1.树概念及结构

1.1 树的概念：

树是一种非线性的数据结构，它是由 n (n>=0) 个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下。

1.有一个特殊的结点，称为根结点，根节点没有前驱结点

2. 除根节点外，其余结点被分为 M (M>0) 个互不相交的集合 T1、T2 … 、Tm，其中每一个集合 Ti (1<=i<=m) 又是一棵结构与树类似的子树，每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继

3. 因此，树是递归定义的

注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构

▶ 子树是不相交的

▶ 除了根节点外，每个节点有且仅有一个父节点

▶ 一棵 N 个节点的树有 N-1 条连

1.2 树的相关概念

1.节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度； 如上图：A 的为6

2.叶节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点； 如上图：B、C、H、I…等节点为叶节点

3.非终端节点或分支节点：度不为0的节点； 如上图：D、E、F、G…等节点为分支节点

4.双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点； 如上图：A 是 B 的父节点

5.孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点； 如上图：B 是 A 的孩子节点

6.兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点 (这里指的是亲兄弟，而非表堂兄弟)； 如上图：B、C 是兄弟节点

7.树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度； 如上图：树的度为 6

8.节点的层次：从根开始定义起，根为第 1 层，根的子节点为第 2 层， 以此类推；如上图：树的层次为 4

9.树的高度或深度：树中节点的最大层次 (这里有 2 种说法：一，根算 0;二，根算 1)； 如上图：树的高度为 4

 - 这里推荐理解其二，因为：

 当要算空树的高度是多少时，按一的理解，高度是 -1；按二的理解，高度是 0

 当要算只有一个根节点的树的高度是多少时，按一的理解，高度是 0；按二的理解，高度是 1

10.堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图：H、I 互为兄弟节点

11.节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A 是所有节点的祖先

12.子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是 A 的子孙

13.森林：由 m(m>0) 棵互不相交的树的集合称为森林，并查集就是一个森林

1.3 树的表示

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来比较麻烦，既要保存值域，也要保存结点和结点之间的关系。实际中树有很多种表示方式如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法以及孩子兄弟表示法等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法。

注意：对于树的定义其实并不好定义，因为其中有许多未知的因素

1、除非明确说明树的度是多少，比如树的度是 6

struct TreeNode
{
  int data;
  //这种结构其实是很浪费的，因为最大的度是6,但往下可能并没有那么多
  struct TreeNode* subs[6];//指针数组
}

2、如果没有说明树的度是多少，可以使用顺序表存储

struct TreeNode
{
  int data;
  SeqList subs;//顺序表中存储的是节点的指针
  //vector<struct TreeNode*>subs;//在C++学了模板后可以这样定义
}

3、双亲表示法

struct TreeNode
{
  int data;
  struct TreeNode* parent;
}

4、左孩子右兄弟表示法 (比较实用)

typedef int DataTpye;
struct Node
{
  struct Node* firstChild1;//第一个孩子节点(如有多个孩子，那么只指向最左边的)
  struct Node* pNextBrother;//指向下一个兄弟节点
  DataType data;//节点中的数据域
}

1.3 树在实际中的运用

表示文件系统的目录树结构

2.二叉树概念及结构

2.1 二叉树的概念

一棵二叉树是节点的一个有限集合，该集合：

1、或者为空

2、由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成

1.二叉树不存在度大于 2 的结点

2.二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：

2.2 特殊的二叉树

2.2.1 满二叉树：

一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为 K，且结点总数是 2^k - 1，则它就是满二叉树。

2.2.2 完全二叉树：

完全二叉树的前 k - 1 层都满的，第 k 层不一定满(这就意味着满二叉树是完全二叉树，但完全二叉树不一定是满二叉树)，但是从最后一层从左到右必须是连续的，也就是说完全二叉树中度为 1 的节点最少 0 个，最多 1 个。完全二叉树是效率很高的数据结构，是由满二叉树而引出来的。对于深度为 K 的，有 n 个结点的二叉树，且每个结点都与深度为 K 的满二叉树中编号从 1 至 n 的结点 一一 对应称之为完全二叉树。要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

▶ 满二叉树的节点个数是等比求和

2^0 + 2^1 + 2^2 + … 2^(h-1)

利用公式所以满二叉树的节点个数就是 2^h - 1 ▶ 完全二叉树的节点个数

最多： 2^h - 1  这是满二叉树

最少：2^(h-1) - 1 + 1  ->  2^(h-1)

2(^h-1) - 1 这是前 k-1 层节点的个数，+1 则是第 k 层至少一个