78. 子集
题目描述
给你一个整数数组 nums ，数组中的元素 互不相同 。返回该数组所有可能的子集（幂集）。
解集 不能 包含重复的子集。你可以按 任意顺序 返回解集。
示例 1：
输入：nums = [1,2,3] 输出：[[],[1],[2],[1,2],[3],[1,3],[2,3],[1,2,3]]
示例 2：
输入：nums = [0] 输出：[[],[0]]
思路分析
如果把 子集问题、组合问题、分割问题都抽象为一棵树的话，那么组合问题和分割问题都是收集树的叶子节点，而子集问题是找树的所有节点！
子集也是一种组合问题，因为它的集合是无序的，子集{1,2} 和 子集{2,1}是一样的。
那么既然是无序，取过的元素不会重复取，写回溯算法的时候，for就要从startIndex开始，而不是从0开始！
以示例中nums = [1,2,3]为例把求子集抽象为树型结构，如下：
回溯三部曲
确定递归参数和返回值
递归参数:需要遍历的数组 vector &nums,每层遍历的起始下标startIndex .
返回值:由于定义全局变量来保存最终结果集以及单一结果,所以并不需要返回值.
确定结束条件
由于这次是寻找所有的组合,所以并不需要结束条件.没递归一层就把对应的结果放入到结果集中.
确定单层递归逻辑
将当前组合数加入单一结果集,递归,回来后进行回溯.进行下一次循环.
参考代码
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; vector<vector<int>> result; vector<int> path; void backtracking(vector<int> &nums,int startIndex){ result.push_back(path); for(int i = startIndex; i < nums.size(); i++){ path.push_back(nums[i]); backtracking(nums,i+1); path.pop_back(); } } vector<vector<int>> subsets(vector<int>& nums) { result.clear(); path.clear(); backtracking(nums,0); return result; }
90. 子集 II
题目描述
给你一个整数数组 nums ，其中可能包含重复元素，请你返回该数组所有可能的子集（幂集）。
解集 不能 包含重复的子集。返回的解集中，子集可以按 任意顺序 排列。
示例 1：
输入：nums = [1,2,2] 输出：[[],[1],[1,2],[1,2,2],[2],[2,2]]
示例 2：
输入：nums = [0] 输出：[[],[0]]
思路分析
这个题的数组nums可能包含重复元素,则需要对树层进行去重. 目前我们有三种去重方法:利用vector used , 利用startIndex, 利用ordered_set ,下面我们将逐一进行演示.
用示例中的[1, 2, 2] 来举例，如图所示： （注意去重需要先对集合排序）
本题不再分析递归三部曲了,关键部分将添加相关注释.
参考代码
方法一: 利用vector used 去重
vector<vector<int>> result; vector<int> path; void backtracking(vector<int> &nums,int startIndex,vector<bool> &used){//参数相比上次就过个used result.push_back(path); for(int i = startIndex; i < nums.size(); i++){ if(i > 0 && nums[i]==nums[i-1] && used[i-1]==false){//如果同一树层元素重复了,则跳过本次循环 continue; } path.push_back(nums[i]); used[i] = false; backtracking(nums,i+1,used); //递归后的回溯 path.pop_back(); used[i] = true; } } vector<vector<int>> subsetsWithDup(vector<int>& nums) { vector<bool> used(nums.size());//定义一个used数组,用来树层去重 result.clear(); path.clear(); sort(nums.begin(),nums.end()); backtracking(nums,0,used); return result; }
方法二:使用startIndex去重
void backtracking(vector<int> &nums,int startIndex){ result.push_back(path); for(int i = startIndex; i < nums.size(); i++){ if(i > startIndex && nums[i]==nums[i-1]){ //使用startIndex去重也可以. continue; } path.push_back(nums[i]); backtracking(nums,i+1,used); path.pop_back(); } }
方法三:使用ordered_set uset去重
vector<vector<int>> result; vector<int> path; void backtracking(vector<int>& nums, int startIndex, vector<bool>& used) { result.push_back(path); unordered_set<int> uset;//定义 for (int i = startIndex; i < nums.size(); i++) { if (uset.find(nums[i]) != uset.end()) {//如果能在uset中找到当前值nums[i],则当前树层重复 continue; } uset.insert(nums[i]);//由于uset仅用于去重,所以后文不用进行回溯.不然就无意义了 path.push_back(nums[i]); backtracking(nums, i + 1, used); path.pop_back(); } } vector<vector<int>> subsetsWithDup(vector<int>& nums) { result.clear(); path.clear(); vector<bool> used(nums.size(), false); sort(nums.begin(), nums.end()); // 去重需要排序 backtracking(nums, 0, used); return result; }
491. 递增子序列
题目描述
给你一个整数数组 nums ，找出并返回所有该数组中不同的递增子序列，递增子序列中 至少有两个元素 。你可以按 任意顺序 返回答案。
数组中可能含有重复元素，如出现两个整数相等，也可以视作递增序列的一种特殊情况。
示例 1：
输入：nums = [4,6,7,7] 输出：[[4,6],[4,6,7],[4,6,7,7],[4,7],[4,7,7],[6,7],[6,7,7],[7,7]]
示例 2：
输入：nums = [4,4,3,2,1] 输出：[[4,4]]
思路分析
本题的一个坑: 不能对nums进行排序, 不然就和示例对不上了.
以[4, 7, 6, 7]这个数组为例，抽象为树形结构如图：
递归三部曲:
确定递归参数和返回值
递归参数:虽然求的是序列,有顺序,但是因为元素不可以重复,并且有一定的顺序(从前往后的方向),所以需要startIndex. 当然也需要递归的数组: vector&nums
返回值: 因为定义了全局变量,所以并不需要
确定递归结束条件
当元素个数 path.size() >= 2,可将临时组合存入结果集中.
确定单层递归逻辑
由于数组中有重复元素,所以需要进行去重.而且是无序的,所以采用 ordered_set uset. 另外序列也需要递增
每次循环判断当前组合数是否本层重复以及递增,如果是,则放入临时组合集=> uset更新=>递归=>回溯=>循环下一个数. 如果不是,则进入跳过当前的数,进行下一个循环.
备注:因为 -100 <= nums[i] <= 100, 数据范围较小所以我们可以使用 int used[201]去重.这个相比ordered_set效率更高.
参考代码
方法一:使用unordered_set uset去重
vector<vector<int>> result; vector<int> path; void backtracking(vector<int>&nums,int startIndex) {//因为元素不可以重复,并且有一定的顺序,所以需要 startIndex参数 if(path.size()>1) { result.push_back(path); //return; 这里不需要return 哦,因为序列是 >= 2 的. } unordered_set<int> uset;//用于去重 for(int i = startIndex; i < nums.size(); i++) { if((!path.empty() && nums[i] < path.back() ) || uset.find(nums[i])!=uset.end()) { //元素不是递增 || 元素和之前的重复 都不可 continue; } path.push_back(nums[i]); uset.insert(nums[i]);//不用进行回溯,只用于判断该元素是否本层中使用过 backtracking(nums,i+1); path.pop_back(); } } vector<vector<int>> findSubsequences(vector<int>& nums) { result.clear(); path.clear(); backtracking(nums,0); return result; }
方法二:使用int[201] used去重
//方法二,使用int数组来去重 vector<vector<int>> result; vector<int> path; void backtracking(vector<int>&nums,int startIndex) {//因为元素不可以重复,并且有一定的顺序,所以需要 startIndex参数 if(path.size()>1) { result.push_back(path); } int used[201] = {0};//用于去重 -100-100 0 200 for(int i = startIndex; i < nums.size(); i++) { if((!path.empty() && nums[i] < path.back() ) || used[nums[i]+100]) { //元素不是递增 || 元素和之前的重复 都不可 continue; } path.push_back(nums[i]); used[nums[i]+100] = 1; backtracking(nums,i+1); path.pop_back(); } } vector<vector<int>> findSubsequences(vector<int>& nums) { result.clear(); path.clear(); backtracking(nums,0); return result; }
46. 全排列
题目描述
给定一个不含重复数字的数组 nums ，返回其 所有可能的全排列 。你可以 按任意顺序 返回答案。
示例 1：
输入：nums = [1,2,3] 输出：[[1,2,3],[1,3,2],[2,1,3],[2,3,1],[3,1,2],[3,2,1]]
示例 2：
输入：nums = [0,1] 输出：[[0,1],[1,0]]
示例 3：
输入：nums = [1] 输出：[[1]]
思路分析
排列里面的数字有一定顺序性,而组合与顺序无关.这决定了startIndex的起始位置.
以[1,2,3]为例，抽象成树形结构如下：
回溯三部曲
确定递归参数和返回值
递归参数:递归的数组vector&nums ,用于标记元素的数组 vector& used
递归返回值:定义全局变量,无需返回值.
确定递归结束条件
全排列要求排列后的数据和数组里面的数据个数相同. 所以结束条件: path.size()==nums.size()
确定单层递归逻辑
判断当前循环的数是否被使用过,没被使用=>放入临时全排列集=>改变used=>递归=>回溯=>循环下一个数
注意:used数组常用于组合中树层/树枝的去重(常伴随着元素先排序), 也常用于排列中数据的标记. ordered_set常用于进行树层去重.
参考代码
vector<int> path; vector<vector<int>> result; void backtracking(vector<int>&nums,vector<bool>& used){//used用于取没有使用过的元素 if(path.size()==nums.size()){ result.push_back(path); return; } for(int i = 0;i < nums.size();i++){ if(!used[i]){ path.push_back(nums[i]); used[i] = true; backtracking(nums,used); path.pop_back(); used[i] = false; } } } vector<vector<int>> permute(vector<int>& nums) { path.clear(); result.clear(); vector<bool> used(nums.size(),false); backtracking(nums,used); return result; }
47. 全排列 II
题目描述
给定一个可包含重复数字的序列 nums ，按任意顺序 返回所有不重复的全排列。
示例 1：
输入：nums = [1,1,2] 输出： [[1,1,2], [1,2,1], [2,1,1]]
示例 2：
输入：nums = [1,2,3] 输出：[[1,2,3],[1,3,2],[2,1,3],[2,3,1],[3,1,2],[3,2,1]]
思路分析
这道题目和 46.全排列 的区别在与给定一个可包含重复数字的序列，要返回所有不重复的全排列,牵涉到树层的去重. 我们可以采取 vector used , 利用ordered_set进行去重.
我以示例中的 [1,1,2]为例 ,抽象为一棵树，去重过程如图
参考代码
方法一:使用vector used去重
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; vector<int> path; vector<vector<int>> result; void backtracking(vector<int>&nums,vector<bool>& used) { if(path.size()==nums.size()) { result.push_back(path); return; } for(int i = 0; i< nums.size(); i++) { //同一树层进行去重 if(i > 0 && nums[i]==nums[i-1] && !used[i-1]) { continue; } if(!used[i]) { path.push_back(nums[i]); used[i] = true; backtracking(nums,used); path.pop_back(); used[i] = false; } } } vector<vector<int>> permuteUnique(vector<int>& nums) { path.clear(); result.clear(); sort(nums.begin(),nums.end());//用到同层去重必排序 vector<bool> used(nums.size(),false); backtracking(nums,used); return result; }
方法二:使用ordered_set进行去重
void backtracking (vector<int>& nums, vector<bool>& used) { if (path.size() == nums.size()) { result.push_back(path); return; } unordered_set<int> uset; // 控制某一节点下的同一层元素不能重复 for (int i = 0; i < nums.size(); i++) { if (uset.find(nums[i]) != uset.end()) { continue; } if (used[i] == false) { uset.insert(nums[i]); // 记录元素 used[i] = true; path.push_back(nums[i]); backtracking(nums, used); path.pop_back(); used[i] = false; } } }
