4. 不同路径（LeetCode-62）
题目
一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。
机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。
问总共有多少条不同的路径？
示例 1：
输入：m = 3, n = 7 输出：28
示例 2：
输入：m = 3, n = 2 输出：3 解释： 从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。 1. 向右 -> 向下 -> 向下 2. 向下 -> 向下 -> 向右 3. 向下 -> 向右 -> 向下
示例 3：
输入：m = 7, n = 3 输出：28
示例 4：
输入：m = 3, n = 3 输出：6
提示：
1 <= m, n <= 100
题目数据保证答案小于等于 2 * 109
思路
五部曲继续
1.dp[m][n] 含义：到达m行n列有 dp[m][n] 条路径
2.机器人每次只能向下或向右移动，所以该点路径条数只与它上面和左边的点有关，是它们路径条数之和
d p [ m ] [ n ] = d p [ m − 1 ] [ n ] + d p [ m ] [ n − 1 ]
初始化时，最左边一列和最上面一行的值肯定为1
要先有 − 1 -1−1 才能有你，肯定正序
略
代码展示
class Solution { public: int uniquePaths(int m, int n) { vector<vector<int>> dp(m, vector<int>(n)); for (int i = 0; i < m; i++) { dp[i][0] = 1; } for (int i = 0; i < n; i++) { dp[0][i] = 1; } for (int i = 1; i < m; i++) { for (int j = 1; j < n; j++) { dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]; } } return dp[m - 1][n - 1]; } };
可以滚动数组优化，可以看出，我们计算是以行为单位一行一行计算的，其实该点值只和它上一行有关，所以创建一个长度为网格列数的数组
d p [ j ] = d p [ j ] + d p [ j − 1 ]
dp[j-1] 最初是欲计算点上左侧的值，被计算后，数值的含义下移，变成欲计算点左侧的值。同理 dp[j] 在计算之前代表欲计算点上侧的值
class Solution { public: int uniquePaths(int m, int n) { vector<int> dp(n); for (int i = 0; i < n; i++) { dp[i] = 1; } for (int i = 1; i < m; i++) { for (int j = 1; j < n; j++) { dp[j] = dp[j] + dp[j - 1]; } } return dp[n - 1]; } };
5. 不同路径Ⅱ（LeetCode-63）
题目
一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。
机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish”）。
现在考虑网格中有障碍物。那么从左上角到右下角将会有多少条不同的路径？
网格中的障碍物和空位置分别用 1 和 0 来表示。
示例 1：
输入：obstacleGrid = [[0,0,0],[0,1,0],[0,0,0]] 输出：2 解释：3x3 网格的正中间有一个障碍物。 从左上角到右下角一共有 2 条不同的路径： 1. 向右 -> 向右 -> 向下 -> 向下 2. 向下 -> 向下 -> 向右 -> 向右
示例 2：
输入：obstacleGrid = [[0,1],[0,0]] 输出：1
提示：
m == obstacleGrid.length
n == obstacleGrid[i].length
1 <= m, n <= 100
obstacleGrid[i][j] 为 0 或 1
思路
五部曲
1.dp[m][n] 含义：到达m行n列有 dp[m][n] 条路径
2.机器人每次只能向下或向右移动，所以该点路径条数只与它上面和左边的点有关，是它们路径条数之和。这里比先前的题多了障碍，所以障碍这点的 dp 值为零
初始化时，最左边一列和最上面一行的值肯定为1。但要注意如果有障碍，那么那点 dp 值要为零。还要注意只要有一个障碍，那它后面的值不用算了，肯定为零
要先有 − 1才能有你，肯定正序
略
代码展示
class Solution { public: int uniquePathsWithObstacles(vector<vector<int>> &obstacleGrid) { int m = obstacleGrid.size(); int n = obstacleGrid[0].size(); vector<vector<int>> dp(m, vector<int>(n)); for (int i = 0; i < m; i++) { if (obstacleGrid[i][0] == 0) { dp[i][0] = 1; } else { dp[i][0] = 0; break; } } for (int i = 0; i < n; i++) { if (obstacleGrid[0][i] == 0) { dp[0][i] = 1; } else { dp[0][i] = 0; break; } } for (int i = 1; i < m; i++) { for (int j = 1; j < n; j++) { if (obstacleGrid[i][j] == 0) { dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]; } else { dp[i][j] = 0; } } } for (int i = 0; i < m; i++) { for (int j = 0; j < n; j++) { cout << dp[i][j] << " "; } cout << endl; } return dp[m - 1][n - 1]; } };
6. 整数拆分（LeetCode-343）
题目
给定一个正整数 n ，将其拆分为 k 个 正整数 的和（ k >= 2 ），并使这些整数的乘积最大化。
返回 你可以获得的最大乘积 。
示例 1:
输入: n = 2 输出: 1 解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1。
示例 2:
输入: n = 10 输出: 36 解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36。
提示:
2 <= n <= 58
思路
1.拆数字 i ，可以得到的最大乘积为 dp[i]
2.可能会是两数相乘所得，也有可能是三数及以上相乘所得。这里就分两种情况取较大值即可。
变量 i 从 1 遍历到 n-1 ，两数相乘情况下结果为 i ∗ ( n − i ) ，三数及以上相乘情况下结果为 i ∗ d p [ n − i ] 。这里的 dp[n-i] 是拆分数字 n-i 的最大乘积，其实是已经拆分过的，它就已经是几个数相加等于 n-i 的情况了，这点要理解，主要是想明白数组的含义
d p [ n ] = m a x ( i ∗ ( n − i ) , i ∗ d p [ n − i ] )
3.dp[2]=1
4.先有 dp[n-i] 再有 dp[n] ，所以从前往后
5.测试用例
代码展示
class Solution { public: int integerBreak(int n) { vector<int> dp(n + 1); dp[2] = 1; for (int i = 3; i <= n; i++) { for (int j = 1; j < i - 1; j++) { // max函数只能两两比较 dp[i] = max(dp[i], max(j * (i - j), j * dp[i - j])); } } return dp[n]; } };
