树的概念及结构
树的概念
树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。
（1）有一个特殊的结点，称为根结点，根节点没有前驱结点
（2）除根节点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm，其中每一个集合Ti(1<= i <= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继
（3）树是递归定义的。
注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构
树的相关概念
节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度；如上图：A的为6
叶节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点；如上图：B、C、H、I...等节点为叶节点
非终端节点或分支节点：度不为0的节点；如上图：D、E、F、G...等节点为分支节点
双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点；如上图：A是B的父节点
孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点；如上图：B是A的孩子节点
兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点；如上图：B、C是兄弟节点
度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度；如上图：树的度为6
节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；
树的高度或深度：树中节点的最大层次；如上图：树的高度为4
堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟节点
节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先
子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙
森林：由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林；
树的表示
树结构相对线性表更复杂，要存储表示起来就更麻烦，既然保存值域，也要保存结点和结点之间的关系，实际中树有很多种表示方式如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法以及孩子兄弟表示法等。常用的是孩子兄弟表示法（也称左孩子右兄弟表示法）。
1. typedef int DataType; 2. struct Node 3. { 4. struct Node* _firstChild1; // 第一个孩子结点 5. struct Node* _pNextBrother; // 指向其下一个兄弟结点 6. DataType _data; // 结点中的数据域 7. };
树在实际中的应用
文件系统的目录使用的就是树结构
二叉树的概念及结构
二叉树概念
一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合满足:
（1）或者为空
（2）由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成
从图中可以看出：
1. 二叉树不存在度大于2的结点
2. 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树
满二叉树
一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为k，且结点总数是
，则它就是满二叉树。
完全二叉树
完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。
二叉树的性质
1. 若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有
个结点.
2. 若规定根节点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大结点数是
.
3. 对任何一二叉树, 如果度为0的叶结点个数为
, 度为2的分支结点个数为
,则有
4. 若规定根节点的层数为1，具有n个结点的满二叉树的深度，
(log以2为底，n+1为对数)。
5. 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：
（1）若i>0，i位置节点的双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根节点编号，无双亲节点
（2）若2i+1=n否则无左孩子
（3）若2i+2=n否则无右孩子
二叉树性质笔试题：
1. 1. 某二叉树共有 399 个结点，其中有 199 个度为 2 的结点，则该二叉树中的叶子结点数为（） 2. A 不存在这样的二叉树 3. B 200 4. C 198 5. D 199 6. 答案为B，n0表示度为0的节点个数，n1表示度为1的节点个数，n2表示度为2的节点个数。则有n0 = n2+1，n2=199，n0=200 7. 8. 2.下列数据结构中，不适合采用顺序存储结构的是（） 9. A 非完全二叉树 10. B 堆 11. C 队列 12. D 栈 13. 答案为B，非完全二叉树即除了最后一层叶子节点之外，其他层的节点有孩子为空的情况，如下图所示，如果采用顺序存储，那么空出来的两个节点就要存储为NULL，顺序表就不连续了
1. 3.在具有 2n 个结点的完全二叉树中，叶子结点个数为（） 2. A n 3. B n+1 4. C n-1 5. D n/2 6. 答案为A，完全二叉树中，n1的个数要么为0要么为1： 7. n0+n1+n2 = 2n 8. n0+n1+n0-1=2n 9. 2n0+(n1-1)=2n，为了保证等号左右两边值都为偶数，那么n1-1=0 10. 则n0=n 11. 12. 4.4.一棵完全二叉树的节点数位为531个，那么这棵树的高度为（） 13. A 11 14. B 10 15. C 8 16. D 12 17. 答案为B，2^k-1>=531,k=10 18. 19. 5.一个具有767个节点的完全二叉树，其叶子节点个数为（） 20. A 383 21. B 384 22. C 385 23. D 386 24. 答案为B， 25. n0+n1+n2 =767 26. n0+n1+n0-1=767 27. 2n0+n1-1=767 28. 2n0+n1=768 , 为了保证等号左右两边值都为偶数，那么n1=0 29. 则n0=384
二叉树的存储结构
二叉树一般可以使用两种结构存储，一种顺序结构，一种链式结构。
（1）顺序结构
顺序结构存储就是使用数组来存储，一般使用数组只适合表示完全二叉树，因为不是完全二叉树会有空间的浪费。而现实中只有堆才会使用数组来存储，二叉树顺序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一棵二叉树（堆的相关概念及实现请查看）。
二叉树的顺序结构的实现请查看文章【数据结构】堆-C语言版
（2）链式存储
完全二叉树和普通二叉树可以用链表来表示，即用链来指示元素的逻辑关系：链表中每个结点由三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所 在的链结点的存储地址 。链式结构又分为二叉链和三叉链，AVL树和红黑树等会用到三叉链。
