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本文将说明单变量和多变量金融时间序列的不同模型，特别是条件均值和条件协方差矩阵、波动率的模型。
均值模型
本节探讨条件均值模型。
iid模型
我们从简单的iid模型开始。iid模型假定对数收益率xt为N维高斯时间序列：
均值和协方差矩阵的样本估计量分别是样本均值
和样本协方差矩阵
我们从生成数据开始，熟悉该过程并确保估计过程给出正确的结果（即完整性检查）。然后使用真实的市场数据并拟合不同的模型。
让我们生成合成iid数据并估算均值和协方差矩阵：
# 生成综合收益数据X <- rmvnorm(n = T, mean = mu, sigma = Sigma)# 样本估计（样本均值和样本协方差矩阵）mu\_sm <- colMeans(X)Sigma\_scm <- cov(X)# 误差norm(mu\_sm - mu, "2")#> \[1\] 2.44norm(Sigma\_scm - Sigma, "F")#> \[1\] 70.79
现在，让我们针对不同数量的观测值T再做一次：
# 首先生成所有数据X <- rmvnorm(n = T\_max, mean = mu, sigma = Sigma)# 现在遍历样本的子集for (T\_ in T\_sweep) { # 样本估算 mu\_sm <- colMeans(X_) Sigma\_scm <- cov(X\_) # 计算误差 error\_mu\_vs\_T <- c(error\_mu\_vs\_T, norm(mu\_sm - mu, "2")) error\_Sigma\_vs\_T <- c(error\_Sigma\_vs\_T, norm(Sigma\_scm - Sigma, "F"))# 绘图plot(T\_sweep, error\_mu\_vs\_T, main = "mu估计误差",
plot(T\_sweep, error\_Sigma\_vs\_T main = "Sigma估计中的误差", ylab = "误差"
单变量ARMA模型
对数收益率xt上的ARMA（p，q）模型是
其中wt是均值为零且方差为σ2的白噪声序列。模型的参数是系数ϕi，θi和噪声方差σ2。
请注意，ARIMA（p，d，q）模型是时间差分为d阶的ARMA（p，q）模型。因此，如果我们用xt代替对数价格，那么先前的对数收益模型实际上就是ARIMA（p，1，q）模型，因为一旦对数价格差分，我们就获得对数收益。
rugarch生成数据
我们将使用rugarch包 生成单变量ARMA数据，估计参数并进行预测。
首先，我们需要定义模型：
# 指定具有给定系数和参数的AR（1）模型#> #> *----------------------------------*#> * ARFIMA Model Spec *#> *----------------------------------*#> Conditional Mean Dynamics#> ------------------------------------#> Mean Model : ARFIMA(1,0,0)#> Include Mean : TRUE #> #> Conditional Distribution#> ------------------------------------#> Distribution : norm #> Includes Skew : FALSE #> Includes Shape : FALSE #> Includes Lambda : FALSE#> Level Fixed Include Estimate LB UB#> mu 0.01 1 1 0 NA NA#> ar1 -0.90 1 1 0 NA NA#> ma 0.00 0 0 0 NA NA#> arfima 0.00 0 0 0 NA NA#> archm 0.00 0 0 0 NA NA#> mxreg 0.00 0 0 0 NA NA#> sigma 0.20 1 1 0 NA NA#> alpha 0.00 0 0 0 NA NA#> beta 0.00 0 0 0 NA NA#> gamma 0.00 0 0 0 NA NA#> eta1 0.00 0 0 0 NA NA#> eta2 0.00 0 0 0 NA NA#> delta 0.00 0 0 0 NA NA#> lambda 0.00 0 0 0 NA NA#> vxreg 0.00 0 0 0 NA NA#> skew 0.00 0 0 0 NA NA#> shape 0.00 0 0 0 NA NA#> ghlambda 0.00 0 0 0 NA NA#> xi 0.00 0 0 0 NA NAfixed.pars#> $mu#> \[1\] 0.01#> #> $ar1#> \[1\] -0.9#> #> $sigma#> \[1\] 0.2true_params#> mu ar1 sigma #> 0.01 -0.90 0.20
然后，我们可以生成时间序列：
# 模拟一条路径apath(spec, n.sim = T)# 转换为xts并绘图plot(synth\_log\_returns, main = "ARMA模型的对数收益率"plot(synth\_log\_prices, main = "ARMA模型的对数价格"
ARMA模型
现在，我们可以估计参数（我们已经知道）：
# 指定AR（1）模型arfimaspec(mean.model = list(armaOrder = c(1,0), include.mean = TRUE))# 估计模型#> mu ar1 sigma #> 0.0083 -0.8887 0.1987#> mu ar1 sigma #> 0.01 -0.90 0.20
我们还可以研究样本数量T对参数估计误差的影响：
# 循环for (T_ in T\_sweep) { estim\_coeffs\_vs\_T <- rbind(estim\_coeffs\_vs\_T, coef(arma\_fit)) error\_coeffs\_vs\_T <- rbind(error\_coeffs\_vs\_T, abs(coef(arma\_fit) - true\_params)/true\_params)# 绘图matplot(T\_sweep, estim\_coeffs\_vs_T, main = "估计的ARMA系数", xlab = "T", ylab = "值",
matplot(T\_sweep, 100*error\_coeffs\_vs\_T, main = "估计ARMA系数的相对误差", xlab = "T", ylab = "误差 (%)",
首先，真正的μ几乎为零，因此相对误差可能显得不稳定。在T = 800个样本之后，其他系数得到了很好的估计。
ARMA预测
为了进行健全性检查，我们现在将比较两个程序包 Forecast 和 rugarch的结果：
# 指定具有给定系数和参数的AR（1）模型spec(mean.model = list(armaOrder = c(1,0), include.mean = TRUE), fixed.pars = list(mu = 0.005, ar1 = -0.9, sigma = 0.1))# 生成长度为1000的序列arfima(arma\_fixed\_spec, n.sim = 1000)@path$seriesSim# 使用 rugarch包指定和拟合模型spec(mean.model = list(armaOrder = c(1,0), include.mean = TRUE))# 使用包“ forecast”拟合模型#> ARIMA(1,0,0) with non-zero mean #> #> Coefficients:#> ar1 mean#> -0.8982 0.0036#> s.e. 0.0139 0.0017#> #> sigma^2 estimated as 0.01004: log likelihood=881.6#> AIC=-1757.2 AICc=-1757.17 BIC=-1742.47# 比较模型系数#> ar1 intercept sigma #> -0.898181148 0.003574781 0.100222964#> mu ar1 sigma #> 0.003605805 -0.898750138 0.100199956
确实，这两个软件包给出了相同的结果。
ARMA模型选择
在先前的实验中，我们假设我们知道ARMA模型的阶数，即p = 1和q = 0。实际上，阶数是未知的，因此必须尝试不同的阶数组合。阶数越高，拟合越好，但这将不可避免地导致过度拟合。已经开发出许多方法来惩罚复杂性的增加以避免过度拟合，例如AIC，BIC，SIC，HQIC等。
# 尝试不同的组合# 查看排名#> AR MA Mean ARFIMA BIC converged#> 1 1 0 1 0 -0.38249098 1#> 2 1 1 1 0 -0.37883157 1#> 3 2 0 1 0 -0.37736340 1#> 4 1 2 1 0 -0.37503980 1#> 5 2 1 1 0 -0.37459177 1#> 6 3 0 1 0 -0.37164609 1#> 7 1 3 1 0 -0.37143480 1#> 8 2 2 1 0 -0.37107841 1#> 9 3 1 1 0 -0.36795491 1#> 10 2 3 1 0 -0.36732669 1#> 11 3 2 1 0 -0.36379209 1#> 12 3 3 1 0 -0.36058264 1#> 13 0 3 1 0 -0.11875575 1#> 14 0 2 1 0 0.02957266 1#> 15 0 1 1 0 0.39326050 1#> 16 0 0 1 0 1.17294875 1#选最好的armaOrder#> AR MA #> 1 0
在这种情况下，由于观察次数T = 1000足够大，因此阶数被正确地检测到。相反，如果尝试使用T = 200，则检测到的阶数为p = 1，q = 3。
ARMA预测
一旦估计了ARMA模型参数ϕi ^ i和θ^j，就可以使用该模型预测未来的值。例如，根据过去的信息对xt的预测是
并且预测误差将为xt-x ^ t = wt（假设参数已被估计），其方差为σ2。软件包 rugarch 使对样本外数据的预测变得简单：
# 估计模型（不包括样本外）coef(arma\_fit)#> mu ar1 sigma #> 0.007212069 -0.898745183 0.200400119# 整个样本外的预测对数收益forecast\_log\_returns <- xts(arma\_fore@forecast$seriesFor\[1, \], dates\_out\_of\_sample)# 恢复对数价格prev\_log\_price <- head(tail(synth\_log\_prices, out\_of\_sample+1), out\_of\_sample)# 对数收益图plot(cbind("fitted" = fitted(arma\_fit),# 对数价格图plot(cbind("forecast" = forecast\_log\_prices, main = "对数价格预测", legend.loc = "topleft")
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多元VARMA模型
对数收益率xt上的VARMA（p，q）模型是
其中wt是具有零均值和协方差矩阵Σw的白噪声序列。该模型的参数是矢量/矩阵系数ϕ0，Φi，Θj和噪声协方差矩阵Σw。
比较
让我们首先加载S＆P500：
# 加载标普500数据head(SP500\_index\_prices)#> SP500#> 2012-01-03 1277.06#> 2012-01-04 1277.30#> 2012-01-05 1281.06#> 2012-01-06 1277.81#> 2012-01-09 1280.70#> 2012-01-10 1292.08# 准备训练和测试数据logreturns\_trn <- logreturns\[1:T\_trn\]logreturns\_tst <- logreturns\[-c(1:T\_trn)\]# 绘图{ plot(logreturns, addEventLines(xts("训练"
现在，我们使用训练数据（即，对于t = 1，…，Ttrnt = 1，…，Ttrn）来拟合不同的模型（请注意，通过指示排除了样本外数据 out.sample = T_tst）。特别是，我们将考虑iid模型，AR模型，ARMA模型以及一些ARCH和GARCH模型（稍后将对方差建模进行更详细的研究）。
# 拟合i.i.d.模型 coef(iid\_fit)#> mu sigma #> 0.0005712982 0.0073516993mean(logreturns\_trn)#> \[1\] 0.0005681388sd(logreturns\_trn)#> \[1\] 0.007360208# 拟合AR（1）模型coef(ar\_fit)#> mu ar1 sigma #> 0.0005678014 -0.0220185181 0.0073532716# 拟合ARMA（2,2）模型coef(arma\_fit)#> mu ar1 ar2 ma1 ma2 sigma #> 0.0007223304 0.0268612636 0.9095552008 -0.0832923604 -0.9328475211 0.0072573570# 拟合ARMA（1,1）+ ARCH（1）模型coef(arch\_fit)#> mu ar1 ma1 omega alpha1 #> 6.321441e-04 8.720929e-02 -9.391019e-02 4.898885e-05 9.986975e-02#拟合ARMA（0,0）+ARCH（10）模型coef(long\_arch\_fit)#> mu omega alpha1 alpha2 alpha3 alpha4 alpha5 #> 7.490786e-04 2.452099e-05 6.888561e-02 7.207551e-02 1.419938e-01 1.909541e-02 3.082806e-02 #> alpha6 alpha7 alpha8 alpha9 alpha10 #> 4.026539e-02 3.050040e-07 9.260183e-02 1.150128e-01 1.068426e-06# 拟合ARMA（1,1）+GARCH（1,1）模型coef(garch_fit)#> mu ar1 ma1 omega alpha1 beta1 #> 6.660346e-04 9.664597e-01 -1.000000e+00 7.066506e-06 1.257786e-01 7.470725e-01
我们使用不同的模型来预测对数收益率：
# 准备预测样本外周期的对数收益# i.i.d.模型预测forecast(iid\_fit, n.ahead = 1, n.roll = T\_tst - 1) dates\_out\_of\_sample)# AR（1）模型进行预测forecast(ar\_fit, n.ahead = 1, n.roll = T\_tst - 1) dates\_out\_of\_sample)# ARMA（2,2）模型进行预测forecast(arma\_fit, n.ahead = 1, n.roll = T\_tst - 1) dates\_out\_of\_sample)# 使用ARMA（1,1）+ ARCH（1）模型进行预测forecast(arch\_fit, n.ahead = 1, n.roll = T\_tst - 1) dates\_out\_of\_sample)# ARMA（0,0）+ARCH（10）模型预测forecast(long\_arch\_fit, n.ahead = 1, n.roll = T\_tst - 1) dates\_out\_of\_sample)# ARMA（1,1）+GARCH（1,1）模型预测forecast(garch\_fit, n.ahead = 1, n.roll = T\_tst - 1) dates\_out\_of_sample)
我们可以计算不同模型的预测误差（样本内和样本外）：
print(error_var)#> in-sample out-of-sample#> iid 5.417266e-05 8.975710e-05#> AR(1) 5.414645e-05 9.006139e-05#> ARMA(2,2) 5.265204e-05 1.353213e-04#> ARMA(1,1) + ARCH(1) 5.415836e-05 8.983266e-05#> ARCH(10) 5.417266e-05 8.975710e-05#> ARMA(1,1) + GARCH(1,1) 5.339071e-05 9.244012e-05
我们可以观察到，随着模型复杂度的增加，样本内误差趋于变小（由于拟合数据的自由度更高），尽管差异可以忽略不计。重要的实际上是样本外误差：我们可以看到，增加模型复杂度可能会得出较差的结果。就预测收益的误差而言，似乎最简单的iid模型已经足够了。
最后，让我们展示一些样本外误差的图表：
plot(error, main = "不同模型收益预测的样本外误差",
请注意，由于我们没有重新拟合模型，因此随着时间的发展，误差越大（对于ARCH建模尤其明显）。
滚动窗口比较
让我们首先通过一个简单的示例比较静态预测与滚动预测的概念：
#ARMA（2,2）模型spec <- spec(mean.model = list(armaOrder = c(2,2), include.mean = TRUE))# 静态拟合和预测ar\_static\_fit <- fit(spec = spec, data = logreturns, out.sample = T\_tst)#滚动拟合和预测modelroll <- aroll(spec = spec, data = logreturns, n.ahead = 1, # 预测图plot(cbind("static forecast" = ar\_static\_fore\_logreturns, main = "使用ARMA（2,2）模型进行预测", legend.loc = "topleft")# 预测误差图plot(error_logreturns, col = c("black", "red"), lwd = 2, main = "ARMA（2,2）模型的预测误差", legend.loc = "topleft")
我们可以清楚地观察到滚动窗口过程对时间序列的影响。
现在，我们可以在滚动窗口的基础上重做所有模型的所有预测：
# 基于i.i.d.模型的滚动预测roll(iid\_spec, data = logreturns, n.ahead = 1, forecast.length = T\_t# AR（1）模型的滚动预测roll(ar\_spec, data = logreturns, n.ahead = 1, forecast.length = T\_tst, # ARMA（2,2）模型的滚动预测roll(arma\_spec, data = logreturns, n.ahead = 1, forecast.length = T\_tst, # ARMA（1,1）+ ARCH（1）模型的滚动预测roll(arch\_spec, data = logreturns, n.ahead = 1, forecast.length = T\_tst, refit.every = 50, refit.win# ARMA（0,0）+ ARCH（10）模型的滚动预测roll(long\_arch\_spec, data = logreturns, n.ahead = 1, forecast.length = T\_tst, refit.every = 50, # ARMA（1,1）+ GARCH（1,1）模型的滚动预测roll(garch\_spec, data = logreturns, n.ahead = 1, forecast.length = T_tst, refit.every = 50, refit.window
让我们看看滚动基准情况下的预测误差：
print(rolling\_error\_var)#> in-sample out-of-sample#> iid 5.417266e-05 8.974166e-05#> AR(1) 5.414645e-05 9.038057e-05#> ARMA(2,2) 5.265204e-05 8.924223e-05#> ARMA(1,1) + ARCH(1) 5.415836e-05 8.991902e-05#> ARCH(10) 5.417266e-05 8.976736e-05#> ARMA(1,1) + GARCH(1,1) 5.339071e-05 8.895682e-05
和一些图表：
plot(error_logreturns, main = "不同模型的滚动预测误差", legend.loc = "topleft"
我们看到，现在所有模型都拟合了时间序列。此外，我们在模型之间没有发现任何显着差异。
R语言用多元ARMA,GARCH ,EWMA, ETS,随机波动率SV模型对金融时间序列数据建模(下)：https://developer.aliyun.com/article/1490540
