【代数学作业4-汇总版】范数与迹

【代数学作业4】范数与迹

• 写在最前面
• 1. 极小多项式

• 1. 对 α \alphaα 的极小多项式
• 2. 对 α + 1 \alpha + 1α+1 的极小多项式
• 3. 对 α 2 + α + 1 \alpha^2 + \alpha + 1α2+α+1 的极小多项式

• 2. 范数 N NN
• 3. 数域 K KK 的范数 N K N_KNK
• 4. 迹 T TT
• 5. 数域 K KK 的迹 T K T_KTK

写在最前面

汇总版，省略了中间试错的过程与步骤

1. 极小多项式

1. 对 α \alphaα 的极小多项式

1. 表达式变换：设 f ( x ) = x − α = x − 2 3 − − 2 f(x) = x - \alpha = x - \sqrt[3]{2} - \sqrt{-2}f(x)=x−α=x−32−−2。
2. 消去根号：

• 首先处理 2 3 \sqrt[3]{2}32：
  
• 然后处理 − 2 \sqrt{-2}−2，通过平方两边来消除根号：
  
• 因此，α \alphaα 的极小多项式为 f ( x ) = x 6 + 6 x 4 − 4 x 3 + 12 x 2 + 24 x + 12 f(x) = x^6 + 6x^4 - 4x^3 + 12x^2 + 24x + 12f(x)=x6+6x4−4x3+12x2+24x+12。
  

和手动计算结果一致

2. 对 α + 1 \alpha + 1α+1 的极小多项式

α + 1 \alpha + 1α+1 的极小多项式，该多项式是：

f ( x ) = x 6 − 6 x 5 + 21 x 4 − 48 x 3 + 75 x 2 − 42 x + 11 f(x) = x^6 - 6x^5 + 21x^4 - 48x^3 + 75x^2 - 42x + 11f(x)=x6−6x5+21x4−48x3+75x2−42x+11

3. 对 α 2 + α + 1 \alpha^2 + \alpha + 1α2+α+1 的极小多项式

该多项式是：f ( x ) = x 6 + 6 x 5 + 9 x 4 + 176 x 3 + 615 x 2 − 1062 x + 387 f(x) = x^6 + 6x^5 + 9x^4 + 176x^3 + 615x^2 - 1062x + 387f(x)=x6+6x5+9x4+176x3+615x2−1062x+387

2. 范数 N NN

结果如下：

1. N ( 2 ) N(2)N(2) 的范数为 2 22。
2. N ( 2 3 ) N(\sqrt[3]{2})N(32) 的范数为 2 22。
3. N ( − 2 ) N(\sqrt{-2})N(−2) 的范数为 2 22。
4. N ( α ) N(\alpha)N(α) （其中 α = 2 3 + − 2 \alpha = \sqrt[3]{2} + \sqrt{-2}α=32+−2）的范数为 12 1212。
5. N ( α + 5 ) N(\alpha + 5)N(α+5) 的范数为 20067 2006720067。
6. N ( 2 3 − 2 + 1 ) N(\sqrt[3]{2}\sqrt{-2}+1)N(32−2+1) 的范数为 33 3333。

3. 数域 K KK 的范数 N K N_KNK

1. N K ( 2 ) N_K(2)NK(2)
   2 22 是一个有理数，其最小多项式是 x − 2 x - 2x−2。因此，N K ( 2 ) N_K(2)NK(2) 是这个多项式的根 2 22 的乘积，即 2 6 = 64 2^6 = 6426=64（因为 α \alphaα 的最小多项式是六次的）。
   
2. N K ( 2 3 ) N_K(\sqrt[3]{2})NK(32)
   2 3 \sqrt[3]{2}32 的共轭在 K KK 中有三个（因为它的最小多项式是三次的），包括 2 3 \sqrt[3]{2}32, 2 3 ω \sqrt[3]{2}\omega32ω, 和 2 3 ω 2 \sqrt[3]{2}\omega^232ω2（其中 ω \omegaω 是三次单位根）。在 K KK 中，我们需要考虑六个共轭，所以 N K ( 2 3 ) = ( 2 3 ) 3 × ( 2 3 ) 3 = 2 2 = 4 N_K(\sqrt[3]{2}) = (\sqrt[3]{2})^3 \times (\sqrt[3]{2})^3 = 2^2 = 4NK(32)=(32)3×(32)3=22=4。
   
3. N K ( − 2 ) N_K(\sqrt{-2})NK(−2)
   − 2 \sqrt{-2}−2 的共轭在 K KK 中有两个（因为它的最小多项式是二次的），包括 − 2 \sqrt{-2}−2 和 − − 2 -\sqrt{-2}−−2。在 K KK 中，我们需要考虑六个共轭，所以 N K ( − 2 ) = ( − 2 ) 2 × ( − 2 ) 2 × ( − 2 ) 2 = ( − 2 ) 3 = − 8 N_K(\sqrt{-2}) = (\sqrt{-2})^2 \times (\sqrt{-2})^2 \times (\sqrt{-2})^2 = (-2)^3 = -8NK(−2)=(−2)2×(−2)2×(−2)2=(−2)3=−8。
   
4. N K ( 2 ) = 64 N_K(2) = 64NK(2)=64
   
5. N K ( 2 3 ) = 4 N_K(\sqrt[3]{2}) = 4NK(32)=4
   
6. N K ( − 2 ) = − 8 N_K(\sqrt{-2}) = -8NK(−2)=−8
   
7. N K ( α + 5 ) N_K(\alpha + 5)NK(α+5)的结果是一个复数表达式：( 2 3 + 5 + 2 i ) 6 (\sqrt[3]{2} + 5 + \sqrt{2}i)^6(32+5+2i)6
   
8. N K ( 2 3 − 2 + 1 ) N_K(\sqrt[3]{2}\sqrt{-2}+1)NK(32−2+1)的结果也是一个复数表达式：( 1 + 1.12246204830937 2 i ) 6 (1 + 1.12246204830937\sqrt{2}i)^6(1+1.122462048309372i)6
   

4. 迹 T TT

首先，找出 α \alphaα 的共轭元素。这涉及解决 f ( x ) = 0 f(x) = 0f(x)=0 的方程，但这个方程过于复杂，无法用简单的代数方法解决。

然而，由于 α \alphaα 是 f ( x ) f(x)f(x) 的一个根，我们知道至少有六个共轭元素（包括 α \alphaα 本身），它们可能是实数或复数。

迹 T ( a ) T(a)T(a) 是所有共轭元素的和。对于简单的元素如 2 22 或 2 3 \sqrt[3]{2}32，这些值在共轭元素下的表达式是明确的。

对于 α \alphaα 和更复杂的表达式，这些值将取决于 α \alphaα 的具体共轭元素。

1. T ( 2 ) T(2)T(2)
   由于 2 22 是一个常数，它在每个共轭元素下的值都是 2 22。
   因此，T ( 2 ) T(2)T(2) 是 2 22 与共轭元素的数量（这里是 6）的乘积：
   T ( 2 ) = 2 × 6 = 12 T(2) = 2 \times 6 = 12T(2)=2×6=12
   
2. T ( 2 3 ) T(\sqrt[3]{2})T(32)
   同样，2 3 \sqrt[3]{2}32 是一个常数，所以 T ( 2 3 ) T(\sqrt[3]{2})T(32) 是 2 3 \sqrt[3]{2}32 与共轭元素的数量的乘积：
   T ( 2 3 ) = 2 3 × 6 T(\sqrt[3]{2}) = \sqrt[3]{2} \times 6T(32)=32×6
   
3. T ( − 2 ) T(\sqrt{-2})T(−2)
   由于 − 2 \sqrt{-2}−2 是一个常数，其迹是：
   T ( − 2 ) = − 2 × 6 T(\sqrt{-2}) = \sqrt{-2} \times 6T(−2)=−2×6
   

1. T K ( 2 ) = 12 T_K(2) = 12TK(2)=12
2. T K ( 2 3 ) = 6 2 3 T_K(\sqrt[3]{2}) = 6\sqrt[3]{2}TK(32)=632
3. T K ( − 2 ) T_K(\sqrt{-2})TK(−2)的结果是一个纯虚数：6 2 i 6\sqrt{2}i62i
4. T K ( α ) T_K(\alpha)TK(α)的结果是一个复数：6 2 3 + 6 2 i 6\sqrt[3]{2} + 6\sqrt{2}i632+62i
5. T K ( α + 5 ) T_K(\alpha + 5)TK(α+5) 的结果也是一个复数：6 2 3 + 30 + 6 2 i 6\sqrt[3]{2} + 30 + 6\sqrt{2}i632+30+62i
6. T K ( 2 3 − 2 + 1 ) T_K(\sqrt[3]{2}\sqrt{-2}+1)TK(32−2+1) 的结果也是一个复数：6 + 6 ⋅ 2 5 / 6 i 6 + 6 \cdot 2^{5/6}i6+6⋅25/6i

5. 数域 K KK 的迹 T K T_KTK

对于第5题，既然 α = 2 3 + − 2 \alpha = \sqrt[3]{2} + \sqrt{-2}α=32+−2，那么数域 K = Q ( α ) K = \mathbb{Q}(\alpha)K=Q(α) 实际上是 α \alphaα 的极小多项式的分裂域。这意味着在这个特定情况下，计算元素的迹和计算它在数域 K KK 中的迹是相同的过程。

因此，第5题和第4题的答案相同。

1. T K ( 2 ) = 12 T_K(2) = 12TK(2)=12
2. T K ( 2 3 ) = 6 2 3 T_K(\sqrt[3]{2}) = 6\sqrt[3]{2}TK(32)=632
3. T K ( − 2 ) T_K(\sqrt{-2})TK(−2)的结果是一个纯虚数：6 2 i 6\sqrt{2}i62i
4. T K ( α ) T_K(\alpha)TK(α)的结果是一个复数：6 2 3 + 6 2 i 6\sqrt[3]{2} + 6\sqrt{2}i632+62i
5. T K ( α + 5 ) T_K(\alpha + 5)TK(α+5) 的结果也是一个复数：6 2 3 + 30 + 6 2 i 6\sqrt[3]{2} + 30 + 6\sqrt{2}i632+30+62i
6. T K ( 2 3 − 2 + 1 ) T_K(\sqrt[3]{2}\sqrt{-2}+1)TK(32−2+1) 的结果也是一个复数：6 + 6 ⋅ 2 5 / 6 i 6 + 6 \cdot 2^{5/6}i6+6⋅25/6i