问题 C: 粉兔找妹子

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题目描述

粉兔的妹子跑了！

于是，粉兔要去找她跑掉的妹子！

粉兔的妹子在福州某中上学 。

福州某中共有 N 个路口 ，编号从 1 到 N。路口之间由 N−1 条双向通行的道路连接，并且任意两个路口之间都是连通的。所有只有一条道路与之连接的路口都是福州某中的出入口。一些路口旁有教学楼。粉兔的妹子每天会从某个入口进去，到某栋教学楼上课，然后再从某个出口离开福州某中 。

由于妹子热爱锻炼身♂体， 所以他总是想使自己一天中走的总路程尽量长。当然，妹子不喜欢走重复的路，所以每天他都不会经过同一条路两次。也就是说，妹子会选择一对出入口使得从到教学楼、出口的距离和最大，并且两条路径不会经过同一条道路。可以证明，在不重复经过同一条道路的前提下，连接两个路口的路径是唯一的，从而它们间的距离也是唯一的。

粉兔通过某种手段控制了福州某中所有教学楼里的监摄像头，并掌握了每天妹子上课的教学楼。现在她想知道，妹子每天分别走了多长的路？

注意两个相同路口的距离为 0。

输入

第一行两个整数 N 和 M，分别表示福州某中的路口个数和总天数。

接下来 N−1 行，每行三个整数，Si，Ti和 Li，代表一条连接路口 Si 和 Ti、长度为 Li的道路 。

接下来 M 行，每一个整数 Ai，代表妹子第 i 天上课的教学楼旁路口编号。

输入数据保证合法。

输出

输出 M 行，分别代表妹子每一天走的路程之和。

样例输入 Copy

8 3

1 2 2

2 3 4

3 4 1

4 5 7

4 6 3

2 7 5

1 8 6

3

6

7

样例输出 Copy

20

16

17

提示

对于3号路口，粉兔的妹子会选择从5号入口出发，依次经过路口4,3,2,1走到8号出口（反着走也可以），总长度：7+1+4+2+6=20；

对于6号路口，妹子选择的路径为6→4→3→2→1→8，总长度：3+1+4+2+6=16；

对于7号路口，妹子选择的路径为7→2→3→4→5，总长度：5+4+1+7=17。

对于全部数据， 2≤N≤5×1 0 5 10^510 5，1≤M≤1 0 5 10^5105，1≤Si,Ti,Ai≤N，1≤Li≤1 0 3 10^3103。

题意：

给出一棵点数为5 e 5的带权树，1 e 5次询问，每次询问经过x节点的最长路径(最长指的是权值和最大)；

思路：

首先要了解用树形D P求树的直径的思路，本题跟其思路相近。

用d p [ u ] [ 0 ]表示从u到以u的子树里的最长距离；

d p [ u ] [ 1 ]表示从u到以u的子树里的次长距离；

根据树形D P的d f s我们就可以处理出这些。

考虑最长路径跟d p数组有什么关系？d p数组仅仅是针对子树里的，也就是向下扩展的，而最长路径还可以向上扩展。所以，我们再从根节点d f s一遍，求经过每个点的最长路径，最后O ( 1 )查询。

首先，根节点的d p一定是他本身的答案，因为对于根节点，我们遍历了他所有的节点；而其他节点，只遍历了从根节点到该节点方向的节点；

从根节点向下递推，假设现在正在更新v节点，而v的父亲节点u节点已经被更新过了，那么先要考虑u节点的最长路径是否经过v节点，如果经过的话，只能用u节点的次长路径去更新v；不经过的话，用u节点的最长路径去更新v，这就是换根的过程。

比如样例中的，假设根节点为1(无根树可以任意指定一个节点作为根节点)。现在d p 数组的值已经通过d f s 1求出来了。

从1推向2，可以发现d p [ 2 ] [ 0 ] + w = d p [ 1 ] [ 0 ]，也就是说1到子树里的最长路径经过2，所以只能用1到子树里的最长路径去更新2，注意还要加上1 , 2的边的权值。

更新完后2的最长距离为12,次长距离为8，两者相加就是经过2的最长路径。

代码：

const int maxn=1e6+7;
vector<PLL>g[maxn];
ll dp[maxn][2],ans[maxn],n,m;
void dfs1(int u,int fa){
  dp[u][0]=dp[u][1]=0;
  for(auto t:g[u]){
    ll nex=t.first,w=t.second;
    if(nex==fa) continue;
    dfs1(nex,u);
    if(dp[u][0]<dp[nex][0]+w){
      dp[u][1]=dp[u][0];
      dp[u][0]=dp[nex][0]+w;
    }
    else if(dp[u][1]<dp[nex][0]+w){
      dp[u][1]=dp[nex][0]+w;
    }
  }
}
void dfs2(int u,int fa){
  for(auto t:g[u]){
    ll v=t.first,w=t.second;
    if(v==fa) continue;
    if(dp[v][0]+w==dp[u][0]){
      ll d=w+dp[u][1];
      if(dp[v][0]<d){
        dp[v][1]=dp[v][0];
        dp[v][0]=d;
      }
      else if(dp[v][1]<d){
        dp[v][1]=d;
      }
    }
    else{
      ll d=w+dp[u][0];
      if(dp[v][0]<d){
        dp[v][1]=dp[v][0];
        dp[v][0]=d;
      }
      else if(dp[v][1]<d){
        dp[v][1]=d;
      }
    }
    ans[v]=dp[v][0]+dp[v][1];
    dfs2(v,u);
  }
}
int main(){
  n=read,m=read;
  rep(i,1,n-1){
    ll u=read,v=read,w=read;
    g[u].push_back({v,w});
    g[v].push_back({u,w});
  }
  dfs1(1,-1);
  ans[1]=dp[1][0]+dp[1][1];
  dfs2(1,-1);
  while(m--){
    int x=read;
    printf("%lld\n",ans[x]);
  }
  return 0;
}