正文

连续型随机变量及其概率密度函数

定义：设X XX是随机变量，F ( X ) 是它的分布函数，若存在一个非负可积函数f ( x ) )，使得对任意的x ∈ R，有：

F(x)=P{X}

则称X 为连续型随机变量，其中f ( x )称为X 的概率密度函数，简称概率密度或密度函数

概率密度函数的性质

非负性：f ( x ) ≥ 0 , x ∈ R

若X 是连续型随机变量，对∀ a ∈ R ，有P { X = a } = 0 即对于连续型随机变量，取得某一点的概率为0(注意这里的概率为0不代表不可能事件)

常见的连续型随机变量的概率分布

1、均匀分布 U [ a , b ]

若随机变量X 的概率密度函数为

则称X XX在区间[ a , b ]上服从均匀分布，记为X ∼ U [ a , b ]易知f ( x ) ⩾ 0，并且

均匀分布中X的分布函数为

2、指数分布 E ( λ )

若随机变量X 的概率密度函数为

其中λ > 0为常数

则称随机变量XX服从参数为λ 失效率)的指数分布，记为X ∼ E ( λ )

显然f ( x ) ⩾ 0 f(x) ，且：

指数分布中X的分布函数为

3、正态分布 N ( μ , σ 2 )

若随机变量X XX的概率密度函数为

其中μ , σ ( σ > 0 ) 为常数，则称X 服从参数为μ , σ 的正态分布或高斯分布，记为X ∼ N ( μ , σ 2 ) X显然 f ( x ) ⩾ 0 ，且

标准正态分布 N ∼ ( 0 , 1 )

若X ∼ N ( μ , σ 2 ) , 则 ,

标准正态分布的分布函数：

标准正态分布的概率密度函数：