正文
一、面积
1、直角坐标系情形
直角坐标系中的平面图形常常可以分为无数个微型矩形来求
例如：
将这无数个微型矩形的面积求出来再相加即可求得平面图形的面积。
由图和矩形面积计算公式A=l×b，得：每一个微型矩形的计算公式：
A=f(x)dx
由曲线y=f(x)（f(x)≥0））及直线x=a，x=b（a<b）x=a，与x轴所围成的曲边梯形的面积A是定积分A
其中被积表达式 f(x)dx就是直角坐标下的面积元素，它表示高为 f(x)、底为 dx的一个微矩形面积。
也可以选取纵坐标yy作为积分变量，即：
x=g(y)（g(y)≥0）及直线y=c，y=d（c<d）与y轴所围成的曲边梯形的面积AA是定积分C
其中被积表达式g(y)dy就是直角坐标下的面积元素，它表示高为g(y)、底为dy的一个微矩形面积。
2、极坐标系情形
极坐标系中的平面图像，常常可以看做一个扇形，将这个扇形分为无数个微型扇形，求出每一个微型扇形的面积再相加，即可求出大扇形的面积。
是定积分A
dθ是极角;
ρ是极径;
ρ(θ)是指在极角为θ时极径长为ρ，ρ(θ)常常是一个极坐标方程.
根据扇形的面积计算公式
A=1/2R2θ
，我们可以得到每一个微型扇形的面积公式为
A=1/2[ρ(θ)]^2 dθ
以1/2[ρ(θ)]^2 dθ为被积表达式，在闭区间[α,β]上作定积分，便得所求曲边扇形的面积为：
1/2[ρ(θ)]^2dθβ A=∫α^
二、体积
1、旋转体的体积
将一个旋转体分为无数个“薄片”，每一个薄片都是一个微型圆柱，计算每一个微型圆柱的体积再相加，即可得到整个旋转体的体积。
根据圆柱体的体积公式V=h×S底=h×πr^2得微型圆柱的体积公式
以
为被积表达式，在闭区间[a,b]上作定积分，便得所求的旋转体体积为：
2、平行截面面积为已知的立体的体积
在计算旋转体体积过程中，我们知道，要计算整个旋转体的体积，则可以将它切分成无数个微型圆柱，将每一个微型圆柱的体积相加即可。同理，要计算一个在区间[a,b]内的任意立体的体积，如果知道它的平行截面面积A(x)，则可直接计算它在区间[a,b]上的定积分：
三、平面曲线的弧长
设有一弧线y=f(x)，将这段弧分为无数个短弧，这时，每段短弧的长度可以看做是一段直线
设在[x,x+dx]是其中一个微型直线的两个端点，dx是对应的x的增量，s为
dx对应的弧的增量，于是可得：
于是
得：
由于弧长不为负数，且在这之中，有
有了这个公式，那么我们要求y=f(x)在区间[a,b]内的长度，即可得弧长公式：
拓展：
1、若将弧y=f(x)化为参数方程形式，即得参数方程:
在ϕ(t),ψ(t)都在[α,β]上具有连续导数，且ϕ′(t),ψ′(t)不同时为0时，有弧长的参数方程公式：
2、若将弧y=f(x)化为极坐标方程形式，即得极坐标方程:
其中ρ(θ)在[α,β]上具体连续导数，则由直角坐标与极坐标的关系可得极坐标的参数方程
由弧长的参数方程公式可得弧长的极坐标方程公式：
