319. 灯泡开关 : 经典数论推论题

题目描述

这是 LeetCode 上的 319. 灯泡开关 ，难度为 中等。

Tag : 「数学」

初始时有 n 个灯泡处于关闭状态。第一轮，你将会打开所有灯泡。接下来的第二轮，你将会每两个灯泡关闭一个。

第三轮，你每三个灯泡就切换一个灯泡的开关（即，打开变关闭，关闭变打开）。

第 i 轮，你每 i 个灯泡就切换一个灯泡的开关。直到第 n 轮，你只需要切换最后一个灯泡的开关。

找出并返回 n 轮后有多少个亮着的灯泡。

示例 1：

输入：n = 3
输出：1 
解释：
初始时, 灯泡状态 [关闭, 关闭, 关闭].
第一轮后, 灯泡状态 [开启, 开启, 开启].
第二轮后, 灯泡状态 [开启, 关闭, 开启].
第三轮后, 灯泡状态 [开启, 关闭, 关闭]. 
你应该返回 1，因为只有一个灯泡还亮着。
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示例 2：

输入：n = 0
输出：0
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示例 3：

输入：n = 1
输出：1
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提示：

• 0 <= n <= 10^90<=n<=109

数学

这是一道经典的数论题。

整理一下题意：第 ii 轮改变所有编号为 ii 的倍数的灯泡的状态（其中灯泡编号从 11 开始）。

一个编号为 xx 的灯泡经过 nn 轮后处于打开状态的充要条件为「该灯泡被切换状态次数为奇数次」。

同时，一个灯泡切换状态的次数为其约数的个数（去重）。

于是问题转换为：在 [1,n][1,n] 内有多少个数，其约数的个数为奇数。这些约数个数为奇数的灯泡就是最后亮着的灯泡。

又根据「约数」的定义，我们知道如果某个数 kk 为 xx 的约数，那么 \frac{x}{k}kx 亦为 xx 的约数，即「约数」总是成对出现，那么某个数的约数个数为奇数，意味着某个约数在分解过程中出现了 22 次，且必然重复出现在同一次拆解中，即 k = \frac{x}{k}k=kx，即有 xx 为完全平方数（反之亦然）。

问题最终转换为：在 [1,n][1,n] 中完全平方数的个数为多少。

根据数论推论，[1,n][1,n] 中完全平方数的个数为 \left \lfloor \sqrt{n} \right \rfloor⌊n⌋，即最后亮着的灯泡数量为 \left \lfloor \sqrt{n} \right \rfloor⌊n⌋。

代码：

class Solution {
    public int bulbSwitch(int n) {
        return (int)Math.sqrt(n);
    }
}
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• 时间复杂度：O(1)O(1)
• 空间复杂度：O(1)O(1)

最后

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