超平面 与 法向量
超平面(H,Hyperplane) 是二维平面中直线、三维空间中平面对象的推广形式，本质是$n$维空间的一个子空间，满足向量加法与乘法的封闭。空间中的平面都可以被平面上任意一点$x_0$及与平面内任意向量所垂直的平面法向量$\vec w$所确定：
定义空间内一超平面为 $H$
在平面上确定一点 $x_0$，就有平面上其它任意点$x$ 与$x_0$所成向量 $\vec {x_0x}$ 与垂直于法线 :
$\vec {x_0x} \cdot \vec w = 0 \rightarrow (\vec x - \vec x_0)\cdot \vec w = 0$
$\therefore \vec {x_0x} \cdot \vec w = \vec w^T\vec x - \vec w^T\vec x_0 = 0$由于 $x_0$ 为提前确定的平面内一点，则有 $\frac {\vec w^T\vec x_0}{\|\vec w\|}$ 计算了空间原点$O$与$x_0$ 所成向量到平面法向量的投影长度，实质上描述了 平面H 偏离空间原点的距离 ，这个偏移量描述一般描述为 $b = - \frac {\vec w^T\vec x_0}{\|\vec w\|}\cdot \|\vec w\|$的形式。当 $b = 0$ 时意味着超平面未发生偏移，过空间原点$O$。
这样根据平面内一点和法向量确立的平面的约束方程称为 点法式超平面方程:
$$w^Tx + b= 0$$
点到超平面距离
对于空间上的任意点 $X$ 到 $w$ 所定义的超平面H的距离 $d$ 就有等于向量$\vec {OX}$ 在平面法向量上的投影距离 $\frac {wX}{\|w\|}$ 减去平面相对原点的偏移量$\frac {-b}{\|w\|}$,即：
$$d(X \rightarrow H) = |\frac {wX}{\|w\|} - \frac {-b}{\|w\|}| = \frac {|wX+b|}{\|w\|}$$
如在简单二维空间内，平面上的一点 $(x_1,y_1)$ 到直线形式的超平面对象 $Ax + By +C = 0$ 的距离就可以描述为 $ d = \frac {|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt {A^2 + B^2}}$
