1. 封闭性
若 ∀ x∈A，y∈A，都有 xy∈A ，则称二元运算在A上是封闭的
2. 可交换
若 ∀ x∈A，y∈A，都有 xy = yx ，则称二元运算*是可交换的
3. 可结合
若 ∀ x∈A，y∈A，都有 (xy)z=x(yz) ，则称二元运算*是可结合的
4. 可分配
若 ∀ x∈A，y∈A，z∈A，都有 x(y▲z)=(xy)▲(xz) 且 (y▲z)x=(yx)▲(zx) ，则称运算*对于运算▲是可分配的
5. 吸收律
若 ∀ x∈A，y∈A，都有 x(x▲y)=x 且 x▲(xy)=x，则称运算*和运算▲满足吸收律
6. 等幂的
若 ∀ x∈A，都有 xx=x，则称运算是等幂的
7. 幺元
若 ∀ x∈A，∃e∈A，都有 ex=x ，则称e为A中关于运算的左幺元；
若 ∀ x∈A，∃e∈A，都有 xe=x ，则称e为A中关于运算的右幺元；
若A中一个元素e，它既是左幺元又是右幺元，则称e为A中关于运算*的幺元。
显然，∀ x∈A，有 ex=xe=x
8. 零元
若 ∀ x∈A，∃θ∈A，都有 θx=x ，则称θ为A中关于运算的左零元；
若 ∀ x∈A，∃θ∈A，都有 xθ=x ，则称θ为A中关于运算的右零元；
若A中一个元素θ，它既是左零元又是右零元，则称θ为A中关于运算*的零元。
显然，∀ x∈A，有 θx=xθ=θ
注：当A中元素个数大于1，并且存在幺元e和零元θ时，e≠θ
9. 逆元
代数系统<A，>，e是A中关于运算的幺元
若 ∃a∈A，∃b∈A，使得 b*a=e，那么称b为a的左逆元；
若 ∃a∈A，∃b∈A，使得 a*b=e，那么称b为a的右逆元；
若A中一个元素b，它既是a的左逆元又是右逆元，则称b是a的一个逆元。
显然，若b是a的逆元，那么a也是b的逆元
注：左逆元与右逆元不一定相等，一个元素可以只有左逆元而没有右逆元，一个元素不一定只有一个左逆元或右逆元
注：当*是可结合的运算，A中每个元素都有左逆元，则左逆元必是右逆元且每个元素逆元唯一
10. 广群
①封闭性
代数系统<S，>，S非空，是S上的一个二元运算
若运算是封闭的，则称<S，>为广群
11. 半群
①封闭性
②可结合
代数系统<S，>，S非空，是S上的一个二元运算
若运算是封闭的，可结合的，则称<S，>为半群
注：S是一个半群，如果S是一个有限集，则必有a∈S，使得a*a=a
12. 子半群
①半群D
②B⊆D
③B是封闭的
代数系统<S，>，S非空，是S上的一个二元运算
若B⊆S且B是封闭的，那么称B是S的子半群
13. 独异点
①半群
②幺元
含有幺元的半群称为独异点
注：设<S，>是一个独异点，则在关于运算的运算表中任何两行或两列都是不相同的
14. 群
代数系统<G，>，G非空，是G上的一个二元运算
①封闭性
②可结合
③存在幺元
④∀x∈G，都存在逆元
即独异点加逆元=群
注：在群中，除幺元e外，不可能有任何别的等幂元
15. 子群
群G，S是G的非空子集，S也构成群，则S是G的子群
注：S为G的子群，则G中的幺元e必定是S中的幺元
注：若S={e}或S=G，则称S是G的平凡子群
16. 阿贝尔群（交换群）
①群
②可交换
若群<G，>中的运算是可交换的，则称为阿贝尔群
注：G为阿贝尔群的充分必要条件是 ∀a,b∈G，有(ab)(ab)=(aa)(bb)
17. 循环群
①∃a∈群G，所有元素都由a的幂组成
注：a称为循环群的生成元
注：任何一个循环群必定是阿贝尔群
注：一个循环群的生成元可以不是唯一的
18. 陪集
<G，>是一个群，<H，>是群G的一个子群，a∈G，则集合{a}H称为由a所确定的H在G中的左陪集，H{a}称为右陪集，元素a称为陪集的代表元素
19. 拉格朗日定理
若G为有限群，|G|=n，|H|=m，则 m|n （n整除m）
20. 环
代数系统<A，★，* >：
①<A，★>是阿贝尔群
②<A，* >是半群
③运算 * 对于运算★是可分配的
21. 整环
代数系统<A，+，● >：
①<A，+>是阿贝尔群
②<A，●>是可交换独异点，且无零因子
③运算●对于运算＋是可分配的
注：在整环中的无零因子条件等价于乘法消去律，即对于c不等于θ和c●a=c●b，必有a=b
22. 域
代数系统<A，+，● >：
①<A，+> 是阿贝尔群
②<A-{0}，●>是阿贝尔群
③运算●对于运算+是可分配的
注：有限整环必定是域
注：域一定是整环
