线性代数介绍和矩阵运算

1）矩阵的定义

（1）由m×n个数aij(i = 1,2,...,m;j= 1,2,...,n)排成的m行n列的数表A就称为m行n列的矩阵

（2）这m×n个数称作矩阵A的元素，元素aij位于矩阵A的第i行第j列

（3）m×n矩阵A可以记作Am×n，其中m是行数，n是列数，m, n >0

2）特殊矩阵

（1）对于Am×n，如果m = n，即矩阵的行数与列数相等，那么称A为方阵

3）矩阵中的概念

（1）行数与列数都等于n的矩阵称为n阶矩阵，又称做n阶方阵，可以记作An

（2）只有一行的矩阵A1×n称为行矩阵，又叫行向量

（3）同样，只有一列的矩阵An×1称为列矩阵，又叫列向量

4）主对角线

（1）对于方阵，从左上角到右下角的直线，叫做主对角线，主对角线上的元素称为主对角线元素

1）矩阵的加法

2）矩阵的乘法

（1）数与矩阵相乘

（2）矩阵与矩阵相乘

[1] 左矩阵的每一行与右矩阵的每一列,对应每一个元素相乘

[2] AXB,那么有A矩阵m ×n, B矩阵n×k,要求左侧矩阵的列数n,必须等于右侧矩阵的行数n,结果矩阵C为m ×k矩阵。

[3] 计算案例：

3）矩阵的转置

（1）把矩阵A的行换成相同序数的列，得到一个新矩阵，叫做A的转置矩阵，记作A^T，T表示转置

（2）行变列，列变行

（3）A为m×n矩阵，转置之后为n×m矩阵

4）矩阵的运算法则

（1）加法

[1] A + B = B + A

[2] ( A+B ) + C = A + ( B + C )

（2）乘法

[1] ( λμ ) A = λ ( μA )

[2] (λ + μ) A =λA + μA

[3] λ ( A+ B) = λA + λB。注意 乘法没有交换律，因为交换了，左边的列不等于右边的行，所以，可能会出错。

[4] ( AB ) C = A ( BC )

[5] λ (AB) =( λA ) B = A ( λB )

[6] A(B+C) =AB+AC(B + C) A=BA+CA

（3）减法

[1] A-B = A + B×(-1 )

[2] A-A= A +(-A ) = O

（4）转置

[1] ( AB)^T= B^T * A^T。注意这里转置后A和B的顺序要交换下，因为交换了，左边的列不等于右边的行，所以，可能会出错。

（5）除法比较复杂，这里不讲解

5）矩阵的逆

[1] 对于n阶方阵A,如果有一个n阶方阵B,使得AB=BA=E就称矩阵A是可逆的,并把B称为A的逆矩阵。

[2] A的逆矩阵记作A^-1,如果AB= BA=E,则B=A^-1