失真函数、失真矩阵与平均失真

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失真函数

假如某一信源 $\mathbf{X}$ , 输出样值 $x_{i}$, $x_{i} \in\{a_{1}, a_{2}, \ldots a_{n}\}$ , 经试验信道传输后变成 $y_{j}$, $y_{j} \in\{b_{1}, b_{2}, \ldots b_{m}\}$ ,如果:

• $ x_{i}=y_{j}$ 没有失真
• $x_{i} \neq y_{j}$ 产生失真

失真的大小, 用一个量来表示,即失真函数 $d(x_{i}, y_{j})$ , 以衡量用 $y_{j}$ 代替 $x_{i}$ 所引起的失真程度。

失真函数定义为:

$$ d\left(x_{i}, y_{j}\right)=\left\{\begin{array}{ll} 0 & x_{i}=y_{j} \\ \alpha & (\alpha>0) x_{i} \neq y_{j} \end{array}\right. $$

失真矩阵

将所有的 $d(x_{i}, y_{j})$ 排列起来, 用矩阵表示为:

$$ \mathrm{d}=\left[\begin{array}{ccc} d\left(a_{1}, b_{1}\right) & \cdots & d\left(a_{1}, b_{m}\right) \\ \vdots & & \vdots \\ d\left(a_{n}, b_{1}\right) & \cdots & d\left(a_{n}, b_{m}\right) \end{array}\right] \boldsymbol{n} \times \boldsymbol{m} $$

例 : 设信源符号序列为 $\mathbf{X}=\{\mathbf{0}, \mathbf{1}\}$ , 接收端收到符号序列为 $\mathrm{Y}=\{\mathbf{0 , 1 , 2}\}$ , 规定失真函数为

$$ \begin{array}{c} > \mathbf{d}(\mathbf{0}, \mathbf{0})=\mathbf{d}(\mathbf{1}, \mathbf{1})=\mathbf{0} ; \mathbf{d}(\mathbf{0}, \mathbf{1})=\mathbf{d}(\mathbf{1}, \mathbf{0})=\mathbf{1} ; \mathbf{d}(\mathbf{0 , 2})=\mathbf{d}(\mathbf{1 , 2})=\mathbf{0 . 5} \\ > d=\left[\begin{array}{lll} > 0 & 1 & 0.5 \\ > 1 & 0 & 0.5 > \end{array}\right] \end{array} $$

失真函数形式可以根据需要任意选取, 最常用的有：

• 均方失真: $d(x_{i}, y_{j})=(x_{i}-y_{j})^{2}$ 适用于连续信源
• 绝对失真: $d(x_{i}, y_{j})=|x_{i}-y_{j}|$
• 相对失真: $d(x_{i}, y_{j})=|x_{i}-y_{j}| /|x_{i}|$
• 误码失真: $d(x_{i}, y_{j})=\delta(x_{i}-y_{j})={\begin{array}{cc}0, & x_{i}=y_{j} \\ 1, & \text { 其他 }\end{array}. $ **也称汉明失真，适用于离散信源**

汉明失真矩阵（误码失真也叫汉明失真）

$$ d=\left[\begin{array}{cccc} 0 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & 0 & \cdots & 1 \\ \vdots & & & \vdots \\ 1 & 1 & \cdots & 0 \end{array}\right] $$

对于二元对称信道 $(\mathrm{m}=\mathrm{n}), \mathrm{X}=\{0,1\}, \mathrm{Y}=\{0,1\}$ , 汉明失真矩阵：

$$ d=\left[\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right] $$

信道模型如下所示。采用汉明失真，请写出失真矩阵。

$$ d=\left[\begin{array}{lll} > 0 & 1 & 1 \\ > 1 & 1 & 0 > \end{array}\right] $$

平均失真

$x_{i}$ 和 $y_{j}$ 都是随机变量,所以失真函数 $d(x_{i}, y_{j})$ 也是随机变量,因此失真值只能用数学期望表示。

将失真函数的数学期望称为平均失真:

$$ \bar{D}=\sum_{i} \sum_{j} p\left(a_{i}\right) p\left(b_{j} \mid a_{i}\right) d\left(a_{i}, b_{j}\right) $$

• 失真函数 $d(x_{i}, y_{j})$ : 描述了某个信源符号通过传输后失真的大小
• 平均失真 $\bar{D}$ : 描述某个信源在某一试验信道传输下的失真大小, 它对信源和信道进行了统计平均, 是从总体上描述整个系统的失真。

信道矩阵如下图所示，已知信源符号等概，采用汉明失真，求平均失真。

$$ \begin{array}{c} \boldsymbol{p}(\mathbf{0})=\boldsymbol{p}(\mathbf{1})=\mathbf{0} . \mathbf{5} \\ \boldsymbol{d}=\left[\begin{array}{lll} \mathbf{0} & \mathbf{1} & \mathbf{1} \\ \mathbf{1} & \mathbf{1} & \mathbf{0} \end{array}\right] \\ \bar{D}=\sum_{i} \sum_{j} p\left(a_{i}\right) p\left(b_{j} \mid a_{i}\right) d\left(a_{i}, b_{j}\right) \\ =\mathbf{0 . 5} \sum_{j} p\left(b_{j} \mid \mathbf{0}\right) \boldsymbol{d}\left(\mathbf{0}, b_{j}\right) \\ +\mathbf{0 . 5} \sum_{\boldsymbol{j}} p\left(b_{j} \mid \mathbf{1}\right) \boldsymbol{d}\left(\mathbf{1}, b_{j}\right) \\ = 0.5(0.8*0 + 0.2*1 + 0*1) +0.5(0*1+0.3*1+0.7* 0)= 0.25 \end{array} $$

参考文献：

1. Proakis, John G., et al. Communication systems engineering. Vol. 2. New Jersey: Prentice Hall, 1994.
2. Proakis, John G., et al. SOLUTIONS MANUAL Communication Systems Engineering. Vol. 2. New Jersey: Prentice Hall, 1994.
3. 周炯槃. 通信原理（第3版）[M]. 北京：北京邮电大学出版社, 2008.
4. 樊昌信, 曹丽娜. 通信原理（第7版） [M]. 北京：国防工业出版社, 2012.