李航统计学习方法 Chapter4 朴素贝叶斯法

2022-11-16 458

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简介： 李航统计学习方法 Chapter4 朴素贝叶斯法

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第4章朴素贝叶斯法

1．朴素贝叶斯法是典型的生成学习方法。生成方法由训练数据学习联合概率分布

P(X,Y)，然后求得后验概率分布P(Y|X)。具体来说，利用训练数据学习P ( X ∣ Y ) 和P ( Y )的估计，得到联合概率分布：

概率估计方法可以是极大似然估计或贝叶斯估计。

2．朴素贝叶斯法的基本假设是条件独立性，

这是一个较强的假设。由于这一假设，模型包含的条件概率的数量大为减少，朴素贝叶斯法的学习与预测大为简化。因而朴素贝叶斯法高效，且易于实现。其缺点是分类的性能不一定很高。

3．朴素贝叶斯法利用贝叶斯定理与学到的联合概率模型进行分类预测。

将输入x 分到后验概率最大的类y

后验概率最大等价于0-1损失函数时的期望风险最小化。

模型：

高斯模型
多项式模型
伯努利模型

朴素贝叶斯法与贝叶斯估计（Bayesian estimation）是不同的概念。

后验概率最大化的含义

朴素贝叶斯将实例分到后验概率最大的类中，等价于期望风险最小化。假设我们选择了0 − 1损失函数

对于我们的期望风险函数，我们可以对齐取条件期望，可以得到

然后为了使期望风险最小化，我们可以对每一个X = x 逐个极小化，可以得到

这样我们就可以得到期望风险最小化等价于后验概率最大化准则

极大似然估计

为了估计状态变量的条件分布，利用贝叶斯法则，有

其中P(X|Y)为给定Y 下X 的后验概率(Posterior)， P(Y|X)称为似然(Likelyhood)，P ( X )称为先验(Prior)。

后验概率最大化的含义
朴素贝叶斯法将实例分到后验概率最大的类中，这等价于期望风险最小化。

贝叶斯估计

对于x的某个特征的取值没有在先验中出现的情况，如果用极大似然估计就会出现所要估计的概率值为0的情况。这样会影响后验概率的计算结果，使分类产生偏差

为了解决这一问题，我们就采用贝叶斯估计

其中我们的λ ≥ 0 ，等价于在随机变量的各个取值的频数上赋予一个整数λ > 0 ,其实就是为了覆盖样本全空间

当λ = 0时，就是极大似然估计

当λ = 1时，这被称为拉普拉斯平滑(Laplacian smoothing)

GaussianNB 高斯朴素贝叶斯

特征的可能性被假设为高斯

概率密度函数：

数学期望(mean)：μ

方差：

高斯模型

接着我们利用朴素贝叶斯的方法来解决iris分类问题

首先对我们的数据进行处理，取出前100个数据进行分类，并且分为训练集和测试集，测试集占30%

import numpy as np
import pandas as pd
from sklearn.datasets import load_iris
from sklearn.model_selection import train_test_split
import math
def create_data():
    iris = load_iris()
    df = pd.DataFrame(iris.data, columns=iris.feature_names)
    df['label'] = iris.target
    df.columns = ['sepal length', 'sepal width', 'petal length', 'petal width', 'label']
    data = np.array(df.iloc[:100, :])
    # print(data)
    return data[:,:-1], data[:,-1]
X, y = create_data()
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.3)

接着可以用我们朴素贝叶斯的方法来解决这个分类问题

class NaiveBayes:
    def __init__(self):
        self.model = None
    # 数学期望
    @staticmethod
    def mean(x):
        return sum(x)/float(len(x))
    # 标准差
    def std(self,x):
        avg = self.mean(x)
        return math.sqrt(sum(math.pow(x_i-avg,2) for x_i in x)/float(len(x)))
    # 概率密度函数
    def gaussian_prob(self,x,mean,std):
        exp = math.pow(math.e, -1*(math.pow(x - mean,2))/(2*std))
        return (1/(math.sqrt(2*math.pi*std)))*exp
    # 计算训练的均值和方差
    def mean_and_std(self,x):
        mean_and_std=[(self.mean(i),self.std(i)) for i in zip(*x)]
        return mean_and_std
    # 分类别求出数学期望和标准差
    def fit(self,x,y):
        labels = list(set(y))
        data = {label:[] for label in labels}
        for f,label in zip(x,y):
            data[label].append(f)
        self.model = {label:self.mean_and_std(value) for label,value in data.items()}
        print("GaussianNB train Done!")
    # 计算概率
    def prob(self,data):
        probabillity = {}
        for label,value in self.model.items():
            probabillity[label] = 1
            for i in range(len(value)):
                mean,std = value[i]
                probabillity[label] *= self.gaussian_prob(data[i],mean,std)
        return probabillity
    # 类别
    def predict(self,x_test):
        #print(self.prob(x_test))
        label = sorted(self.prob(x_test).items(),key=lambda x:x[-1])[-1][0]
        return label
    def score(self,x_test,y_test):
        right = 0
        for x,y in zip(x_test,y_test):
            label = self.predict(x)
            if  label == y:
                right+=1
        return right / float(len(x_test))
model = NaiveBayes()
model.fit(X_train,y_train)
#print(model.model)
print(model.predict([4.4,3.2,1.3,0.2]))
print("在测试集中的准确率：")
print(str(100*(model.score(X_test, y_test)))+"%")

GaussianNB train Done!
0.0
在测试集中的准确率：
100.0%

在编写程序的时候，我们有一些小技巧，第一个技巧是使用 zip ()函数，它将从每个提供的参数中聚合元素。我们使用 * 操作符将数据集传递给 zip ()函数，该操作符将数据集(即列表列表)分离到每一行的单独列表中。函数的作用是: 遍历每一行的每一个元素，并从数据集中返回一列数字，一个聪明的小把戏

scikit-learn实

除此之外，我们可以利用scikit-learn实现我们的模型，除了高斯模型，还有伯努利模型，多项式模型等等

# scikit-learn 实现
from sklearn.naive_bayes import  GaussianNB  # 高斯模型
from sklearn.naive_bayes import BernoulliNB # 伯努利模型
from sklearn.naive_bayes import MultinomialNB # 多项式模型
clf = GaussianNB()
# clf = BernoulliNB()
# clf = MultinomialNB()
clf.fit(X_train,y_train)
print(clf.predict([[4.4,3.2,1.3,0.2]]))

例4.1

我们同样可以用高斯模型来解决我们的例题4.1

import numpy as np
# SML分别对应为123
X = np.array([[1, 1], [1, 2], [1, 2], [1, 1], [1, 1], [2, 1], [2, 2], [2, 2], [2, 3], [2, 3], [3, 3], [3,2], [3,2], [3, 3], [3, 3]])
Y = np.array([-1, -1, 1, 1, -1, -1, -1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, -1])
from sklearn.naive_bayes import GaussianNB
clf = GaussianNB()
#拟合数据
clf.fit(X, Y)
print(clf.predict([[2, 1]]))
print(clf.predict_proba([[2,1]]))