写在前面
欢迎来到我们的数学探索之旅！在这篇博客中，我们将深入探讨两个在代数领域极为重要的概念：范数和迹。
这些概念不仅在理论数学中扮演着核心角色，而且在实际应用中，如密码学和数值分析中，也有着广泛的应用。
我们的目标是从零开始，帮助完全理解这些概念，以及如何在实际问题中求解它们。
首先，我们将简要解释什么是范数和迹，这些概念虽然抽象，但在理解代数结构和解决复杂的数学问题时非常关键。
范数 是一个数域中元素的一个基本属性，代表其“大小”或“长度”，
而 迹 则是衡量数域中元素的一种方式，反映了其所有共轭元素的总和。
然后，我们会通过一系列具体的题目，逐步引导你如何计算范数和迹，以及如何找到一个元素的极小多项式——这是求解范数和迹的关键步骤。
关于解答：
- 极小多项式：我们会详细解释什么是极小多项式以及如何求得它。极小多项式是理解范数和迹的基础，它提供了一种有效的方式来探讨数域中的元素。
- 极小多项式的求法：我们将介绍如何手动和使用Python来求解极小多项式，确保你能够在不同的情境下都能找到解答。
- 针对具体元素的极小多项式：我们将逐一解析不同元素（如 α \alphaα, α + 1 \alpha+1α+1, α 2 + α + 1 \alpha^2 + \alpha + 1α2+α+1）的极小多项式，并展示如何使用Python来辅助求解。
通过这篇博客，希望能够帮助更好地理解这些复杂但基础的代数概念，并在实际问题中运用它们。
让我们一起开始这次数学之旅吧！
概念解释
- 数域（Number Field）：数域是复数域的子集，包含有理数域 Q \mathbb{Q}Q 及其扩展。例如，2 3 Q \sqrt[3]{2}\mathbb{Q}32Q 是有理数域扩展的数域。
- 极小多项式（Minimal Polynomial）：一个代数数的极小多项式是具有最低次数的首一多项式（leading coefficient is 1），且该多项式以该代数数为根。
- 范数（Norm）：一个数域中元素的范数是其最小多项式的所有根的乘积。
- 迹（Trace）：一个数域中元素的迹是其最小多项式的所有根的和。
题目
设 α = 2 3 + − 2 \alpha = \sqrt[3]{2} + \sqrt{-2}α=32+−2, K = Q ( α ) K = \mathbb{Q}(\alpha)K=Q(α)，试求：
- α \alphaα, α + 1 \alpha + 1α+1, α 2 + α + 1 \alpha^2 + \alpha + 1α2+α+1 在 Q \mathbb{Q}Q 上的极小多项式；
- N ( 2 ) N(2)N(2), N ( 2 3 ) N(\sqrt[3]{2})N(32), N ( − 2 ) N(\sqrt{-2})N(−2), N ( α ) N(\alpha)N(α), N ( α + 5 ) N(\alpha + 5)N(α+5), N ( 2 3 − 2 + 1 ) N(\sqrt[3]{2}\sqrt{-2}+1)N(32−2+1) 的范数；
- N K ( 2 ) N_K(2)NK(2), N K ( 2 3 ) N_K(\sqrt[3]{2})NK(32), N K − 2 N_K\sqrt{-2}NK−2, N K ( α + 5 ) N_K(\alpha + 5)NK(α+5), N K ( 2 3 − 2 + 1 ) N_K(\sqrt[3]{2}\sqrt{-2}+1)NK(32−2+1) 的数域 K KK 范数；
- T ( 2 ) T(2)T(2), T ( 2 3 ) T(\sqrt[3]{2})T(32), T ( − 2 ) T(\sqrt{-2})T(−2), T ( α ) T(\alpha)T(α), T ( α + 5 ) T(\alpha + 5)T(α+5), T ( 2 3 − 2 + 1 ) T(\sqrt[3]{2}\sqrt{-2}+1)T(32−2+1) 的迹；
- T K ( 2 ) T_K(2)TK(2), T K ( 2 3 ) T_K(\sqrt[3]{2})TK(32), T K ( − 2 ) T_K(\sqrt{-2})TK(−2), T K ( α + 5 ) T_K(\alpha + 5)TK(α+5), T K ( 2 3 − 2 + 1 ) T_K(\sqrt[3]{2}\sqrt{-2}+1)TK(32−2+1) 的数域 K KK 迹。
解答
- 极小多项式：
- 对于 α \alphaα，我们首先需要找到一个有理系数的多项式，使 α \alphaα 是其根。由于 α = 2 3 + − 2 \alpha = \sqrt[3]{2} + \sqrt{-2}α=32+−2，我们可以构建一个多项式 ( x − 2 3 − − 2 ) (x - \sqrt[3]{2} - \sqrt{-2})(x−32−−2)，并进行多项式扩展来找到其极小多项式。
- 对于 α + 1 \alpha + 1α+1 和 α 2 + α + 1 \alpha^2 + \alpha + 1α2+α+1，采用类似的方法。
1. 极小多项式
【题目】设 α = 2 3 + − 2 \alpha = \sqrt[3]{2} + \sqrt{-2}α=32+−2, K = Q ( α ) K = \mathbb{Q}(\alpha)K=Q(α)，试求：
- α \alphaα, α + 1 \alpha + 1α+1, α 2 + α + 1 \alpha^2 + \alpha + 1α2+α+1 在 Q \mathbb{Q}Q 上的极小多项式；
要解决这个问题，我们需要先确定 α = 2 3 + − 2 \alpha = \sqrt[3]{2} + \sqrt{-2}α=32+−2 的极小多项式，然后用同样的方法找到 α + 1 \alpha + 1α+1 和 α 2 + α + 1 \alpha^2 + \alpha + 1α2+α+1 的极小多项式。
极小多项式 是一个在给定数域（这里是 Q \mathbb{Q}Q）上不能被更低阶多项式整除的首一多项式，且该多项式以所考虑的元素为根。
极小多项式的求法
- 构造多项式：首先构造一个多项式，使得 α \alphaα 是它的根。我们可以通过消去根中的根号来做到这一点。
- 验证多项式的不可约性：验证所构造的多项式在 Q \mathbb{Q}Q 上是不可约的，即它不能被分解成更低阶的多项式的乘积。
1. 对 α \alphaα 的极小多项式
- 表达式变换：设 f ( x ) = x − α = x − 2 3 − − 2 f(x) = x - \alpha = x - \sqrt[3]{2} - \sqrt{-2}f(x)=x−α=x−32−−2。
- 消去根号：
- 首先处理 2 3 \sqrt[3]{2}32：
( x − − 2 ) 3 = 2 x 3 − 3 x 2 − 2 + 6 x − 2 − 2 − 2 = 0 \begin{align*} (x - \sqrt{-2})^3 &= 2 \\ x^3 - 3x^2\sqrt{-2} + 6x - 2\sqrt{-2} - 2 &= 0 \\ \end{align*}(x−−2)3x3−3x2−2+6x−2−2−2=2=0 - 然后处理 − 2 \sqrt{-2}−2，通过平方两边来消除根号：
( x 3 + 6 x − 2 ) 2 = ( 3 x 2 − 2 + 2 − 2 ) 2 x 6 + 6 x 4 − 4 x 3 + 12 x 2 + 24 x + 12 = 0 \begin{align*} (x^3 + 6x - 2)^2 &= (3x^2\sqrt{-2} +2\sqrt{-2})^2\\ x^6 + 6x^4 - 4x^3 + 12x^2 + 24x + 12 &= 0 \\ \end{align*}(x3+6x−2)2x6+6x4−4x3+12x2+24x+12=(3x2−2+2−2)2=0 - 因此，α \alphaα 的极小多项式为 f ( x ) = x 6 + 6 x 4 − 4 x 3 + 12 x 2 + 24 x + 12 f(x) = x^6 + 6x^4 - 4x^3 + 12x^2 + 24x + 12f(x)=x6+6x4−4x3+12x2+24x+12。
python求解
为了找到 α = 2 3 + − 2 \alpha = \sqrt[3]{2} + \sqrt{-2}α=32+−2 在 Q \mathbb{Q}Q 上的极小多项式，我们将使用 Python 的 SymPy 库中的 minimal_polynomial 函数。这个函数可以帮助我们找到一个不可约的多项式，该多项式在 Q \mathbb{Q}Q 上有 α \alphaα 为根。
让我们开始计算 α \alphaα 的极小多项式：
from sympy import symbols, I, expand, sqrt, cbrt, minimal_polynomial # 定义符号 x = symbols('x') # 定义 alpha alpha = cbrt(2) + sqrt(-2) # 计算 alpha 其极小多项式 min_poly_alpha = minimal_polynomial(alpha, x) # 展开多项式并获取系数 expanded_min_poly_alpha = expand(min_poly_alpha) expanded_min_poly_alpha, min_poly_alpha.as_expr()
我们找到了 α = 2 3 + − 2 \alpha = \sqrt[3]{2} + \sqrt{-2}α=32+−2 的极小多项式，该多项式是：f ( x ) = x 6 + 6 x 4 − 4 x 3 + 12 x 2 + 24 x + 12 f(x) = x^6 + 6x^4 - 4x^3 + 12x^2 + 24x + 12f(x)=x6+6x4−4x3+12x2+24x+12，非常好，和我们手动计算的结果一致。
这个多项式是在 Q \mathbb{Q}Q 上不可约的，并且它使得 f ( α ) = 0 f(\alpha) = 0f(α)=0。因此，这是 α = 2 3 + − 2 \alpha = \sqrt[3]{2} + \sqrt{-2}α=32+−2 在 Q \mathbb{Q}Q 上的极小多项式。通过使用 SymPy 的 minimal_polynomial 函数，我们能够直接计算出这个多项式，避免了手动进行复杂的代数运算。
2. 对 α + 1 \alpha + 1α+1 的极小多项式
我们用类似的方法来处理 α + 1 \alpha + 1α+1。
设 β = α + 1 = 2 3 + − 2 + 1 \beta = \alpha + 1 = \sqrt[3]{2} + \sqrt{-2} + 1β=α+1=32+−2+1。我们的目标是找到一个多项式 g ( x ) g(x)g(x)，使得 g ( β ) = 0 g(\beta) = 0g(β)=0。
- 表达式变换：设 g ( x ) = x − β = x − 2 3 − − 2 − 1 g(x) = x - \beta = x - \sqrt[3]{2} - \sqrt{-2} - 1g(x)=x−β=x−32−−2−1
- 消去根号：
- 首先处理 2 3 \sqrt[3]{2}32：
( x − − 2 − 1 ) 3 = 2 x 3 − 3 x 2 ( − 2 + 1 ) + 3 x ( 2 − 2 + 1 ) − ( 1 + 3 − 2 + 2 ) = 0 \begin{align*} (x - \sqrt{-2} - 1)^3 = 2 \\ x^3 - 3x^2(\sqrt{-2} + 1) + 3x(2\sqrt{-2} + 1) - (1 + 3\sqrt{-2} + 2) = 0 \\ \end{align*}(x−−2−1)3=2x3−3x2(−2+1)+3x(2−2+1)−(1+3−2+2)=0 - 然后处理平方根 − 2 \sqrt{-2}−2：
通过平方整个表达式来消除 − 2 \sqrt{-2}−2，得到一个仅含有理数系数的多项式。
- 得到多项式：
得到的多项式 g ( x ) g(x)g(x) 就是 β \betaβ 的一个候选多项式。这一步骤需要一些代数操作，涉及到较为复杂的乘法和整理。因此直接用python来代替完成。
python找到多项式
要找到 α + 1 \alpha + 1α+1 在 Q \mathbb{Q}Q 上的极小多项式，我们首先定义 α + 1 \alpha + 1α+1，然后构造一个多项式，使得 α + 1 \alpha + 1α+1 是它的根。通过消除根号来构建这个多项式，最后验证这个多项式的不可约性。我们将使用 Python 来辅助计算。
设 α = 2 3 + − 2 \alpha = \sqrt[3]{2} + \sqrt{-2}α=32+−2，则 α + 1 = 2 3 + − 2 + 1 \alpha + 1 = \sqrt[3]{2} + \sqrt{-2} + 1α+1=32+−2+1。我们的目标是找到一个多项式 f ( x ) f(x)f(x)，使得 f ( α + 1 ) = 0 f(\alpha + 1) = 0f(α+1)=0。
我们可以通过以下步骤来找到这个多项式：
- 将 α + 1 \alpha + 1α+1 代入 x xx 中，得到 f ( x ) = x − ( α + 1 ) f(x) = x - (\alpha + 1)f(x)=x−(α+1)。
- 消除表达式中的根号，使其成为一个只包含有理数系数的多项式。
- 确认这个多项式是不可约的。
让我们使用 Python 来进行这些计算。
from sympy import symbols, expand, sqrt, cbrt, Poly, simplify # 定义符号 x = symbols('x') # 定义 alpha 和 alpha + 1 alpha = cbrt(2) + sqrt(-2) alpha_plus_one = alpha + 1 # 构造多项式 f(x) = x - (alpha + 1) f_x = x - alpha_plus_one # 展开并简化多项式 expanded_f_x = expand(f_x**6) # 生成多项式并提取系数 polynomial = Poly(expanded_f_x, x) coefficients = polynomial.all_coeffs() # 简化系数 simplified_coefficients = [simplify(coef) for coef in coefficients] simplified_coefficients, polynomial.as_expr()
我们找到了 α + 1 \alpha + 1α+1 的一个多项式表示。多项式 f ( x ) f(x)f(x) 的系数是：
f ( x ) = x 6 + ( − 6 2 3 − 6 − 6 2 i ) x 5 + ( − 15 + 15 4 3 + 30 2 3 + 30 2 i + 30 32 6 i ) x 4 + ( − 60 4 3 + 60 + 60 2 3 − 120 32 6 i − 120 8 6 i − 20 2 i ) x 3 + ( − 270 2 3 − 90 4 3 + 15 + 60 2 i + 60 32 6 i + 360 8 6 i ) x 2 + ( 114 + 150 2 3 + 288 4 3 − 174 2 i − 120 8 6 i + 60 32 6 i ) x 173 − 93 4 3 − 24 2 3 − 96 8 6 i − 6 32 6 i + 30 2 i f(x) = x^6 + (-6\sqrt[3]{2} - 6 - 6\sqrt{2}i)x^5 + (-15 + 15\sqrt[3]{4} + 30\sqrt[3]{2} + 30\sqrt{2}i + 30\sqrt[6]{32}i)x^4 + (-60\sqrt[3]{4} + 60 + 60\sqrt[3]{2} - 120\sqrt[6]{32}i - 120\sqrt[6]{8}i - 20\sqrt{2}i)x^3 + (-270\sqrt[3]{2} - 90\sqrt[3]{4} + 15 + 60\sqrt{2}i + 60\sqrt[6]{32}i + 360\sqrt[6]{8}i)x^2 + (114 + 150\sqrt[3]{2} + 288\sqrt[3]{4} - 174\sqrt{2}i - 120\sqrt[6]{8}i + 60\sqrt[6]{32}i)x 173 - 93\sqrt[3]{4} - 24\sqrt[3]{2} - 96\sqrt[6]{8}i - 6\sqrt[6]{32}i + 30\sqrt{2}if(x)=x6+(−632−6−62i)x5+(−15+1534+3032+302i+30632i)x4+(−6034+60+6032−120632i−12068i−202i)x3+(−27032−9034+15+602i+60632i+36068i)x2+(114+15032+28834−1742i−12068i+60632i)x173−9334−2432−9668i−6632i+302i
这个多项式是 α + 1 \alpha + 1α+1 的一个可能的极小多项式。但要注意，它可能不是最低阶的极小多项式。为了确保我们找到的是极小多项式，需要进一步检查这个多项式的不可约性。这通常需要使用专门的代数软件或理论方法，因为不可约性的判断可能非常复杂。如果这个多项式是可约的，我们还需要进一步降低其阶数，直到找到一个在 Q \mathbb{Q}Q 上不可约的多项式。
python找到极小多项式
要找到 α + 1 \alpha + 1α+1 在 Q \mathbb{Q}Q 上的极小多项式，我们将使用 Python 的 SymPy 库来帮助我们进行符号计算。我们首先定义 α = 2 3 + − 2 \alpha = \sqrt[3]{2} + \sqrt{-2}α=32+−2，然后通过适当的代数运算来构造一个多项式 f ( x ) f(x)f(x)，使得 f ( α + 1 ) = 0 f(\alpha + 1) = 0f(α+1)=0。接下来，我们需要确保这个多项式是不可约的，这通常可以通过检查它是否能被分解为更低阶的多项式来完成。
让我们开始这个过程：
from sympy import symbols, I, expand, sqrt, cbrt, minimal_polynomial # 定义符号 x = symbols('x') # 定义 alpha 和 alpha + 1 alpha = cbrt(2) + sqrt(-2) alpha_plus_one = alpha + 1 # 计算 alpha + 1 的极小多项式 min_poly_alpha_plus_one = minimal_polynomial(alpha_plus_one, x) # 展开多项式并获取系数 expanded_min_poly = expand(min_poly_alpha_plus_one) expanded_min_poly, min_poly_alpha_plus_one.as_expr()
我们找到了 α + 1 \alpha + 1α+1 的极小多项式，该多项式是：
f ( x ) = x 6 − 6 x 5 + 21 x 4 − 48 x 3 + 75 x 2 − 42 x + 11 f(x) = x^6 - 6x^5 + 21x^4 - 48x^3 + 75x^2 - 42x + 11f(x)=x6−6x5+21x4−48x3+75x2−42x+11
这个多项式是在 Q \mathbb{Q}Q 上不可约的，并且它使得 f ( α + 1 ) = 0 f(\alpha + 1) = 0f(α+1)=0。因此，这是 α + 1 = 2 3 + − 2 + 1 \alpha + 1 = \sqrt[3]{2} + \sqrt{-2} + 1α+1=32+−2+1 在 Q \mathbb{Q}Q 上的极小多项式。通过使用 SymPy 的 minimal_polynomial 函数，我们能够直接计算出这个多项式，这样就避免了手动进行复杂的代数运算。
3. 对 α 2 + α + 1 \alpha^2 + \alpha + 1α2+α+1 的极小多项式
- 同样，设 h ( x ) = x − ( α 2 + α + 1 ) h(x) = x - (\alpha^2 + \alpha + 1)h(x)=x−(α2+α+1) 并重复以上步骤。
注意，这里提供的是计算极小多项式的一般方法，具体计算可能非常复杂，尤其是涉及到更高次方和根号。在实际操作中，可能需要使用计算软件来辅助完成这些计算。此外，验证多项式的不可约性也是一个重要步骤，可能需要使用专业的数学软件或理论知识。
python求解
为了求出 α 2 + α + 1 \alpha^2 + \alpha + 1α2+α+1 在 Q \mathbb{Q}Q 上的极小多项式，其中 α = 2 3 + − 2 \alpha = \sqrt[3]{2} + \sqrt{-2}α=32+−2，我们将使用 Python 的 SymPy 库中的 minimal_polynomial 函数。这个函数能够帮助我们找到一个不可约的多项式，该多项式在 Q \mathbb{Q}Q 上有 α 2 + α + 1 \alpha^2 + \alpha + 1α2+α+1 为根。
让我们计算 α 2 + α + 1 \alpha^2 + \alpha + 1α2+α+1 的极小多项式：
from sympy import symbols, I, expand, sqrt, cbrt, minimal_polynomial # 定义符号 x = symbols('x') # 定义 alpha 和 alpha + 1 alpha = cbrt(2) + sqrt(-2) alpha_plus_one = alpha + 1 # 定义 alpha^2 + alpha + 1 alpha_squared_plus_alpha_plus_one = alpha**2 + alpha + 1 # 计算 alpha^2 + alpha + 1 的极小多项式 min_poly_alpha_squared = minimal_polynomial(alpha_squared_plus_alpha_plus_one, x) # 展开多项式并获取系数 expanded_min_poly_alpha_squared = expand(min_poly_alpha_squared) expanded_min_poly_alpha_squared, min_poly_alpha_squared.as_expr()
我们找到了 α 2 + α + 1 \alpha^2 + \alpha + 1α2+α+1 （其中 α = 2 3 + − 2 \alpha = \sqrt[3]{2} + \sqrt{-2}α=32+−2）在 Q \mathbb{Q}Q 上的极小多项式，该多项式是：
f ( x ) = x 6 + 6 x 5 + 9 x 4 + 176 x 3 + 615 x 2 − 1062 x + 387 f(x) = x^6 + 6x^5 + 9x^4 + 176x^3 + 615x^2 - 1062x + 387f(x)=x6+6x5+9x4+176x3+615x2−1062x+387
这个多项式是在 Q \mathbb{Q}Q 上不可约的，并且它使得 f ( α 2 + α + 1 ) = 0 f(\alpha^2 + \alpha + 1) = 0f(α2+α+1)=0。因此，这是 α 2 + α + 1 \alpha^2 + \alpha + 1α2+α+1 在 Q \mathbb{Q}Q 上的极小多项式。通过使用 SymPy 的 minimal_polynomial 函数，我们能够直接计算出这个多项式，从而避免了手动进行复杂的代数运算。
prompt
你是代数学专家，这是范数与迹——求数域元素的范数与迹的习题。
请你请给出完整的题目、题目相关的概念解释、具体的答案解析。
请用md语法编辑，$latex符号、公式$。例如，将 \( \sqrt[3]{2}\mathbb{Q} \)转换为2 3 Q \sqrt[3]{2}\mathbb{Q}32Q
你是代数学专家，这是范数与迹——求数域元素的范数与迹的习题。
给出清晰详细的计算过程，以及具体的答案
请用md语法编辑，$latex符号、公式$。例如，将 \( \sqrt[3]{2}\mathbb{Q} \)转换为2 3 Q \sqrt[3]{2}\mathbb{Q}32Q
你是代数学专家，这是范数与迹——求数域元素的范数与迹的习题。
给出清晰详细的计算过程，以及具体的答案。可以用python 中 SymPy 的 minimal_polynomial 函数求解
请用md语法编辑，$latex符号、公式$。例如，将 \( \sqrt[3]{2}\mathbb{Q} \)转换为2 3 Q \sqrt[3]{2}\mathbb{Q}32Q
【题目】
