数据结构——复杂度

简介: 数据结构——复杂度

 


总有一天你要一个人,再暗夜中,向那座桥走过去


文章目录


一、算法的复杂度


考察形式范例


二、算法的时间复杂度


大O的渐进表示法


常见的复杂度对比


例题:消失的数字


题目的三种思路


1.排序+遍历


2.减法


3.单身狗思想


三、空间复杂度


大O的渐进表示法


常见复杂度比较


四、复杂度判断总结


 大家好,我是纪宁。


 上篇文章已经为大家介绍了数据结构与算法,相信看过的人已经大值了解数据结构与算法了。在解决一个问题的时候,我们通常会使用各式各样的算法,那么,如何衡量一个算法的性能好坏或者效率高低呢?这里我们就要学习复杂度的概念。


 本文在空间复杂度的求解处提到了函数栈帧这个概念,不懂的老铁可以去看博主肝了好久的老作品 从汇编代码探究函数栈帧的创建和销毁的底层原理


 还有在时间复杂度和空间复杂度中都提到的冒泡排序算法


一、算法的复杂度

 算法在编写成可执行程序后,运行时需要耗费时间资源和空间(内存)资源 ,因此衡量一个算法的好坏,一般是从时间和空间两个维度来衡量的,即时间复杂度和空间复杂度。


 时间复杂度主要衡量一个算法的运行快慢,而空间复杂度主要衡量一个算法运行所需要的额外空间。在计算机发展的早期,计算机的存储容量很小。所以对空间复杂度很是在乎。但是经过计算机行业的迅速发展,计算机的存储容量已经达到了很高的程度。所以我们如今已经不需要再特别关注一个算法的空间复杂度。


考察形式范例

leetcode




腾讯面试题、剑指offer


二、算法的时间复杂度

 时间复杂度的定义:在计算机科学中,算法的时间复杂度是一个函数,它定量描述了该算法的运行时间。它可以算出一个理论时间值,这个值与与其中语句的执行次数成正比例。那么算法的时间复杂度,通俗来讲,就是算法中的基本操作的执行次数。


大O的渐进表示法

大O符号(Big O notation):是用于描述函数渐进行为的数学符号。


推导大O阶方法:


1、用常数1取代运行时间中的所有加法常数。


2、在修改后的运行次数函数中,只保留最高阶项(取极限后对记过影响最大的一项)


3、如果最高阶项存在且不是1,去除与这个最高阶项相乘的常数。得到的结果就是大O阶。


4、时间复杂度以最坏情况为准(如在数组中搜索数组,时间复杂度为O(N))


常见的复杂度对比

void Func2(int N)

{

int count = 0;

for (int k = 0; k < 2 * N; ++k)

{

 ++count;

}

int M = 10;

while (M--)

{

 ++count;

}

printf("%d\n", count);

}

 这段代码关键语句执行了 2N+10 次,只看最高项,为2N,再除去常数2,所以时间复杂度为O(N)


void Func3(int N, int M)

{

int count = 0;

for (int k = 0; k < M; ++k)

{

 ++count;

}

for (int k = 0; k < N; ++k)

{

 ++count;

}

printf("%d\n", count);

}

 这段代码关键语句执行了 M+N 次,所以时间杂度为O(M+N)


void Func4(int N)

{

int count = 0;

for (int k = 0; k < 100; ++k)

{

 ++count;

}

printf("%d\n", count);

}

 这段代码关键语句执行了100次,为常数次,所以时间复杂度为O(1)


void BubbleSort(int* a, int n)

{

assert(a);

for (size_t end = n; end > 0; --end)

{

 int exchange = 0;

 for (size_t i = 1; i < end; ++i)

 {

  if (a[i - 1] > a[i])

  {

   Swap(&a[i - 1], &a[i]);

   exchange = 1;

  }

 }

 if (exchange == 0)

  break;

}

}


 这段代码代码为冒泡排序算法,以最坏情况考虑(最后一次冒泡才排好序),第一次冒泡要比较 n-1次,第二次冒泡要比较 n-2 次......最后一次冒泡只需要比较 1 次,一共需要n趟比较。那么关键语句的执行次数为 (n-1)+(n-2)+(n-3)......+2+1=n*n/2(等差数列求和),所以冒泡排序的时间复杂度为 O(N^2)


int BinarySearch(int* a, int n, int x)

{

assert(a);

int begin = 0;

int end = n - 1;

while (begin <= end)

{

 int mid = begin + ((end - begin) >> 1);

 if (a[mid] < x)

  begin = mid + 1;

 else if (a[mid] > x)

  end = mid - 1;

 else

  return mid;

}

return -1;

}


 这段代码为二分查找算法,以最快情况考虑(最后一个元素才找到或者没找到),二分查找时间复杂度计算比较难,我画图来解释一下。




为了方便书写,我们通常将时间复杂度为 以2为底的对数简写为 O(logN)


long long Fib(size_t N)

{

if (N < 3)

 return 1;

return Fib(N - 1) + Fib(N - 2);

}

 这段代码是关于斐波那锲数列的递归解法,斐波那锲数列的递归法,用过的人都知道,只有理论意义,越递归,重复工作越多,越复杂,所以没有太大的实际意义。




当N=0的时候,一共进行了2^N数量级次递归语句的执行,所以时间复杂度为log(2^N)


例题:消失的数字

题目


数组nums包含从0到n的所有整数,但其中缺了一个。请编写代码找出那个缺失的整数。你有办法在O(n)时间内完成吗?


示例 :


输入:[3,0,1]  


输出:2


示例 2:


输入:[9,6,4,2,3,5,7,0,1]  


输出:8


题目的三种思路

1.排序+遍历

 先排序,如果发现有个数的下一个数减这个数不等于1,那么这个数的下一个数就是‘消失的数字’。排序如果采用冒泡排序的话,时间复杂度会不合适,所以采用快速排序算法。快速排序的时间复杂度是 O(logN*N),依然不符合时间复杂度要求大家可以自己去尝试优化一下排序算法。


2.减法

 先用等差数列公式计算 1-n的值,再用这个值减去遍历数组的加和,得到的就是那个消失的数字。时间复杂度为O(N),符合要求。


int missingNumber(int* nums, int numsSize)

{

int N = numsSize;

int ret = N * (N + 1) / 2;//等差数列公式

for (int i = 0; i < N; i++)

{

 ret -= nums[i];

}

return ret;

}

3.单身狗思想

 先用1-n 的所有值异或,再用结果异或数组中的所有值,相同的数字可以相互配对,异或的值等于0,所以就剩下一个‘消失的数字’对应的数,这个数就是消失的数字。


int missingNumber(int* nums, int numsSize)

{

int N = numsSize;

int x = 0;

for (int i = 0; i <= N; i++)

{

 x ^= i;

}

for (int i = 0; i < N; i++)

{

 x ^= nums[i];

}

return x;

}

三、空间复杂度

 空间复杂度也是一个数学表达式,是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度 。


 空间复杂度不是程序占用了多少bytes的空间,因为这个也没太大意义,所以空间复杂度与定义变量的个数(额外开辟的空间数),计算规则也与时间复杂度相差无几。但函数运行时所需要的栈空间(存储参数、局部变量、一些寄存器信息等)在编译期间已经确定好了,因此空间复杂度主要通过函数在运行时候显式申请的额外空间(函数栈帧申请的次数)来确定。


大O的渐进表示法

 空间复杂度的大O渐进表示法通过计算额外开辟的空间数和函数栈帧的申请次数即可。


常见复杂度比较

void BubbleSort(int* a, int n)

{

assert(a);

for (size_t end = n; end > 0; --end)

{

 int exchange = 0;

 for (size_t i = 1; i < end; ++i)

 {

  if (a[i - 1] > a[i])

  {

   Swap(&a[i - 1], &a[i]);

   exchange = 1;

  }

 }

 if (exchange == 0)

  break;

}

}


因为冒泡排序中只创建了 exchange 这一个额外空间的变量,所以空间复杂度就是O(1)


long long* Fibonacci(size_t n)

{

if (n == 0)

 return NULL;

long long* fibArray = (long long*)malloc((n + 1) * sizeof(long long));

fibArray[0] = 0;

fibArray[1] = 1;

for (int i = 2; i <= n; ++i)

{

 fibArray[i] = fibArray[i - 1] + fibArray[i - 2];

}

return fibArray;

}

这段代码开辟了(n+1)个额外空间,所以空间复杂度为O(N)


long long Fac(size_t N)

{

if (N <3)

 return 1;

return Fib(N - 1) * Fib(N-2);

}

 这段代码为斐波那契额数列的递归解法,这个解法时间复杂度达到了O(2^N),而空间复杂度却是O(N),因为它的函数栈帧其实只开辟了N次。为什么呢?真实情况是函数进入Fib(N-1)后,暂时是不会进入同行语句中的Fib(N-2)的,当Fib(N-1)递归结束后(一共开辟并释放了N次函数栈帧),程序才开始进入那一行的Fib(N-2)函数中,因为Fib(N-1)中已经开辟了很多空间,虽然已经还给了操作系统,但Fib(N-2)中所开辟的函数栈帧依然是在曾经Fib(N-1)的那块空间上,所以并没有再多余浪费空间开辟函数栈帧。


四、复杂度判断总结

这个表格大家看一下应该可以轻易理解并记住的,主要是掌握时间和空间复杂度的计算。


52101314 O(1) 常数阶

3n+4


O(N) 线性阶

3n^2+4n+5 O(N^2) 平方阶

3log(2)n+4 O(logN) 对数阶

2n+2nlog(2)n+14 O(NlogN) NlogN阶

n^3+2n^2+4n+6 O(N^3) 立方阶

2^n O(2^N) 指数阶

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