不溢出的整型的可行性
尽管在 C 语言中，整型所表示的大小是有范围的，但是 python 代码是保存到文本文件中的，也就是说，python代码中并不是一下子就转化成 C 语言的整型的，我们需要重新定义一种数据结构来表示和存储我们新的“整型”。
怎么来存储呢，既然我们要表示任意大小，那就得用动态的可变长的结构，显然，数组的形式能够胜任:
[longintrepr.h] struct _longobject { PyObject_VAR_HEAD int *ob_digit; };
长整型的保存形式
长整型在python内部是用一个 int 数组( ob_digit[n] )保存值的. 待存储的数值的低位信息放于低位下标, 高位信息放于高下标.比如要保存 123456789 较大的数字,但我们的int只能保存3位(假设):
ob_digit[0] = 789; ob_digit[1] = 456; ob_digit[2] = 123;
低索引保存的是地位，那么每个 int 元素保存多大的数合适？有同学会认为数组中每个int存放它的上限(2^31 - 1)，这样表示大数时，数组长度更短，更省空间。但是，空间确实是更省了，但操作会代码麻烦，比方大数做乘积操作，由于元素之间存在乘法溢出问题，又得多考虑一种溢出的情况。
怎么来改进呢？在长整型的 ob_digit 中元素理论上可以保存的int类型有 32 位，但是我们只保存 15 位，这样元素之间的乘积就可以只用 int 类型保存即可, 结果做位移操作就能得到尾部和进位 carry 了，定义位移长度为 15：
#define PyLong_SHIFT 15 #define PyLong_BASE ((digit)1 << PyLong_SHIFT) #define PyLong_MASK ((digit)(PyLong_BASE - 1))
PyLong_MASK 也就是 0b111111111111111 ,通过与它做位运算 与 的操作就能得到低位数。
有了这种存放方式，在内存空间允许的情况下，我们就可以存放任意大小的数字了。
长整型的运算
加法与乘法运算都可以使用我们小学的竖式计算方法，例如对于加法运算:
为方便理解，表格展示的是数组中每个元素保存的是 3 位十进制数，计算结果保存在变量z中，那么 z 的数组最多只要 size_a + 1 的空间（两个加数中数组较大的元素个数 + 1），因此对于加法运算，可以这样来处理:
[longobject.c] static PyLongObject * x_add(PyLongObject *a, PyLongObject *b) { int size_a = len(a), size_b = len(b); PyLongObject *z; int i; int carry = 0; // 进位 // 确保a是两个加数中较大的一个 if (size_a < size_b) { // 交换两个加数 swap(a, b); swap(&size_a, &size_b); } z = _PyLong_New(size_a + 1); // 申请一个能容纳size_a+1个元素的长整型对象 for (i = 0; i < size_b; ++i) { carry += a->ob_digit[i] + b->ob_digit[i]; z->ob_digit[i] = carry & PyLong_MASK; // 掩码 carry >>= PyLong_SHIFT; // 移除低15位, 得到进位 } for (; i < size_a; ++i) { // 单独处理a中高位数字 carry += a->ob_digit[i]; z->ob_digit[i] = carry & PyLong_MASK; carry >>= PyLong_SHIFT; } z->ob_digit[i] = carry; return long_normalize(z); // 整理元素个数 }
这部分的过程就是，先将两个加数中长度较长的作为第一个加数，再为用于保存结果的 z 申请空间，两个加数从数组从低位向高位计算，处理结果的进位，将结果的低 15 位赋值给 z 相应的位置。最后的 long_normalize(z) 是一个整理函数，因为我们 z 申请了 a_size + 1 的空间，但不意味着 z 会全部用到，因此这个函数会做一些调整，去掉多余的空间，数组长度调整至正确的数量，若不方便理解，附录将给出更利于理解的python代码。
竖式计算不是按个位十位来计算的吗，为什么这边用整个元素？
竖式计算方法适用与任何进制的数字，我们可以这样来理解，这是一个 32768 (2的15次方) 进制的，那么就可以把数组索引为 0 的元素当做是 “个位”，索引 1 的元素当做是 “十位”。
乘法运算
乘法运算一样可以用竖式的计算方式，两个乘数相乘，存放结果的 z 的元素个数为 size_a + size_b 即可：
这里需要主意的是，当乘数 b 用索引 i 的元素进行计算时，结果 z 也是从 i 索引开始保存。先创建 z 并初始化为 0，这 z 上做累加操作，加法运算则可以利用前面的 x_add 函数：
// 为方便理解，会与cpython中源码部分稍有不同 static PyLongObject * x_mul(PyLongObject *a, PyLongObject *b) { int size_a = len(a), size_b = len(b); PyLongObject *z = _PyLong_New(size_a + size_b); memset(z->ob_digit, 0, len(z) * sizeof(int)); // z 的数组清 0 for (i = 0; i < size_b; ++i) { int carry = 0; // 用一个int保存元素之间的乘法结果 int f = b->ob_digit[i]; // 当前乘数b的元素 // 创建一个临时变量，保存当前元素的计算结果，用于累加 PyLongObject *temp = _PyLong_New(size_a + size_b); memset(temp->ob_digit, 0, len(temp) * sizeof(int)); // temp 的数组清 0 int pz = i; // 存放到临时变量的低位 for (j = 0; j < size_a; ++j) { carry = f * a[j] + carry; temp[pz] = carry & PyLong_MASK; // 取低15位 carry = carry >> PyLong_SHIFT; // 保留进位 pz ++; } if (carry){ // 处理进位 carry += temp[pz]; temp[pz] = carry & PyLong_MASK; carry = carry >> PyLong_SHIFT; } if (carry){ temp[pz] += carry & PyLong_MASK; } temp = long_normalize(temp); z = x_add(z, temp); } return z }
这大致就是乘法的处理过程，竖式乘法的复杂度是n^2，当数字非常大的时候（数组元素个数超过 70 个）时，python会选择性能更好，更高效的 Karatsuba multiplication 乘法运算方式，这种的算法复杂度是 3nlog3≈3n1.585
