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C 题 古代玻璃制品的成分分析与鉴别
2022 年高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目
丝绸之路是古代中西方文化交流的通道，其中玻璃是早期贸易往来的宝贵物证。早期的玻 璃在西亚和埃及地区常被制作成珠形饰品传入我国， 我国古代玻璃吸收其技术后在本土就地取 材制作，因此与外来的玻璃制品外观相似，但化学成分却不相同。
玻璃的主要原料是石英砂，主要化学成分是二氧化硅(SiO2 ) 。由于纯石英砂的熔点较高， 为了降低熔化温度，在炼制时需要添加助熔剂。古代常用的助熔剂有草木灰、天然泡碱、硝石 和铅矿石等，并添加石灰石作为稳定剂，石灰石煅烧以后转化为氧化钙(CaO)。添加的助熔 剂不同，其主要化学成分也不同。例如，铅钡玻璃在烧制过程中加入铅矿石作为助熔剂， 其氧 化铅(PbO)、氧化钡(BaO) 的含量较高， 通常被认为是我国自己发明的玻璃品种，楚文化 的玻璃就是以铅钡玻璃为主。钾玻璃是以含钾量高的物质如草木灰作为助熔剂烧制而成的，主 要流行于我国岭南以及东南亚和印度等区域。
古代玻璃极易受埋藏环境的影响而风化。在风化过程中， 内部元素与环境元素进行大量交 换，导致其成分比例发生变化， 从而影响对其类别的正确判断。如图 1 的文物标记为表面无风 化，表面能明显看出文物的颜色、纹饰， 但不排除局部有较浅的风化； 图 2 的文物标记为表面 风化， 表面大面积灰黄色区域为风化层，是明显风化区域，紫色部分是一般风化表面。在部分 风化的文物中， 其表面也有未风化的区域。
图 1 未风化的蜻蜓眼玻璃珠样品 图 2 风化的玻璃棋子样品
现有一批我国古代玻璃制品的相关数据，考古工作者依据这些文物样品的化学成分和其他 检测手段已将其分为高钾玻璃和铅钡玻璃两种类型。附件表单 1 给出了这些文物的分类信息， 附件表单 2 给出了相应的主要成分所占比例(空白处表示未检测到该成分) 。这些数据的特点 是成分性，即各成分比例的累加和应为 100%，但因检测手段等原因可能导致其成分比例的累 加和非 100%的情况。本题中将成分比例累加和介于 85%~105%之间的数据视为有效数据。
请你们团队依据附件中的相关数据进行分析建模， 解决以下问题：
问题 1 对这些玻璃文物的表面风化与其玻璃类型、纹饰和颜色的关系进行分析； 结合玻 璃的类型，分析文物样品表面有无风化化学成分含量的统计规律，并根据风化点检测数据，预 测其风化前的化学成分含量。
问题 2 依据附件数据分析高钾玻璃、铅钡玻璃的分类规律； 对于每个类别选择合适的化 学成分对其进行亚类划分，给出具体的划分方法及划分结果，并对分类结果的合理性和敏感性 进行分析。
问题 3 对附件表单 3 中未知类别玻璃文物的化学成分进行分析， 鉴别其所属类型，并对
分类结果的敏感性进行分析。
问题 4 针对不同类别的玻璃文物样品， 分析其化学成分之间的关联关系， 并比较不同类 别之间的化学成分关联关系的差异性。
附件
表单 1 玻璃文物的基本信息
表单 2 已分类玻璃文物的化学成分比例，其中
(1) 文物采样点为该编号文物表面某部位的随机采样，其风化属性与附件表单 1 中相应文 物一致。
(2) 部位 1 和部位 2 是文物造型上不同的两个部位， 其成分与含量可能存在差异。
(3) 未风化点是风化文物表面未风化区域内的点。
(4) 严重风化点取自风化层。
表单 3 未分类玻璃文物的化学成分比例
