一个邻接节点的下标w
     *
     * @param index 当前节点的下标
     * @return 如果存在返回当前节点的第一个邻接节点的下标，否则返回-1
     */
    public int getFirstNeighbor(int index) {
        for (int j = 0; j < vertexList.size(); j++) {
            if (edges[index][j] > 0) {
                return j;
            }
        }
        return -1;
    }

    /**
     * 根据前一个邻接节点的下标来获取下一个邻接节点
     *
     * @param v1 前一个邻接节点的下标
     * @param v2 当前邻接节点
     * @return 如果存在返回当前邻接节点的下一个邻接节点的下标，否则返回-1
     */
    public int getNextNeighbor(int v1, int v2) {
        for (int j = v2 + 1; j < vertexList.size(); j++) {
            if (edges[v1][j] > 0) {
                return j;
            }
        }
        return -1;
    }

    //对dfs方法进行一个重载,遍历我们所有的节点，并进行dfs
    public void dfs() {
        isVisited = new boolean[vertexList.size()];
        //遍历所有的节点，进行dfs[回溯]
        for (int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) {
            if (!isVisited[i]) {   //增加节点是否被访问的逻辑提高遍历效率
                dfs(isVisited, i);
            }
        }
    }

    /**
     * 深度优先遍历算法
     *
     * @param isVisited 记录某个节点是否被访问
     * @param i         是节点的初始下标，第一次是0
     */
    private void dfs(boolean[] isVisited, int i) {
        //首先访问该节点(输出)
        System.out.print(getValueByIndex(i) + "-->");
        //访问后将该节点设置成已访问
        isVisited[i] = true;
        //查找节点i的第一个邻接点w
        int w = getFirstNeighbor(i);
        while (w != -1) {  //说明有邻接点
            //还需要判断当前节点是否被访问过
            if (!isVisited[w]) {
                dfs(isVisited, w);
            }
            //如果w这个节点已经被访问，就去查找w的邻接点的下一个邻接节点
            w = getNextNeighbor(i, w);
        }
    }

13.5 、图的广度优先遍历

13.5.1 、广度优先遍历基本思想

1) 图的广度优先搜索(Broad First Search) 。

2) 类似于一个分层搜索的过程，广度优先遍历需要使用一个队列以保持访问过的结点的顺序，以便按这个顺序来访问这些结点的邻接结点

13.5.2 、广度优先遍历算法步骤

1) 访问初始结点 v 并标记结点 v 为已访问。

2) 结点 v 入队列

3) 当队列非空时，继续执行，否则算法结束。

4) 出队列，取得队头结点 u。

5) 查找结点 u 的第一个邻接结点 w。

6) 若结点 u 的邻接结点 w 不存在，则转到步骤 3；否则循环执行以下三个步骤：

• 6.1 若结点 w 尚未被访问，则访问结点 w 并标记为已访问。
• 6.2 结点 w 入队列
• 6.3 查找结点 u 的继 w 邻接结点后的下一个邻接结点 w，转到步骤 6。

13.5.3 、广度优先算法的图示

13.6、 广度优先算法的代码实现

    /**
     * 广度优先遍历算法——以一个节点而言
     *
     * @param isVisited 记录某个节点是否被访问
     * @param i         是节点的初始下标，第一次是0
     */
    private void bfs(boolean[] isVisited, int i) {
        int u;  //表示队列的头节点对应的下标
        int w;  //表示邻接节点的下标
        //需要队列来记录节点访问的顺序
        LinkedList<Integer> queue = new LinkedList<Integer>();
        //访问这个节点(即输出这个节点的信息)
        System.out.print(getValueByIndex(i) + "-->");
        //访问后把此节点标记为已访问
        isVisited[i] = true;
        //将节点加入队列,根据队列的特点，加入节点是从尾部加，取出是从头部取
        queue.addLast(i);
        //只要队列不为空，继续执行，否则算法结束
        while (!queue.isEmpty()) {
            //取出队列的头节点下标
            u = queue.removeFirst();
            //得到第一个邻接点的下标w
            w = getFirstNeighbor(u);
            //判断w是否存在
            while (w != -1) {  //存在
                //判断节点是否被访问过
                if (!isVisited[w]) {  //未访问
                    //未访问，访问节点w
                    System.out.print(getValueByIndex(w) + "-->");
                    //标记为已访问
                    isVisited[w] = true;
                    //访问后入队列，记录访问顺序
                    queue.addLast(w);
                }
                //以u为起点，找w后面的后的下一个邻接点,即w被访问，还以u为起点继续向下访问
                w = getNextNeighbor(u, w);   //体现出广度优先
            }
        }
    }

    //遍历所有的节点，都进行广度优先搜索,对广度优先的方法进行重载
    public void bfs() {
        isVisited = new boolean[5];
        for (int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) {
            //增加判断是否访问过，以此增加遍历的效率
            if (!isVisited[i]) {
                bfs(isVisited, i);
            }
        }
    }

13.7 、图的代码汇总

/**
 * description
 * 数据结构——图的快速入门案例
 *
 * @author xujicheng
 * @since 2022年12月10日 13:11
 */
public class Graph {

    private ArrayList<String> vertexList;  //存储顶点的集合

    private int[][] edges;  //存储图对应的邻接矩阵

    private int numOfEdges;  //表示边的个数

    //定义个数组boolean[]，记录某个节点是否被访问
    private boolean[] isVisited;

    public static void main(String[] args) {
        //测试图是否创建完成
        int n = 5;  //节点的个数
        String[] Vertex = {"A", "B", "C", "D", "E"};
        //创建图对象
        Graph graph = new Graph(n);
        //循环的添加顶点
        for (String vertex : Vertex) {
            graph.insertVertex(vertex);
        }
        //添加边 A -->B  A -->C  B-->C  B --> D  B --> E
        graph.insertEdge(0, 1, 1);
        graph.insertEdge(0, 2, 1);
        graph.insertEdge(1, 2, 1);
        graph.insertEdge(1, 3, 1);
        graph.insertEdge(1, 4, 1);

        //显示邻接矩阵
        graph.showGraph();

        //测试dfs遍历是否正常
        System.out.println("深度遍历");
        graph.dfs();

        System.out.println(); //换行
        System.out.println("广度优先遍历");
        graph.bfs();
    }

    /**
     * 构造器，用于初始化对象
     *
     * @param n 表示顶点的个数
     */
    public Graph(int n) {
        //初始化矩阵和vertexList
        edges = new int[n][n];
        vertexList = new ArrayList<String>(n);
        numOfEdges = 0;
    }

    /**
     * 得到第一个邻接节点的下标w
     *
     * @param index 当前节点的下标
     * @return 如果存在返回当前节点的第一个邻接节点的下标，否则返回-1
     */
    public int getFirstNeighbor(int index) {
        for (int j = 0; j < vertexList.size(); j++) {
            if (edges[index][j] > 0) {
                return j;
            }
        }
        return -1;
    }

    /**
     * 根据前一个邻接节点的下标来获取下一个邻接节点
     *
     * @param v1 前一个节点的下标
     * @param v2 下一个邻接节点
     * @return 如果存在返回当前邻接节点的下一个邻接节点的下标，否则返回-1
     */
    public int getNextNeighbor(int v1, int v2) {
        for (int j = v2 + 1; j < vertexList.size(); j++) {
            if (edges[v1][j] > 0) {
                return j;
            }
        }
        return -1;
    }

    //对dfs方法进行一个重载,遍历我们所有的节点，并进行dfs
    public void dfs() {
        isVisited = new boolean[vertexList.size()];
        //遍历所有的节点，进行dfs[回溯]
        for (int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) {
            if (!isVisited[i]) {   //增加节点是否被访问的逻辑提高遍历效率
                dfs(isVisited, i);
            }
        }
    }

    /**
     * 深度优先遍历算法
     *
     * @param isVisited 记录某个节点是否被访问
     * @param i         是节点的初始下标，第一次是0
     */
    private void dfs(boolean[] isVisited, int i) {
        //首先访问该节点(输出)
        System.out.print(getValueByIndex(i) + "-->");
        //访问后将该节点设置成已访问
        isVisited[i] = true;
        //查找节点i的第一个邻接点w
        int w = getFirstNeighbor(i);
        while (w != -1) {  //说明有邻接点
            //还需要判断当前节点是否被访问过
            if (!isVisited[w]) {
                dfs(isVisited, w);
            }
            //如果w这个节点已经被访问，就去查找w的邻接点的下一个邻接节点
            w = getNextNeighbor(i, w);
        }
    }

    /**
     * 广度优先遍历算法——以一个节点而言
     *
     * @param isVisited 记录某个节点是否被访问
     * @param i         是节点的初始下标，第一次是0
     */
    private void bfs(boolean[] isVisited, int i) {
        int u;  //表示队列的头节点对应的下标
        int w;  //表示邻接节点的下标
        //需要队列来记录节点访问的顺序
        LinkedList<Integer> queue = new LinkedList<Integer>();
        //访问这个节点(即输出这个节点的信息)
        System.out.print(getValueByIndex(i) + "-->");
        //访问后把此节点标记为已访问
        isVisited[i] = true;
        //将节点加入队列,根据队列的特点，加入节点是从尾部加，取出是从头部取
        queue.addLast(i);
        //只要队列不为空，继续执行，否则算法结束
        while (!queue.isEmpty()) {
            //取出队列的头节点下标
            u = queue.removeFirst();
            //得到第一个邻接点的下标w
            w = getFirstNeighbor(u);
            //判断w是否存在
            while (w != -1) {  //存在
                //判断节点是否被访问过
                if (!isVisited[w]) {  //未访问
                    //未访问，访问节点w
                    System.out.print(getValueByIndex(w) + "-->");
                    //标记为已访问
                    isVisited[w] = true;
                    //访问后入队列，记录访问顺序
                    queue.addLast(w);
                }
                //以u为起点，找w后面的后的下一个邻接点,即w被访问，还以u为起点继续向下访问
                w = getNextNeighbor(u, w);   //体现出广度优先
            }
        }
    }

    //遍历所有的节点，都进行广度优先搜索,对广度优先的方法进行重载
    public void bfs() {
        isVisited = new boolean[5];
        for (int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) {
            //增加判断是否访问过，以此增加遍历的效率
            if (!isVisited[i]) {
                bfs(isVisited, i);
            }
        }
    }

    /**
     * 数据结构——图中常用的方法——返回节点的个数
     *
     * @return 返回vertexList中节点的总树
     */
    public int getNumOfVertex() {
        return vertexList.size();
    }

    /**
     * 得到边的数目
     *
     * @return 返回边的总数
     */
    public int getNumOfEdges() {
        return numOfEdges;
    }

    /**
     * 返回节点i(下标)对应的数据"0" -> "A" ,"1" -> "B"
     *
     * @param i 节点对应的下标
     * @return 返回下标对应的数据
     */
    public String getValueByIndex(int i) {
        return vertexList.get(i);
    }

    //显示矩阵的方法
    public void showGraph() {
        for (int[] link : edges) {
            System.out.println(Arrays.toString(link));
        }
    }

    /**
     * 返回v1和v2的权值
     *
     * @param v1 顶点的下标
     * @param v2 另一个顶点的下标
     * @return 顶点的权值
     */
    public int getWeight(int v1, int v2) {
        return edges[v1][v2];
    }

    /**
     * 插入顶点的方法
     *
     * @param vertex 需要插入的顶点
     */
    public void insertVertex(String vertex) {
        vertexList.add(vertex);
    }

    /**
     * 添加边的方法
     *
     * @param v1     表示第一个顶点的下标，即是第几个顶点
     * @param v2     表示第二个顶点的下标
     * @param weight 矩阵边对应的值，要么是0要么是1，默认值为0
     */
    public void insertEdge(int v1, int v2, int weight) {
        edges[v1][v2] = weight;
        edges[v2][v1] = weight;
        numOfEdges++;
    }
}

13.8 、图的深度优先 VS 广度优先