2.3 二叉树的性质

1.若规定根节点的层数为 1，则一棵非空二叉树的第 i 层上最多有 2^(i-1) 个结点

2.若规定根节点的层数为 1，则深度为 h 的二叉树的最大结点数是2^h - 1

3.对任何一棵二叉树, 如果度为 0 其叶结点个数为 n₀, 度为 2 的分支结点个数为 n₂,则有 n₀＝ n₂＋1

4.若规定根节点的层数为 1，具有 n 个结点的满二叉树的深度为 h = log₂(n+1)  ps：log₂(n+1)是 log 以 2 为底， n+1 的对数

5.对于具有 n 个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从 0 开始编号，则对于序号为 i 的结点有：

▶ 若 i>0，i 位置节点的双亲序号：(i-1)/2；i=0，i 为根节点编号，无双亲节点

▶ 若 2i+1<n，左孩子序号：2i+1，2i+1>=n 否则无左孩子

▶ 若 2i+2<n，右孩子序号：2i+2，2i+2>=n 否则无右孩子

2.4 二叉树的概念选择题

1、某二叉树共有 399 个结点，其中有 199 个度为 2 的节点，则该二叉树中的叶子节点数为（ ）

A. 不存在这样的二叉树

B. 200

C. 198

D. 199

2.4 二叉树的概念选择题

1、某二叉树共有 399 个结点，其中有 199 个度为 2 的节点，则该二叉树中的叶子节点数为（ ）

A. 不存在这样的二叉树

B. 200

C. 198

D. 199

• 分析：顺序结构存储就是使用数组来存储，它只适合表示完全二叉树，因为不是完全二叉树会有空间的浪费。数组只适合存储完全二叉树或者满二叉树。
  所以选择 A 选项

3、在具有 2n 个节点的完全二叉树中，叶子节点个数为（ ）

A. n

B. n+1

C. n-1

D. n/2

分析：

假设度为 0 的个数是 x0，度为 2 的个数是 x2，度为 1 的个数是 x1，那么：

▶ x0 + x1 + x2 = 2n

▶ x0 = x2 + 1

由 x0 = x2 + 1 得到 x2 = x0 - 1

所以 x0 + x1 + x2 = 2n --> x0 + x1 + x0 - 1 = 2n --> 2x0 + x1 - 1 = 2n

又因为完全二叉树中度为 1 的节点最少 0 个，最多就只有 1 个，所以 x1 = 0 or 1

所以 2x0 + x1 - 1 = 2n 就有 2 种情况：

▶ 2x0 + 0 - 1 = 2n

▶ 2x0 + 1 - 1 = 2n

当 x1 = 0 时，x0为小数，显然不可能；当 x1 = 1 时满足，所以选择 A

• 选项

4、一棵完全二叉树的节点数为 531 个，那么这棵树的高度为（ ）

A. 11

B. 10

C. 8

D. 12

分析：

假设完全二叉树的高度是 h，那么：最多有 2^h-1 个节点；最少有 2^(h-1) 个节点

▶ h = 11 时：最多 2047；最少 2014，所以不合理

▶ h = 10 时：最多 1023；最少 512，所以合情合理

▶ h = 8 时：最多 255；最少 128，所以不合理

▶ h = 12 时：最多 4095；最少 2048，所以不合理

• 所以选择 B 选项

5、一个具有 767 个节点的完全二叉树，其叶子节点个数为 ( )

A. 383

B. 384

C. 385

D. 386

分析：此题类似于第 3 题

假设度为 0 的个数是 x0，度为 2 的个数是 x2，度为 1 的个数是 x1，那么：

▶ x0 + x1 + x2 = 767

▶ x0 = x2 + 1

由 x0 = x2 + 1 得到 x2 = x0 - 1

所以 x0 + x1 + x2 = 767 同 x0 + x1 + x0 - 1 = 767 同 2x0 + x1 - 1 = 767

完全二叉树中度为 1 的节点最少 0 个，最多就只有 1 个

所以 x1 = 0 or 1

所以 2x0 + x1 - 1 = 767 就有 2 种情况：

▶ 2x0 + 0 - 1 = 767

▶ 2x0 + 1 - 1 = 767

当 x1 = 0 时，满足条件；当 x1 = 1 时，不满足条件，所以选择 B 选项

2.5 二叉树的存储结构

二叉树一般可以使用两种结构存储，一种顺序结构，一种链式结构：

2.5.1. 顺序存储：

顺序结构存储就是使用数组来存储，它只适合表示完全二叉树，因为不是完全二叉树会有空间的浪费。而现实使用中只有堆才会使用数组来存储，二叉树顺序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树。如下图所见，数组只适合存储完全二叉树或者满二叉树。 怎么表示二叉树的值在数组位置中父子下标关系的：

左孩子和右孩子

leftchild = parent * 2 + 1

rightchild = parent * 2 + 2

父亲 (这里无论是左孩子还是右孩子都适用于以下公式)

parent = (child - 1) / 2

2.5.2. 链式存储：

二叉树的链式存储结构是指用链表来表示一棵二叉树，即用链表来指示元素的逻辑关系。通常的方法是链表中每个结点由三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所在的链的存储地址。

链式结构又分为二叉链和三叉链，现阶段本篇文章我们只了解二叉链，在以后的文章内写到高阶数据结构时，如红黑树等会用到三叉链。

二叉链只能通过父亲找孩子，类似于单向链表；而三叉链不仅能通过父亲找孩子，还能通过孩子找父亲，类似于双向链表。

typedef int BTDataType;
//二叉链
struct BinaryTreeNode
{
  struct BinaryTreeNode* _pLeft; //指向当前节点的左孩子
  struct BinaryTreeNode* _pRight; //指向当前节点的右孩子  
  BTDataType _data; //当前节点的值域 
}
//三叉链
struct BinaryTreeNode
{
  struct BinaryTreeNode* _pParent; //指向当前节点的父亲
  struct BinaryTreeNode* _pLeft; //指向当前节点的左孩子
  struct BinaryTreeNode* _pRight; //指向当前节点的右孩子
  BTDataType _data; //当前节点的值域
}

3.总结：

今天我们认识并学习了树与二叉树的相关概念，对树与二叉树有了一个整体的认识。并且对二叉树的两种存储结构也有了一定的了解。下一篇博客我们将学习二叉树顺序结构和实现以及堆的概念及结构。希望我的文章和讲解能对大家的学习提供一些帮助。

当然，本文仍有许多不足之处，欢迎各位小伙伴们随时私信交流、批评指正！我们下期见~