【代数学习题3】从零理解数域扩张与嵌入 —— 同构、商环、分裂域与同态映射

写在最前面

在探索数学的奥妙世界中，代数学占据了一个核心的位置，它不仅是理解高等数学的基础，还是解锁现代科学与技术之谜的关键。

在这篇博文中，我们将深入探讨数域的结构——扩张和嵌入这两个概念。

我们将借助六个具体的例题，逐步理解同构、商环、分裂域以及同态映射这些抽象但极其重要的代数概念。

无论你是数学爱好者，还是专业的数学学者，这篇文章都将为你提供一个全新的视角，帮助你理解这些复杂但迷人的代数理论。加入我们的数学之旅，一起探索代数学的深邃世界吧！

这是代数学的一次课堂作业

前面没听课，这次借着契机从零梳理了一下

如果有不对的地方，欢迎指出 (#^ . ^#)

感谢杰哥，快速准确的给出了答案

BCD AB BCD BCDE AC ACD

从零开始的概念合集

从零理解数域的扩张和同构概念

理解数域的扩张和同构概念，以下面的式子为例：

为什么 Q ( 2 3 ) \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})Q(32) 和 Q [ x ] / ( x 3 − 2 ) \mathbb{Q}[x]/(x^3 - 2)Q[x]/(x3−2) 是的同构

首先，我们先需要从一些基础数学概念开始理解。

基本概念

1. 数域（Field）：一个数域是一组数字的集合，其中你可以进行加、减、乘、除（除以0除外）运算，并且这些运算满足某些基本的规则（如交换律、结合律等）。
   
2. 有理数域 Q \mathbb{Q}Q：有理数域是所有可以表示为两个整数比例（分数形式）的数的集合。例如，1/2, -3, 4.5 都是有理数。
   
3. 多项式：多项式是由数字和变量（如 x xx）组成的数学表达式，例如 x 3 − 2 x^3 - 2x3−2。这个多项式意味着 “x 的三次方减去2”。
   
4. 根：多项式的根是使多项式的值为零的数字。例如，2 3 \sqrt[3]{2}32 是多项式 x 3 − 2 x^3 - 2x3−2 的根，因为如果你把 2 3 \sqrt[3]{2}32 代入 x xx，多项式的值就是零（( 2 3 ) 3 − 2 = 0 (\sqrt[3]{2})^3 - 2 = 0(32)3−2=0）。
   
5. 数域的扩张：当我们在一个已有的数域（如 Q \mathbb{Q}Q）中加入一个新的数字（不属于这个数域）及其所有可能的组合（如加法、乘法等），我们就得到了一个新的数域。这个过程称为数域的扩张。
   

同构的概念

1. 同构（Isomorphism）：在数学中，如果两个结构（在这里是数域）之间有一种特殊的对应关系，使得一个结构中的运算可以对应到另一个结构中的运算，且保持运算的性质不变，则称这两个结构是同构的。

商环的概念

1. 商环（Quotient Ring）：在代数中，特别是在环论中，商环是通过一个环（在我们的情况下是多项式环 Q [ x ] \mathbb{Q}[x]Q[x]）和它的一个理想（在我们的情况下是由 x 3 − 2 x^3 - 2x3−2 生成的理想）构造出的新环。简单来说，商环由原环中所有元素除以理想中元素的余数组成。
   
2. 多项式环 Q [ x ] \mathbb{Q}[x]Q[x]：这是由有理数系数的所有多项式构成的环。例如，2 x 2 − 1 2 x + 3 2x^2 - \frac{1}{2}x + 32x2−21x+3 是这个环的一个元素。
   
3. 理想：在环论中，理想是环的一个子集，它在环内的乘法和加法下是封闭的。在我们的例子中，由 x 3 − 2 x^3 - 2x3−2 生成的理想包含所有形如 ( x 3 − 2 ) f ( x ) (x^3 - 2)f(x)(x3−2)f(x) 的元素，其中 f ( x ) f(x)f(x) 是任意一个多项式。
   
4. 构造商环：在 Q [ x ] \mathbb{Q}[x]Q[x] 中构造由 x 3 − 2 x^3 - 2x3−2 生成的理想的商环，意味着我们考虑所有可能的 Q [ x ] \mathbb{Q}[x]Q[x] 中的多项式除以 x 3 − 2 x^3 - 2x3−2 的余数形成的集合。
   

2 3 \sqrt[3]{2}32 有三个 Q \mathbb{Q}Q-嵌入（同态映射）

嵌入（Embedding）：数域的嵌入是一种特殊的同态映射，它将一个数域嵌入到另一个数域中，保持加法和乘法结构。

数域 Q ( 2 3 ) \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})Q(32) 的 Q \mathbb{Q}Q-嵌入数量与其基数，即其根的数量有关。2 3 \sqrt[3]{2}32 是方程 x 3 − 2 = 0 x^3 - 2 = 0x3−2=0 在 Q \mathbb{Q}Q 上的一个根，这个方程是一个三次方程。在复数域 C \mathbb{C}C 中，每个非常数的多项式方程都有与其次数相同数量的根（基本代数定理）。因此，x 3 − 2 = 0 x^3 - 2 = 0x3−2=0 在 C \mathbb{C}C 中有三个根，分别是：

1. 2 3 \sqrt[3]{2}32 （实数根）
2. 2 3 ω \sqrt[3]{2}\omega32ω
3. 2 3 ω 2 \sqrt[3]{2}\omega^232ω2

其中 ω \omegaω 是复立方根的单位，可以表示为 ω = e 2 π i / 3 = − 1 + 3 i 2 \omega = e^{2\pi i / 3} = \frac{-1 + \sqrt{3}i}{2}ω=e2πi/3=2−1+3i。这意味着 ω \omegaω 是原始的三次单位根之一，满足 ω 3 = 1 \omega^3 = 1ω3=1 但 ω ≠ 1 \omega \neq 1ω=1。

由于 Q ( 2 3 ) \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})Q(32) 中的每个元素可以表示为 Q \mathbb{Q}Q 上的 2 3 \sqrt[3]{2}32 的多项式，这些多项式在 C \mathbb{C}C 中每个根处的取值都定义了一个不同的 Q \mathbb{Q}Q-嵌入。因此，2 3 \sqrt[3]{2}32 在 C \mathbb{C}C 中有三个不同的 Q \mathbb{Q}Q-嵌入，对应于方程 x 3 − 2 = 0 x^3 - 2 = 0x3−2=0 的三个根。

Q ( 2 3 ) \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})Q(32) 和 Q [ x ] / ( x 3 − 2 ) \mathbb{Q}[x]/(x^3 - 2)Q[x]/(x3−2) 的同构

1. Q ( 2 3 ) \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})Q(32)：这表示将 2 3 \sqrt[3]{2}32 加入到有理数域 Q \mathbb{Q}Q 中，生成的新数域。这个数域包含所有形如 a + b 2 3 + c ( 2 3 ) 2 a + b\sqrt[3]{2} + c(\sqrt[3]{2})^2a+b32+c(32)2 的元素，其中 a , b , c a, b, ca,b,c 是有理数。
   
2. Q [ x ] / ( x 3 − 2 ) \mathbb{Q}[x]/(x^3 - 2)Q[x]/(x3−2)：这是一个所谓的 “商环” 的概念。简单来说，它是以多项式 x 3 − 2 x^3 - 2x3−2 为基础，构建的一个数学结构，其中包含了所有可能的 Q \mathbb{Q}Q 上的多项式除以 x 3 − 2 x^3 - 2x3−2 的余数形成的集合。
   
3. 为什么它们是同构的：在 Q ( 2 3 ) \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})Q(32) 中，2 3 \sqrt[3]{2}32 是多项式 x 3 − 2 x^3 - 2x3−2 的根，所以所有形如 a + b 2 3 + c ( 2 3 ) 2 a + b\sqrt[3]{2} + c(\sqrt[3]{2})^2a+b32+c(32)2 的元素都可以看作是 x 3 − 2 x^3 - 2x3−2 的余数。这与 Q [ x ] / ( x 3 − 2 ) \mathbb{Q}[x]/(x^3 - 2)Q[x]/(x3−2) 中的元素是一致的。换句话说，Q ( 2 3 ) \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})Q(32) 中的每个元素都对应 Q [ x ] / ( x 3 − 2 ) \mathbb{Q}[x]/(x^3 - 2)Q[x]/(x3−2) 中的一个元素，反之亦然，且这种对应关系保持了加法和乘法运算的性质。因此，这两个数学结构是同构的。
   

[ Q ( 2 3 ω ) : Q ] = 3 [\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}\omega) : \mathbb{Q}] = 3[Q(32ω):Q]=3 表明：扩域相对于基域的维数是3

为了更好地解释为什么 [ Q ( 2 3 ω ) : Q ] = 3 [\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}\omega) : \mathbb{Q}] = 3[Q(32ω):Q]=3 表明扩域相对于基域的维数是3，并且为什么 2 3 ω \sqrt[3]{2}\omega32ω 是三次不可约多项式 x 3 − 2 x^3 - 2x3−2 的根。

数域扩张的维度

1. 数域扩张：当我们将一个新元素（这里是 2 3 ω \sqrt[3]{2}\omega32ω）添加到已有数域（这里是 Q \mathbb{Q}Q）中，形成一个更大的数域时，这个过程称为数域扩张。
   
2. 扩域的维数：数域扩张的维数是指扩张后的数域（这里是 Q ( 2 3 ω ) \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}\omega)Q(32ω)）可以被看作是原数域（这里是 Q \mathbb{Q}Q）上的一个向量空间，其维数是基域中需要的基的数量。在我们的例子中，[ Q ( 2 3 ω ) : Q ] = 3 [\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}\omega) : \mathbb{Q}] = 3[Q(32ω):Q]=3 表示 Q ( 2 3 ω ) \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}\omega)Q(32ω) 是一个三维的 Q \mathbb{Q}Q-向量空间。
   
3. 为什么维度是3：2 3 ω \sqrt[3]{2}\omega32ω 是多项式 x 3 − 2 x^3 - 2x3−2 的根。这个多项式是三次的，并且在 Q \mathbb{Q}Q 上是不可约的，这意味着它不能在 Q \mathbb{Q}Q 上被分解成更低次数的多项式的乘积。因此，扩张 Q ( 2 3 ω ) \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}\omega)Q(32ω) 相对于 Q \mathbb{Q}Q 至少需要三个维度来表示，这些维度对应于 1 11, 2 3 ω \sqrt[3]{2}\omega32ω, 和 ( 2 3 ω ) 2 (\sqrt[3]{2}\omega)^2(32ω)2。
   

综上所述，Q ( 2 3 ω ) \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}\omega)Q(32ω) 作为 Q \mathbb{Q}Q 的扩张是一个三维空间，这是由于 2 3 ω \sqrt[3]{2}\omega32ω 作为 x 3 − 2 x^3 - 2x3−2 的根带来的性质决定的。

分裂域（以4E为例）

4.设 f ( x ) ∈ Q [ x ] f(x) \in \mathbb{Q}[x]f(x)∈Q[x] 为 Q \mathbb{Q}Q 上不可约多项式，f ( x ) = x 3 − 2 f(x) = x^3 - 2f(x)=x3−2 在 Q \mathbb{Q}Q 上的分裂域为：

A. Q ( 2 3 ω ) \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}\omega)Q(32ω)

B. Q ( 2 3 , 2 3 ω ) \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}, \sqrt[3]{2}\omega)Q(32,32ω)

C. Q ( 2 3 , 2 3 ω , 2 3 ω 2 ) \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}, \sqrt[3]{2}\omega, \sqrt[3]{2}\omega^2)Q(32,32ω,32ω2)

D. Q ( 2 3 , ω ) \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}, \omega)Q(32,ω)

E. Q ( 2 3 + ω ) \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2} + \omega)Q(32+ω)

答案：BCDE

解析：为了更清楚地理解这个概念，考虑 ω \omegaω 的性质：它满足 x 2 + x + 1 = 0 x^2 + x + 1 = 0x2+x+1=0，即 ω 2 = − 1 − ω \omega^2 = -1 - \omegaω2=−1−ω。这意味着任何包含 ω \omegaω 和 2 3 \sqrt[3]{2}32 的表达式都可以被简化为 Q \mathbb{Q}Q 上的 2 3 \sqrt[3]{2}32、2 3 ω \sqrt[3]{2}\omega32ω 和 2 3 ω 2 \sqrt[3]{2}\omega^232ω2 的线性组合。因此，尽管 Q ( 2 3 + ω ) \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2} + \omega)Q(32+ω) 看起来只由一个元素生成，实际上它包含了足够的信息来表达分裂域所需的所有元素。

分裂域的基本概念

1. 分裂域（Splitting Field）：一个多项式在某个数域上的分裂域，是包含 该数域所有元素 以及 多项式所有根 的最小数域。分裂域是研究域扩张中一个重要的概念。

解析每个选项

• 选项B：这个选项提到 Q ( 2 3 , 2 3 ω ) \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}, \sqrt[3]{2}\omega)Q(32,32ω) 包含 f ( x ) f(x)f(x) 的两个根，即 2 3 \sqrt[3]{2}32 和 2 3 ω \sqrt[3]{2}\omega32ω。这是因为 2 3 ω 2 \sqrt[3]{2}\omega^232ω2 可以由 2 3 \sqrt[3]{2}32 和 2 3 ω \sqrt[3]{2}\omega32ω 表达出来，因此不需要作为一个独立的元素来构成分裂域。
  
• 选项C：这个选项直接说明 Q ( 2 3 , 2 3 ω , 2 3 ω 2 ) \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}, \sqrt[3]{2}\omega, \sqrt[3]{2}\omega^2)Q(32,32ω,32ω2) 包含所有三个根，因此显然是分裂域。
  
• 选项D：在这个选项中，我们看到 Q ( 2 3 , ω ) \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}, \omega)Q(32,ω) 通过包含 ω \omegaω 和 ω 2 \omega^2ω2 作为 x 2 + x + 1 = 0 x^2 + x + 1 = 0x2+x+1=0 的根，间接包含了所有三个根。
  

最复杂的选项 - 选项E

• 选项E：在 Q ( 2 3 + ω ) \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2} + \omega)Q(32+ω) 中，尽管一开始看起来它只包含了 2 3 + ω \sqrt[3]{2} + \omega32+ω，但实际上，因为 ω \omegaω 和 ω 2 \omega^2ω2 是 x 2 + x + 1 = 0 x^2 + x + 1 = 0x2+x+1=0 的根，它们可以通过有理系数多项式运算从 2 3 + ω \sqrt[3]{2} + \omega32+ω 中得出。这意味着 Q ( 2 3 + ω ) \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2} + \omega)Q(32+ω) 实际上包含了 2 3 \sqrt[3]{2}32、2 3 ω \sqrt[3]{2}\omega32ω 和 2 3 ω 2 \sqrt[3]{2}\omega^232ω2。这种情况下，尽管看起来只有一个生成元（2 3 + ω \sqrt[3]{2} + \omega32+ω），实际上数域包含了多项式 f ( x ) = x 3 − 2 f(x) = x^3 - 2f(x)=x3−2 的所有根，因此它是分裂域。

自同构：Q ( 2 3 , ω ) \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}, \omega)Q(32,ω) 的自同构有6个

要理解为什么 Q ( 2 3 , ω ) \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}, \omega)Q(32,ω) 的自同构有6个，我们首先需要了解自同构的概念，然后探讨 Q ( 2 3 , ω ) \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}, \omega)Q(32,ω) 的特性。

自同构（Automorphism）

1. 自同构的定义：在数学中，特别是在代数领域，自同构是指从一个数学结构到其自身的双射映射，同时保持该结构中的运算不变。对于数域来说，自同构是一种保持加法和乘法运算不变的双射映射。

Q ( 2 3 , ω ) \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}, \omega)Q(32,ω) 的特性

1. 数域 Q ( 2 3 , ω ) \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}, \omega)Q(32,ω)：这个数域是将 2 3 \sqrt[3]{2}32 和 ω \omegaω 加入有理数域 Q \mathbb{Q}Q 后形成的扩展域。这里 2 3 \sqrt[3]{2}32 是 x 3 − 2 x^3 - 2x3−2 的一个根，而 ω \omegaω 是 x 2 + x + 1 = 0 x^2 + x + 1 = 0x2+x+1=0 的一个根。
   
2. 2 3 \sqrt[3]{2}32 的根：x 3 − 2 x^3 - 2x3−2 在复数域 C \mathbb{C}C 中有三个根，分别是 2 3 \sqrt[3]{2}32、2 3 ω \sqrt[3]{2}\omega32ω 和 2 3 ω 2 \sqrt[3]{2}\omega^232ω2。
   
3. ω \omegaω 的根：x 2 + x + 1 x^2 + x + 1x2+x+1 在复数域 C \mathbb{C}C 中有两个根，分别是 ω \omegaω 和 ω 2 \omega^2ω2。
   

自同构的数量

1. Q ( 2 3 , ω ) \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}, \omega)Q(32,ω) 的自同构：要构造 Q ( 2 3 , ω ) \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}, \omega)Q(32,ω) 的自同构，我们需要考虑 2 3 \sqrt[3]{2}32 和 ω \omegaω 的所有可能的根的排列组合。由于 2 3 \sqrt[3]{2}32 有三个根，ω \omegaω 有两个根，所以总的自同构数量是 3 × 2 = 6 3 \times 2 = 63×2=6。
   
2. 为什么是6个：一个自同构必须将 2 3 \sqrt[3]{2}32 映射到其三个根之一，并且将 ω \omegaω 映射到其两个根之一。由于这些映射必须保持数域中所有运算不变，因此每种映射都是唯一确定的。将这些映射的所有可能组合计算出来，我们得到6种不同的自同构。
   

综上所述，Q ( 2 3 , ω ) \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}, \omega)Q(32,ω) 的自同构数量是6个，这是由 2 3 \sqrt[3]{2}32 和 ω \omegaω 作为多项式根的特性和数域自同构的定义共同决定的。

其他概念补充

1. 数域扩张（Field Extension）：当一个数域（如有理数域 Q \mathbb{Q}Q）被扩展到包含更多元素的新数域时，这个过程称为数域扩张。扩张后的数域包含原数域的所有元素以及新添加的元素。
   
2. 嵌入（Embedding）：数域的嵌入是一种特殊的同态映射，它将一个数域嵌入到另一个数域中，保持加法和乘法结构。
   
3. 数域扩张（Field Extension）：当一个较小的数域（如有理数域 Q \mathbb{Q}Q）被扩展到一个更大的数域时（如复数域 C \mathbb{C}C），这个过程称为数域扩张。扩张后的数域包含原数域的所有元素，并添加新的元素。
   
4. 嵌入（Embedding）：在数学中，一个数域到另一个数域的嵌入是一种保持加法和乘法结构的映射。
   
5. 分裂域（Splitting Field）：一个多项式在某个数域上的分裂域是包含该数域所有元素以及多项式所有根的最小数域。分裂域是研究域扩张中一个重要的概念。
   
6. 数域同态（Homomorphism）：数域间的同态是一种函数，它保持加法和乘法运算。如果同态是双射（既是单射又是满射），则称为同构。
   
7. 嵌入（Embedding）：嵌入是一种特殊的同态，它保留了数域的结构并将一个数域嵌入到另一个数域中。对于 Q \mathbb{Q}Q-嵌入，这意味着嵌入将 Q \mathbb{Q}Q 保持为固定域。
   
8. 数域的嵌入（Embedding of a Field）：数域的嵌入是一种特殊的同态映射，它将一个数域嵌入到另一个数域中，同时保留加法和乘法结构。
   
9. 自同构（Automorphism）：数域的自同构是从该数域到其自身的双射同态，保持数域的加法和乘法结构不变。
   

prompt

你是代数学专家，这是数域的结构——数域的扩张、嵌入的习题。

我会在最开始给你正确的答案，请你请给出完整的题目、题目相关的概念解释以及具体的答案解析：

1. 正确的答案和他背后对应的概念原理，求解变形的原理
2. 错误的答案具体的错误原因，例如他的正确表示形式应该是什么。

请用md语法编辑，$latex符号、公式$。例如，将 \( \sqrt[3]{2}\mathbb{Q} \)转换为2 3 Q \sqrt[3]{2}\mathbb{Q}32Q

可以根据答案倒着推一下原理【答案】BCD

【题目】

第一问（A不封闭、B是域的原因变成小括号）

题目和解析

题目：以下关于数域 Q ( 2 3 ) \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})Q(32)的说法正确的有：

A. Q ( 2 3 ) = { a + b 2 3 ∣ a , b ∈ Q } \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}) = \{ a + b\sqrt[3]{2} \mid a, b \in \mathbb{Q} \}Q(32)={a+b32∣a,b∈Q}

B. Q ( 2 3 ) = Q [ 2 3 ] \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}) = \mathbb{Q}[\sqrt[3]{2}]Q(32)=Q[32], Q ( 2 3 ) = Q [ 2 3 ] \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}) = \mathbb{Q}[\sqrt[3]{2}]Q(32)=Q[32]

C. [ Q ( 2 3 ) : Q ] = 3 [\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}) : \mathbb{Q}] = 3[Q(32):Q]=3

D. Q ( 2 3 ) \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})Q(32) 和 Q [ x ] x 3 − 2 \mathbb{Q}[x]_{x^3 - 2}Q[x]x3−2 同构

正确答案：BCD

解析：

• 选项A：错误。Q ( 2 3 ) \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})Q(32) 实际上是包含所有形式为 a + b 2 3 + c 4 3 a + b\sqrt[3]{2} + c\sqrt[3]{4}a+b32+c34，其中 a , b , c ∈ Q a, b, c \in \mathbb{Q}a,b,c∈Q 的数的集合。这是因为 2 3 \sqrt[3]{2}32 是 Q \mathbb{Q}Q 上的一个三次不可约多项式的根，所以扩张 Q ( 2 3 ) / Q \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})/\mathbb{Q}Q(32)/Q 的基可以是 { 1 , 2 3 , 4 3 } \{1, \sqrt[3]{2}, \sqrt[3]{4}\}{1,32,34}。
  
• 选项B：正确。Q [ 2 3 ] \mathbb{Q}[\sqrt[3]{2}]Q[32] 和 Q ( 2 3 ) \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})Q(32) 都表示包含 2 3 \sqrt[3]{2}32 的最小数域扩张，它们是相同的概念。
  
• 选项C：正确。[ Q ( 2 3 ) : Q ] = 3 [\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}) : \mathbb{Q}] = 3[Q(32):Q]=3 表示 Q ( 2 3 ) \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})Q(32) 是一个三维扩张域，它的维数（或者说是基的大小）是3。
  
• 选项D：正确。Q ( 2 3 ) \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})Q(32) 和 Q [ x ] x 3 − 2 \mathbb{Q}[x]_{x^3 - 2}Q[x]x3−2 是同构的，因为 2 3 \sqrt[3]{2}32 是多项式 x 3 − 2 x^3 - 2x3−2 在 Q \mathbb{Q}Q 上的根，而这个多项式定义了商环 Q [ x ] / ( x 3 − 2 ) \mathbb{Q}[x]/(x^3 - 2)Q[x]/(x3−2)。
  

第二问（在有理数域可以分解，三次单位根）

题目和解析

题目：令 ω = − 1 + − 3 2 \omega = \frac{-1 + \sqrt{-3}}{2}ω=2−1+−3，以下关于数域 Q ( ω ) \mathbb{Q}(\omega)Q(ω) 的说法正确的有：

A. Q ( ω ) = { a + b ω ∣ a , b ∈ Q } \mathbb{Q}(\omega) = \{ a + b\omega \mid a, b \in \mathbb{Q} \}Q(ω)={a+bω∣a,b∈Q}

B. Q ( ω ) = Q [ ω ] \mathbb{Q}(\omega) = \mathbb{Q}[\omega]Q(ω)=Q[ω]

C. [ Q ( ω ) : Q ] = 3 [\mathbb{Q}(\omega) : \mathbb{Q}] = 3[Q(ω):Q]=3, [ Q ( ω ) : Q ] = 3 [Q(\omega) : Q] = 3[Q(ω):Q]=3

D. Q ( ω ) \mathbb{Q}(\omega)Q(ω) 和 Q [ x ] / ( x 3 − 1 ) \mathbb{Q}[x]/(x^3 - 1)Q[x]/(x3−1) 同构

正确答案：AB

解析：

• 选项A：正确。Q ( ω ) \mathbb{Q}(\omega)Q(ω) 表示包含 ω \omegaω 的最小数域扩张。由于 ω \omegaω 是 x 2 + x + 1 = 0 x^2 + x + 1 = 0x2+x+1=0 的根，Q ( ω ) \mathbb{Q}(\omega)Q(ω) 的每个元素都可以表示为形式 a + b ω a + b\omegaa+bω 的有理数线性组合，其中 a , b ∈ Q a, b \in \mathbb{Q}a,b∈Q。
  
• 选项B：正确。Q [ ω ] \mathbb{Q}[\omega]Q[ω] 表示包含所有 ω \omegaω 的多项式组合的集合，它与 Q ( ω ) \mathbb{Q}(\omega)Q(ω) 相等，因为 ω \omegaω 是代数数，其多项式的商也可以表示为多项式的形式。
  
• 选项C：错误。[ Q ( ω ) : Q ] [\mathbb{Q}(\omega) : \mathbb{Q}][Q(ω):Q] 表示扩域 Q ( ω ) \mathbb{Q}(\omega)Q(ω) 相对于基域 Q \mathbb{Q}Q 的维度。由于 ω \omegaω 是 x 2 + x + 1 x^2 + x + 1x2+x+1 的根，这是一个二次方程，因此维度是2，而不是3。
  
• 选项D：错误。Q ( ω ) \mathbb{Q}(\omega)Q(ω) 与 Q [ x ] / ( x 2 + x + 1 ) \mathbb{Q}[x]/(x^2 + x + 1)Q[x]/(x2+x+1) 同构，而不是 Q [ x ] / ( x 3 − 1 ) \mathbb{Q}[x]/(x^3 - 1)Q[x]/(x3−1)。因为 ω \omegaω 是 x 2 + x + 1 = 0 x^2 + x + 1 = 0x2+x+1=0 的根，而不是 x 3 − 1 = 0 x^3 - 1 = 0x3−1=0 的根。
  

综上所述，正确答案是AB。

第三问

题目和解析

题目：令 ω = − 1 + − 3 2 \omega = \frac{-1 + \sqrt{-3}}{2}ω=2−1+−3，以下关于数域 Q ( 2 3 ω ) \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}\omega)Q(32ω) 的说法正确的有：

A. Q ( 2 3 ω ) = { a + b 2 3 ω ∣ a , b ∈ Q } \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}\omega) = \{ a + b\sqrt[3]{2}\omega \mid a, b \in \mathbb{Q} \}Q(32ω)={a+b32ω∣a,b∈Q}

B. Q ( 2 3 ω ) = Q [ 2 3 ω ] \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}\omega) = \mathbb{Q}[\sqrt[3]{2}\omega]Q(32ω)=Q[32ω]

C. [ Q ( 2 3 ω ) : Q ] = 3 [\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}\omega) : \mathbb{Q}] = 3[Q(32ω):Q]=3

D. Q ( 2 3 ω ) \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}\omega)Q(32ω) 和 Q [ x ] / ( x 3 − 2 ) \mathbb{Q}[x]/(x^3 - 2)Q[x]/(x3−2) 同构

E. Q ( 2 3 ω ) = Q ( ω ) \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}\omega) = \mathbb{Q}(\omega)Q(32ω)=Q(ω)

正确答案：BCD

解析：

• 选项A：错误。Q ( 2 3 ω ) \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}\omega)Q(32ω) 不仅仅包含形式为 a + b 2 3 ω a + b\sqrt[3]{2}\omegaa+b32ω 的元素，而是所有 2 3 \sqrt[3]{2}32 和 ω \omegaω 的有理线性组合和它们的乘积。
  
• 选项B：正确。Q ( 2 3 ω ) \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}\omega)Q(32ω) 和 Q [ 2 3 ω ] \mathbb{Q}[\sqrt[3]{2}\omega]Q[32ω] 表示包含 2 3 ω \sqrt[3]{2}\omega32ω 的最小数域扩张，这两个表示是等价的。
  
• 选项C：正确。[ Q ( 2 3 ω ) : Q ] = 3 [\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}\omega) : \mathbb{Q}] = 3[Q(32ω):Q]=3 表明扩域相对于基域的维数是3。由于 2 3 ω \sqrt[3]{2}\omega32ω 是三次不可约多项式 x 3 − 2 x^3 - 2x3−2 的根，这个扩张的维度是3。
  
• 选项D：正确。Q ( 2 3 ω ) \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}\omega)Q(32ω) 和 Q [ x ] / ( x 3 − 2 ) \mathbb{Q}[x]/(x^3 - 2)Q[x]/(x3−2) 是同构的，因为 2 3 ω \sqrt[3]{2}\omega32ω 是 x 3 − 2 x^3 - 2x3−2 在 Q \mathbb{Q}Q 上的根，而这个多项式定义了商环 Q [ x ] / ( x 3 − 2 ) \mathbb{Q}[x]/(x^3 - 2)Q[x]/(x3−2)。
  
• 选项E：错误。Q ( 2 3 ω ) \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}\omega)Q(32ω) 和 Q ( ω ) \mathbb{Q}(\omega)Q(ω) 不相同，因为前者包含 2 3 \sqrt[3]{2}32 和 ω \omegaω 的所有有理线性组合及其乘积，而后者仅包含 ω \omegaω。
  

综上所述，正确答案是BCD。

第四问（单扩展定理）

题目和解析

题目：设 f ( x ) ∈ Q [ x ] f(x) \in \mathbb{Q}[x]f(x)∈Q[x] 为 Q \mathbb{Q}Q 上不可约多项式，f ( x ) = x 3 − 2 f(x) = x^3 - 2f(x)=x3−2 在 Q \mathbb{Q}Q 上的分裂域为：

A. Q ( 2 3 ω ) \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}\omega)Q(32ω)

B. Q ( 2 3 , 2 3 ω ) \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}, \sqrt[3]{2}\omega)Q(32,32ω)

C. Q ( 2 3 , 2 3 ω , 2 3 ω 2 ) \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}, \sqrt[3]{2}\omega, \sqrt[3]{2}\omega^2)Q(32,32ω,32ω2)

D. Q ( 2 3 , ω ) \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}, \omega)Q(32,ω)

E. Q ( 2 3 + ω ) \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2} + \omega)Q(32+ω)

正确答案：BCDE

解析：

给定的多项式 f ( x ) = x 3 − 2 f(x) = x^3 - 2f(x)=x3−2 是 Q \mathbb{Q}Q 上的不可约多项式。我们需要找到包含 f ( x ) f(x)f(x) 的所有根的最小数域，即分裂域。

• 选项A：错误。Q ( 2 3 ω ) \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}\omega)Q(32ω) 只考虑了 ω \omegaω 的一个根，而不是所有三个根。因此，它不是 f ( x ) = x 3 − 2 f(x) = x^3 - 2f(x)=x3−2 的分裂域。
  
• 选项B：正确。Q ( 2 3 , 2 3 ω ) \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}, \sqrt[3]{2}\omega)Q(32,32ω) 包含了 f ( x ) f(x)f(x) 的两个根，即 2 3 \sqrt[3]{2}32 和 2 3 ω \sqrt[3]{2}\omega32ω，因为第三个根可以由前两个根导出ω 2 = − 1 − ω \omega^2 = -1 - \omegaω2=−1−ω。这足以构成分裂域。
  
• 选项C：正确。Q ( 2 3 , 2 3 ω , 2 3 ω 2 ) \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}, \sqrt[3]{2}\omega, \sqrt[3]{2}\omega^2)Q(32,32ω,32ω2) 显然包含了 f ( x ) f(x)f(x) 的所有三个根，因此是分裂域。
  
• 选项D：正确。Q ( 2 3 , ω ) \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}, \omega)Q(32,ω) 同样包含了 f ( x ) f(x)f(x) 的所有根2 3 \sqrt[3]{2}32 和 ω \omegaω。注意到 ω \omegaω 是 x 2 + x + 1 x^2 + x + 1x2+x+1 的根，这意味着 ω \omegaω 和 ω 2 \omega^2ω2 都在这个域中，这个多项式是 Q \mathbb{Q}Q 上的不可约多项式。因此，这个域也包含了 2 3 ω \sqrt[3]{2}\omega32ω 和 2 3 ω 2 \sqrt[3]{2}\omega^232ω2，从而是 f ( x ) f(x)f(x) 的分裂域。
  
• 选项E：正确。Q ( 2 3 + ω ) \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2} + \omega)Q(32+ω) 似乎仅包含了 2 3 + ω \sqrt[3]{2} + \omega32+ω，但实际上，由于 ω \omegaω 和 ω 2 \omega^2ω2 是 x 2 + x + 1 = 0 x^2 + x + 1 = 0x2+x+1=0 的根，它们可以从 2 3 + ω \sqrt[3]{2} + \omega32+ω 通过有理系数多项式运算得出。因此，这个域实际上包含了 2 3 \sqrt[3]{2}32、2 3 ω \sqrt[3]{2}\omega32ω 和 2 3 ω 2 \sqrt[3]{2}\omega^232ω2，从而是 f ( x ) f(x)f(x) 的分裂域。
  

总结，正确答案是BCDE。

第五问

题目和解析

题目：以下关于数域 Q ( 2 3 ) \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})Q(32) 上的同态的说法正确的是：

A. Q ( 2 3 ) \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})Q(32) 的自同构只有恒等自同构。

B. δ : Q ( 2 3 ) → Q ( 2 3 ) , δ ( a ) = − a \delta:\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}) \to \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}), \delta(a) = -aδ:Q(32)→Q(32),δ(a)=−a 是 Q ( 2 3 ) \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})Q(32) 的一个自同构。

C. Q ( 2 3 ) \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})Q(32) 的 Q \mathbb{Q}Q-嵌入有3个，3个嵌入在 C \mathbb{C}C 中的像集分别为 Q ( 2 3 ) \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})Q(32)、Q ( 2 3 ω ) \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}\omega)Q(32ω)、Q ( 2 3 ω 2 ) \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}\omega^2)Q(32ω2)，其中 ω = − 1 + − 3 2 \omega = \frac{-1 + \sqrt{-3}}{2}ω=2−1+−3。

D. Q ( 2 3 ) \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})Q(32) 的 Q \mathbb{Q}Q-嵌入 δ \deltaδ 由 2 3 = 2 3 ω 2 \sqrt[3]{2} = \sqrt[3]{2}\omega^232=32ω2 得到，那么，一般地，δ ( a + b 2 3 + c 4 3 ) = a + b 2 3 ω 2 + c 2 3 ω \delta(a + b\sqrt[3]{2} + c\sqrt[3]{4}) = a + b\sqrt[3]{2}\omega^2 + c\sqrt[3]{2}\omegaδ(a+b32+c34)=a+b32ω2+c32ω，其中，a , b , c ∈ Q , ω = − 1 + − 3 2 a, b, c \in \mathbb{Q}, \omega = \frac{-1 + \sqrt{-3}}{2}a,b,c∈Q,ω=2−1+−3。

正确答案：AC

解析：

• 选项A：正确。Q ( 2 3 ) \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})Q(32) 的自同构只有恒等自同构。由于 2 3 \sqrt[3]{2}32 是 Q \mathbb{Q}Q 上的不可约多项式 x 3 − 2 x^3 - 2x3−2 的根，而这个多项式在 Q \mathbb{Q}Q 上没有其他根，因此没有其他自同构可以将 2 3 \sqrt[3]{2}32 映射到其它元素而保持结构不变。
  
• 选项B：错误。δ ( a ) = − a \delta(a) = -aδ(a)=−a 不能是 Q ( 2 3 ) \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})Q(32) 的自同构，因为它破坏了原有的加法和乘法结构。
  
• 选项C：正确。Q ( 2 3 ) \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})Q(32) 的 Q \mathbb{Q}Q-嵌入数量为3是因为 2 3 \sqrt[3]{2}32 是三次的不可约多项式 x 3 − 2 x^3 - 2x3−2 的根，且此多项式在 C \mathbb{C}C 中有三个根：2 3 \sqrt[3]{2}32, 2 3 ω \sqrt[3]{2}\omega32ω, 和 2 3 ω 2 \sqrt[3]{2}\omega^232ω2。
  ω \omegaω 是复数单位根，满足 ω 3 = 1 \omega^3 = 1ω3=1 且 ω ≠ 1 \omega \neq 1ω=1。正确的定义是 ω = − 1 + 3 i 2 \omega = \frac{-1 + \sqrt{3}i}{2}ω=2−1+3i，它也可以表达为 ω = − 1 + − 3 2 \omega = \frac{-1 + \sqrt{-3}}{2}ω=2−1+−3，因为 − 3 = 3 i \sqrt{-3} = \sqrt{3}i−3=3i。
  
• 选项D：错误。描述的 Q \mathbb{Q}Q-嵌入 δ \deltaδ 不正确。正确的 Q \mathbb{Q}Q-嵌入应该是 δ ( 2 3 ) = 2 3 ω \delta(\sqrt[3]{2}) = \sqrt[3]{2}\omegaδ(32)=32ω 或 2 3 ω 2 \sqrt[3]{2}\omega^232ω2，而不是 2 3 = 2 3 ω 2 \sqrt[3]{2} = \sqrt[3]{2}\omega^232=32ω2。
  

第六问

题目和解析

题目：以下关于数域 Q ( 2 3 , ω ) \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}, \omega)Q(32,ω) 上的同态的说法正确的是：

A. Q ( 2 3 , ω ) \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}, \omega)Q(32,ω) 的 Q ( 2 3 ) \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})Q(32)-嵌入有2个。

B. Q ( 2 3 , ω ) \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}, \omega)Q(32,ω) 的 Q ( 2 3 ) \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})Q(32)-嵌入有3个。

C. Q ( 2 3 , ω ) \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}, \omega)Q(32,ω) 的 Q \mathbb{Q}Q-嵌入有6个。

D. Q ( 2 3 , ω ) \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}, \omega)Q(32,ω) 的自同构有6个。

正确答案：ACD

解析：

• 选项A：正确。Q ( 2 3 , ω ) \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}, \omega)Q(32,ω) 相对于 Q ( 2 3 ) \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})Q(32) 的嵌入有2个。这是因为 ω \omegaω 是方程 x 2 + x + 1 = 0 x^2 + x + 1 = 0x2+x+1=0 的根，这个方程在 Q ( 2 3 ) \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})Q(32) 上有两个根，分别是 ω \omegaω 和 ω 2 \omega^2ω2。
  
• 选项B：错误。Q ( 2 3 , ω ) \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}, \omega)Q(32,ω) 相对于 Q ( 2 3 ) \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})Q(32) 的嵌入不是3个，而是2个，如上所述。
  
• 选项C：正确。Q ( 2 3 , ω ) \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}, \omega)Q(32,ω) 相对于 Q \mathbb{Q}Q 的嵌入有6个。这是因为 2 3 \sqrt[3]{2}32 有三个 Q \mathbb{Q}Q-嵌入（最开始有讲解说明原因），而 ω \omegaω 有两个，所以总共有 3 × 2 = 6 3 \times 2 = 63×2=6 个嵌入。
  
• 选项D：正确。Q ( 2 3 , ω ) \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}, \omega)Q(32,ω) 的自同构数量也是6个。这是因为自同构必须同时保持 2 3 \sqrt[3]{2}32 和 ω \omegaω 的代数关系，考虑到 2 3 \sqrt[3]{2}32 和 ω \omegaω 的不同嵌入方式，总共有6种可能的组合。