AVL树的引入
搜索二叉树有着极高的搜索效率，但是搜索二叉树会出现以下极端情况：
这样的二叉树搜索效率甚至比链表还低。在搜索二叉树基础上出现的平衡二叉树(AVL树)就解决了这样的问题。当平衡二叉树(AVL树)的某个节点左右子树高度差的绝对值大于1时，就会通过旋转操作减小它们的高度差。
基本概念
AVL树本质上还是一棵二叉搜索树，它的特点是：
- 本身首先是一棵
二叉搜索树。 - 每个结点的左右子树的
高度之差的绝对值（平衡因子）最多为1。也就是说，AVL树，本质上是带了平衡功能的二叉查找树（二叉排序树，二叉搜索树）。 - 当插入一个节点或者删除一个节点时，导致某一个节点的左右子树高度差的绝对值大于1，这时需要通过
左旋和右旋的操作使二叉树再次达到平衡状态。
平衡因子(balanceFactor)
- 一个结点的左子树与右子树的
高度之差。 - AVL树中的任意结点的BF只可能是
-1，0和1。
基础设计
下面是AVL树需要的简单方法和属性：
public class AVLTree <E extends Comparable<E>>{ class Node{ E value; Node left; Node right; int height; public Node(){} public Node(E value){ this.value = value; height = 1; left = null; right = null; } public void display(){ System.out.print(this.value + " "); } } Node root; int size; public int size(){ return size; } public int getHeight(Node node) { if(node == null) return 0; return node.height; } //获取平衡因子(左右子树的高度差，大小为1或者0是平衡的，大小大于1不平衡) public int getBalanceFactor(){ return getBalanceFactor(root); } public int getBalanceFactor(Node node){ if(node == null) return 0; return getHeight(node.left) - getHeight(node.right); } //判断一个树是否是一个平衡二叉树 public boolean isBalance(Node node){ if(node == null) return true; int balanceFactor = Math.abs(getBalanceFactor(node.left) - getBalanceFactor(node.right)); if(balanceFactor > 1) return false; return isBalance(node.left) && isBalance(node.right); } public boolean isBalance(){ return isBalance(root); } //中序遍历树 private void inPrevOrder(Node root){ if(root == null) return; inPrevOrder(root.left); root.display(); inPrevOrder(root.right); } public void inPrevOrder(){ System.out.print("中序遍历："); inPrevOrder(root); } }
RR(左旋)
往一个树右子树的右子树上插入一个节点，导致二叉树变得不在平衡，如下图，往平衡二叉树中插入5，导致这个树变得不再平衡，此时需要左旋操作，如下：
代码如下：
//左旋,并且返回新的根节点 public Node leftRotate(Node node){ System.out.println("leftRotate"); Node cur = node.right; node.right = cur.left; cur.left = node; //跟新node和cur的高度 node.height = Math.max(getHeight(node.left),getHeight(node.right)) + 1; cur.height = Math.max(getHeight(cur.left),getHeight(cur.right)) + 1; return cur; }
LL(右旋)
往一个AVL树左子树的左子树上插入一个节点，导致二叉树变得不在平衡，如下图，往平衡二叉树中插入2，导致这个树变得不再平衡，此时需要左旋操作，如下：
代码如下：
//右旋，并且返回新的根节点 public Node rightRotate(Node node){ System.out.println("rightRotate"); Node cur = node.left; node.left = cur.right; cur.right = node; //跟新node和cur的高度 node.height = Math.max(getHeight(node.left),getHeight(node.right)) + 1; cur.height = Math.max(getHeight(cur.left),getHeight(cur.right)) + 1; return cur; }
LR(先左旋再右旋)
往AVL树左子树的右子树上插入一个节点，导致该树不再平衡，需要先对左子树进行左旋，再对整棵树右旋，如下图所示，插入节点为5.
RL(先右旋再左旋)
往AVL树右子树的左子树上插入一个节点，导致该树不再平衡，需要先对右子树进行右旋，再对整棵树左旋，如下图所示，插入节点为2.
添加节点
//添加元素 public void add(E e){ root = add(root,e); } public Node add(Node node, E value) { if (node == null) { size++; return new Node(value); } if (value.compareTo(node.value) > 0) { node.right = add(node.right, value); } else if (value.compareTo(node.value) < 0) { node.left = add(node.left, value); } //跟新节点高度 node.height = Math.max(getHeight(node.left), getHeight(node.right)) + 1; //获取当前节点的平衡因子 int balanceFactor = getBalanceFactor(node); //该子树不平衡且新插入节点(导致不平衡的节点)在左子树的左子树上，此时需要进行右旋 if (balanceFactor > 1 && getBalanceFactor(node.left) >= 0) { return rightRotate(node); } //该子树不平衡且新插入节点(导致不平衡的节点)在右子树子树的右子树上，此时需要进行左旋 else if (balanceFactor < -1 && getBalanceFactor(node.right) <= 0) { return leftRotate(node); } //该子树不平衡且新插入节点(导致不平衡的节点)在左子树的右子树上，此时需要先对左子树左旋，在整个树右旋 else if (balanceFactor > 1 && getBalanceFactor(node.left) < 0) { node.left = leftRotate(node.left); return rightRotate(node); } //balanceFactor < -1 && getBalanceFactor(node.left) > 0 //该子树不平衡且新插入节点(导致不平衡的节点)在右子树的左子树上，此时需要先对右子树右旋，再整个树左旋 else if(balanceFactor < -1 && getBalanceFactor(node.right) > 0) { node.right = rightRotate(node.right); return leftRotate(node); } return node; }
删除节点
//删除节点 public E remove(E value){ root = remove(root,value); if(root == null){ return null; } return root.value; } public Node remove(Node node, E value){ Node retNode = null; if(node == null) return retNode; if(value.compareTo(node.value) > 0){ node.right = remove(node.right,value); retNode = node; } else if(value.compareTo(node.value) < 0){ node.left = remove(node.left,value); retNode = node; } //value.compareTo(node.value) = 0 else{ //左右节点都为空，或者左节点为空 if(node.left == null){ size--; retNode = node.right; } //右节点为空 else if(node.right == null){ size--; retNode = node.left; } //左右节点都不为空 else{ Node successor = new Node(); //寻找右子树最小的节点 Node cur = node.right; while(cur.left != null){ cur = cur.left; } successor.value = cur.value; successor.right = remove(node.right,value); successor.left = node.left; node.left = node.right = null; retNode = successor; } if(retNode == null) return null; //维护二叉树平衡 //跟新height retNode.height = Math.max(getHeight(retNode.left),getHeight(retNode.right)); } int balanceFactor = getBalanceFactor(retNode); //该子树不平衡且新插入节点(导致不平衡的节点)在左子树的左子树上，此时需要进行右旋 if (balanceFactor > 1 && getBalanceFactor(retNode.left) >= 0) { return rightRotate(retNode); } //该子树不平衡且新插入节点(导致不平衡的节点)在右子树子树的右子树上，此时需要进行左旋 else if (balanceFactor < -1 && getBalanceFactor(retNode.right) <= 0) { return leftRotate(retNode); } //该子树不平衡且新插入节点(导致不平衡的节点)在左子树的右子树上，此时需要先对左子树左旋，在整个树右旋 else if (balanceFactor > 1 && getBalanceFactor(retNode.left) < 0) { retNode.left = leftRotate(retNode.left); return rightRotate(retNode); } //该子树不平衡且新插入节点(导致不平衡的节点)在右子树的左子树上，此时需要先对右子树右旋，再整个树左旋 else if(balanceFactor < -1 && getBalanceFactor(retNode.right) > 0) { retNode.right = rightRotate(retNode.right); return leftRotate(retNode); } return retNode; }
