前言

最近在公众号阿里技术上看到一套孤尽老师出的 10道Java测试题（据说阿里 P7 工程师的答题正确率只有 50%），其中有几道题是关于浮点数的，聪明的你，在评论区留下答案吧。

(1)
float a = 0.125f; 
double b = 0.125d;
System.out.println((a - b) == 0.0); 
代码的输出结果是什么？
A. true
B. false
(2)
double c = 0.8;
double d = 0.7;
double e = 0.6;
那么 c-d 与 d-e 是否相等？
A. true
B. false
(3)
System.out.println(1.0 / 0); 的结果是什么？
A. 抛出异常
B. Infinity
C. NaN
(4)
System.out.println(0.0 / 0.0); 的结果是什么？
A. 抛出异常
B. Infinity
C. NaN
D. 1.0
(5) 引用自《技术之瞳》
以下数字在表示为double(8字节的双精度浮点数)时存在舍入误差的有：
A 100 
B 根号2 
C 10^30
D 0.1 
E 0.5
(6) 
写出float x 与“零值”比较的if语句
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1. 相关概念

关于浮点数的相关概念如下，在下面的分享中，我将不重复解释：

2. 计算机中数据的表示方法

在你的Chrome浏览器上按F12，然后找到console，输入表达式0.1 + 0.2，回车
在你的电子计算器上按0.1 + 0.2 =

你会发现前者的结果是0.30000000000000004，而后者的结果是0.3（当然了！）。那么，为什么计算机的准确度，连普通的电子计算器的都比不上？关键在于计算机与计算器使用了不同的数据表示方法。

2.1 n 位二进制可以表示的信息量

对于整数来说，大家都知道8位有符号整数可以表示[-128,127]，8位无符号整数可以表示[0,255]，不管怎么样，8位二进制无论如何也只能表示256个整数。当需要表示257这个数，有且只有两个办法：

1、增加位数，例如9位二进制可表示的数值范围就可以容纳257这个数
2、改变编码规则，例如规定真值是在机器数的基础上加一，这样的话，0000,0000就表示数1，1111,1111就表示数257。（事实上，这就是移码干的事情，3.1节会再提到）

这就是计算机的自有属性，数字计算机只能处理离散数据，二进制的位数直接决定了它能表示的离散数据个数，也决定了它所能表示的信息个数，对于n位二进制数，它可以表示的信息量为2N2^N2N。

同理，我们把问题域扩展到全体实数，8位二进制同样也只能表示256个实数。假如约定这样一种8位编码：最低两位为小数区域，其余是整数区域，这样就有：

000000.00 // 表示 0.0
000000.01 // 表示 0.25
000000.10 // 表示 0.5
000000.11 // 表示 0.75
000001.00 // 表示 1.0
000001.01 // 表示 1.25
... 此处省略250个数
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我们发现，介于0.0到0.25的数字被跳过了，而即使把小数区域的位长扩大到8位、16位、甚至一个极大的位数，也无法充分表示介于0.0到0.25所有的数。这是因为，在0.0到0.25之间的数是连续的，有无限多个数，但是有限的N位长二进制最多只能表示2N2^N2N个信息量，有限的信息量无法表示无限的数据量，这就是现实世界与计算机世界的矛盾。

2.2 定点数表示

实数有两种表示格式，分别是定点数和浮点数。像上面说的这种约定整数部分和小数部分为固定位置的格式，就是定点数表示。

定义：定点数（fixed point numbers） 约定机器数中的小数点总是固定在某个特定的位置。
格式：分为符号位、整数部分、隐含的小数点、小数部分。
特点：整数部分和小数部分位长固定，当需要表示绝对值特大或者特小的数需要很大的空间。

2.3 浮点数表示

我们已经知道32位二进制可以表示的信息量有232≈4∗1092^{32}\approx 4*10^9232≈4∗109，但是很多语言都会宣称它们的32位单精度浮点数的数值范围约为−3.4∗1038～3.4∗1038-3.4*10^{38}～ 3.4*10^{38}−3.4∗1038～3.4∗1038（左右边界），这是因为采用了浮点数格式。

定义：浮点数（floating point numbers）使用科学计数法存储数字，小数点的位置根据指数的大小而浮动。
格式：分为符号位、指数、尾数：

N=2E∗MN=2^E*MN=2E∗M

特点：一部分位作为指数，可以扩大所表示的数值范围
意义：是数字计算机表示实数的格式，并以IEEE 754 (IEEE Standard for Binary Floating-Point Arithmetic)为标准。

2.4 定点数和浮点数的区别

表示范围：浮点数一部分位为指数，相同位长，浮点数格式所能表示的数值范围远远大于定点数格式；
精度大小：浮点数格式只有一部分位是有效数值位，相同位长，浮点格式的精度比定点格式低；
运算复杂度：浮点数主要包括指数和尾数两部分，运算时需要对阶、尾数计算、规格化等步骤，浮点运算比定点运算复杂；
溢出：定点运算在数超过可表示数值范围即发生溢出；在浮点运算中，只有规格化后数值超过指数所能表示的范围才溢出。

2.5 计算机表示实数的步骤

前面讲到相关概念时提到了实数的概念，具体如下：

一个虚数上相当于两个实数，所以我们只需要关心实数在计算机中的表示即可，将一个实数装载入计算机需要分为三个步骤：

2.5.1 转换为二进制数格式

这个步骤可能损失精度，换句话说，有些数会损失精度，而有些数不会，这取决于表示这个数需要的信息量和浮点数的存储格式

无理数（无限不循环小数） 包含的信息量是无限的，例如圆周率π\piπ，没有任何一本书能够写到圆周率最后一位，java.lang.Math.PI也只是π\piπ的近似值，类似的，使用有限的二进制位自然无法精确表示；
有限循环小数包含的信息量是有限的，它的信息量分为整数部分+小数不循环部分+小数循环部分，例如1.8333333...=1.83‾1.8333333... = 1.8\overline{3}1.8333333...=1.83。但是浮点数的表示方法分为符号位、指数区域和尾数区域，并不会单独用一块区域来存储循环的部分，因此有限循环小数也无法精确表示；
最后剩下整数和有限小数，它们包含的信息量也是有限的，关键看是否有因子5。举两个例子：0.1和1万亿，请问哪个数能用二进制数精确表示？

从十进制看，0.1拥有2个信息量（个位数为0，第一位小数为1），1万亿拥有一万亿个信息量，二选一的话，肯定是选择信息量更低的0.1。但是，从二进制看，我们会发现0.1转换为二进制居然是一个无限循环小数0.00011‾0.0\overline{0011}0.00011（将整数部分除2取余、小数部分乘2取整来完成转换），所以答案是：1万亿可以精确表示，而0.1无法精确表示！

事实上，在0.1 到 0.9 的 9 个小数中，只有 0.5 可以用二进制精确的表示。怎么理解呢？我们把1想象成一个圆，在十进制里，它可以划分为10等分；但在二进制里，它只能划分为2等分。也就是说二进制里一位，要么表示0，要么表示一半，它没有办法像十进制那样表示3/10、4/10、6/10...... 1的一半在十进制里是什么？0.5，所以二进制可以精确表示0.5，任何包含因子5的数都可以用二进制精确表示。无法精确表示的数字，存储值只能是真实值的近似表示。

提示： 类似地，思考下十进制数格式可以精确表示1/3吗？

2.5.2 转换为二进制科学计数法表示

这个步骤将二进制小数转换为规范化的科学计数法表示：N=a∗BEN = a * B^EN=a∗BE，因为只是写法的转换，所以这一步没有精度损失。

2.5.3 转换为IEEE 754 标准格式

IEEE 754严格规定了尾数域和指数域可表示的大小，位数有限，意味着信息量是有限的。有些数需要的二进制数据量巨大，在这个步骤自然会损失精度，具体如下：

大于浮点数可以表示的最大绝对值：上溢（溢出到±∞\pm\infty±∞）
小于浮点数可以表示的最小绝对值：下溢（溢出到±0\pm0±0）
尾数有效位数超过尾数域位数（另外还有隐含的整数位1）：舍入误差

3. IEEE 754 标准的浮点数

IEEE 二进制浮点数算术标准（IEEE 754）是广泛使用的浮点数运算标准，是大多数高级语言的现行浮点运算标准，例如C/C++、Java、JavaScript等。

3.1 一般格式

浮点数格式的关键是科学计数法格式：N=a∗BEN = a * B^EN=a∗BE，其中：

a称为尾数(mantissa)，或称有效数字(significand)
B称为基数(base)，在二进制数中，基数是2
E称为指数(exponent)

一个数的科学计数法表示是不唯一的，举个例子，对于二进制数1111.0000(2)1111.0000_{(2)}1111.0000(2)来说，以下都是合法的科学计数法表示：111.1∗2111.1*2111.1∗2、11.11∗2211.11*2^211.11∗22、11110∗2−111110*2^{-1}11110∗2−1，但这些都不是规格化的表示，唯一规格化的表示为：1.111∗231.111*2^31.111∗23。

对于一个科学计数法表示，当尾数a的整数部分有且仅有一位有效数字时，我们称它是规格化的。由于0在数字的最左边是无效的，而在二进制的世界里只有0和1，因此，二进制数使用规格化的科学计数法时，整数部分固定为1。

既然整数部分1是固定的，那么就没有必要存储整数部分的信息了。正因如此，IEEE 754 标准的浮点数采用隐藏位的策略，整数部分的1是隐含的，不需要占用一位比特，这样是使得尾数可以多一位有效数。

综上，IEEE 754 浮点数的一般格式如下：N=(−1)s∗1.f∗2EN = (-1)^s*1.f*2^EN=(−1)s∗1.f∗2E

现在，我们已经知道浮点数划分的三个区域，现在我们来看这三个区域是如何求值的：

符号位：0表示正，1表示负
指数区域：移码指数区域采用移码表示：E=机器数−biasE = 机器数 - biasE=机器数−bias，偏移值bias=2位长−1−1bias=2^{位长-1}-1bias=2位长−1−1例如位长为8时，bias=127bias=127bias=127，位长为11时，bias=1023bias=1023bias=1023。注意：指数域全0和全1为特殊值
尾数区域：隐藏整数位的原码尾数区域采用原码表示：1.f=1+机器数1.f = 1 + 机器数1.f=1+机器数

举个例子，十进制数100(10)100_{(10)}100(10)转换为二进制为1.100100∗2(2)61.100100*2^6_{(2)}1.100100∗2(2)6。这里推荐一个站点：浮点数转换器，它可以很方便地对比实数的真值与机器数表示，如下图所示：

3.2 两种常用格式

前面讲的是IEEE 754 浮点数的一般格式，其中最常用的是32位单精度浮点数和64位双精度浮点数，在高级语言中通常代表float和double两种数据类型（例如C/C++、Java）,在有些语言中只有一种数字格式number（例如JavaScript/TypeScript）。

单精度单精度浮点数有8位指数，23位尾数，再加上隐藏的整数1，总共有24位二进制精度
双精度双精度浮点数有11位指数，52位尾数，再加上隐藏的整数1，总共有53位二进制精度，具体如下：

3.3 特殊值

在 IEEE 754 标准规定指数区域全0 或全1为特殊值，具体如下：

非规范化数（Denormalized Number）

定义：指数域全0，尾数域不为0（去掉隐含整数域为1的约定）
意义：可以保存绝对值更小的数，所有可表示的浮点数的差值都可以表示

+0/-0

定义：指数域全0，尾数域全0（去掉隐含整数域为1的约定）。IEEE 754 未要求具体的尾数域，意味着NaN不是一个而是一族。
意义：符号位为0是+0，符号位为1是-0，在涉及无穷的运算中避免丢失符号信息，例如11/x=x\frac{1}{1/x} = x1/x1=x，如果0不区分正负，在x=±∞x=\pm\inftyx=±∞时不成立

正负无穷（Infinity）

定义：指数域全1，尾数全0
意义：用于表达计算中产生的上溢（overflow），使得计算中出现上溢不至于终止计算
产生：除了NaN外的非零值除以0，其结果为正负无穷

NaN（Not a Number）

定义：指数域全1，尾数域不为0
意义：表示计算中的错误情况，例如0.00.0\frac{0.0}{0.0}0.00.0、2\sqrt22，使得计算中出现错误不至于终止计算
特点：NaN是无序的，比较操作符在任一操作数为NaN是为false，!=在任一操作数为NaN时为true，这意味着NaN != NaN。

4. 总结

为什么 0.1 + 0.2 != 0.3 呢？首先，0.1 和 0.2 这两个实数无法用二进制精确表示。在二进制的世界里，只有包含因子 5 的十进制数才有可能精确表示，而 0.1 和 0.2 转换为二进制后是无限循环小数，在计算机中存储的值只能是真实值的近似表示，这里是第一次精度丢失；其次，计算机浮点数采用了 IEEE 754 标准格式，IEEE 754 严格规定了尾数域和指数域可表示的大小，位数有限，意味着可表示的信息量是有限的，换句话说就会存在三种误差：上溢、下溢和舍入误差。而 0.1 + 0.2 的结果的尾数域部分刚好超过了尾数域位数，超过位数的部分舍去，存在舍入误差，这里是第二次精度丢失。

计算机组成原理 | 为什么浮点数运算不精确？（阿里笔试）